初中數(shù)學(xué)教案人教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)下冊(cè)同步測(cè)試 第28章 銳角三角函數(shù)

授課教師肖君學(xué)生姓名尉志遠(yuǎn)上課時(shí)間

學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)九年級(jí)課時(shí)計(jì)劃第______次

提交時(shí)間學(xué)管師湯玲教學(xué)主管

測(cè)試1銳角三角函數(shù)定義

學(xué)習(xí)要求

理解一個(gè)銳角的正弦、余弦、正切的定義.能依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求給定銳角的三角函數(shù)值.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.如圖所示，B、B'是NMAN的AN邊上的任意兩點(diǎn)，BCLAM于C點(diǎn)，B'C于C'點(diǎn)，則

We's--從而震=普=堤，又可得

①----=_______，即在RtZ\A8C中(NC=90°),當(dāng)NA確定時(shí)，它的______與______的比是一個(gè)

AB'

______值；

&C'

②——=______,即在Rt/XABC中(NC=90°),當(dāng)/A確定時(shí)，它的______與______的比也是一

AB'

個(gè)；

~,即在RtzMBC中(NC=90°),當(dāng)NA確定時(shí)，它的與的比還是一

AC

個(gè).

第1題圖

2.如圖所示，在RI/XABC中,ZC=90°.

第2題圖

())_

①sinA=sinB=

斜邊斜邊

()_)

②cosA=cosB==

斜邊斜邊

tanB=N8的對(duì)邊

③tan4=()

NA的鄰邊()

3.因?yàn)閷?duì)于銳角a的每一個(gè)確定的值,sina、cosa、tana分別都有與它，所以sina、

cosa>tana都是.又稱為a的-

4.在RtZXABC中，ZC=90°，若a=9,b=\2,則c=____,

sinA=,cosA=，tanA=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

5.在RtZiABC中,ZC=90°,若1,b=3,則c=,

sinA=,cosA=，tan4=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

6.在RtZ\ABC中,ZB=90°,,若〃=16,c=30,則b=______

sinA=,cosA=，tanA二，

sinC=______,cosC=_____，tanC=______.

7.在RtZ\ABC中,ZC=90°,若NA=30。，則/B=______,

sinA=,cosA=，tan4=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______?

二、解答題

8.已知：如圖，RtZ\7NM中，/TMN=90°,MRL7N于R點(diǎn)、,TN=4,MN=3.

求：s\nZTMR.cosNTMR、tanNTMR.

3

9.已知RtZ\ABC中，NC=90°,tanA=-,BC=12,求AC、AB和cosB.

綜合、運(yùn)用、診斷

10.已知：如圖，RtZ\4BC中，ZC=90°.。是AC邊上一點(diǎn)，DE_LAB于E點(diǎn).DE：AE=I：2.

求：sinB、cosB、tanfi.

A

D

3

11.己知：如圖，。。的半徑O4=16cm,OC_LAB于C點(diǎn)，sinNAOC=—,求：A8及0C的長(zhǎng).

4

3

12.已知：。0中，OCJ_A8于。點(diǎn)，A8=16cm,sinZAOC=--

5

(1)求。0的半徑OA的長(zhǎng)及弦心距OC；

(2)求cosNAOC及tanNAOC

13.己知：如圖，△A8C中，AC=12cm,A8=16cm,sinA=--

⑴求A8邊上的高CO；

(2)求△ABC的面積5；

(3)求tanB.

14.已知：如圖，△A8C中，4B=9,8c=6,AABC的面積等于9,求sinB.

A

BC

拓展、探究、思考

15.已知：如圖，RtZ\A5C中，ZC=90°,按要求填空:

(l)vsinA=—,

c

a=c-sinA,c=；

(2)vcosA=~,

c

??b=,c--；

(3)vtanA=—,

b

??u=，b=；

(4)sinB=--cosB=,tanB-；

3.

(5)vcosB=/.sinB=,tanA=；

(6)tanB=3,sinB=>sinA=.

測(cè)試2銳角三角函數(shù)

學(xué)習(xí)要求

1.掌握特殊角(30°,45°,60°)的正弦、余弦、正切三角函數(shù)值，會(huì)利用計(jì)算器求一個(gè)銳角的三角

函數(shù)值以及由三角函數(shù)值求相應(yīng)的銳角.

2.初步了解銳角三角函數(shù)的一些性質(zhì).

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.填表.

銳角a30°45°60°

sincr

cosa

tana

二、解答題

2.求下列各式的值.

(I)2sin300-V2cos45°(2)tan300-sin600-sin300

(3)cos45°+3tan300+cos30°+2sin60°—2tan45°

(4)cos245°----!---F——!----Fcos230O+sin245°

sin30°tan30°

3.求適合下列條件的銳角a.

小1⑵tana=W

(1)cosa=—

2

(3)sin2a=孚

(4)6cos(a-16°)=3-73

綜合、運(yùn)用、診斷

17

6.已知：如圖，在菱形ABCQ中，￡>E_LAB于E,B￡=16cm,sinA=上?求此菱形的周長(zhǎng).

13

7.已知：如圖，在△ABC中，NBAC=120°,AB=\0,AC=5.求：sinNACB的值.

8.已知：如圖，Rtz^ABC中，ZC=90°,ZBAC=30°,延長(zhǎng)CA至。點(diǎn)，使AD=AB.求:

(1)/。及NOBC；

(2)tanD及tan/DBC；

9.已知：如圖，RtZkABC中，ZC=90°,AC=BC=6,作ND4C=30°,AO交CB于3點(diǎn),

求:

(l)ZBAD；

(2)sin/BAD、cos/BAO和tanNBAD.

10.已知：如圖△ABC中，。為BC中點(diǎn)，且/8AO=90°,tanZB=—,求：sinZCADxcosZCAD>

3

tanZCAD.

測(cè)試3解直角三角形（一）

學(xué)習(xí)要求

理解解直角三角形的意義，掌握解直角三角形的四種基本類型.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

一、填空題

1.在解直角三角形的過(guò)程中，一般要用的主要關(guān)系如下（如圖所示）:

在RtZXABC中，ZC=90°，AC=b,BC=a,AB=c,

第1題圖

①三邊之間的等量關(guān)系:

②兩銳角之間的關(guān)系:

③邊與角之間的關(guān)系：

sinA=cos6=；cosA=sinfi=

tanA“=---1---=；----1--=tanBn=.

tanBtanA

④直角三角形中成比例的線段（如圖所示）.

第④小題圖

在RtZ\4BC中，ZC=90°,COJ-AB于D.

CD』；AC=；

BC=；AC?BC=.

⑤直角三角形的主要線段（如圖所示）.

第⑤小題圖

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的,斜邊的中點(diǎn)是

若r是Rt4ABC（/C=90°）的內(nèi)切圓半徑，貝Ur==.

⑥直角三角形的面積公式.

在RtZ^/ABC中，ZC=90°,

SAASC=.（答案不唯一）

2.關(guān)于直角三角形的可解條件，在直角三角形的六個(gè)元素中，除直角外，只要再知道（其中

至少）,這個(gè)三角形的形狀、大小就可以確定下來(lái).解直角三角形的基本類型可分為已知

兩條邊（兩條或斜邊和）及已知一邊和一個(gè)銳角（______和一個(gè)銳角或

和一個(gè)銳角）

3.填寫(xiě)下表：

已知條件解法

一條邊和斜邊c和銳角/ANB=—___，a=____，b=____

一個(gè)銳角直角邊a和銳角NA/B=—__,b=____，c=____

兩條直角邊。和人c=___由_____求NA,ZB=____

兩條邊

直角邊a和斜邊cb=___由_____求乙4,ZB=____

二、解答題

4.在RtaABC中，ZC=90°.

（1）已知：a=35,c=35后，求NA、ZB,b；

(2)己知：a=2-\/3,b=2,求NA、N.B,c；

.2、

（3）已知:sinA——,c=6,求a、b；

3

3、

（4）已知:tanB——,b-9,求a、c；

2

(5)已知：NA=60°,△ABC的面積S=126,求a、b、c及NB.

綜合、運(yùn)用、診斷

5.已知：如圖，在半徑為R的。。中，ZA0B=2a,0CL4B于C點(diǎn).

(1)求弦A3的長(zhǎng)及弦心距；

(2)求。。的內(nèi)接正n邊形的邊長(zhǎng)斯及邊心距r?.

6.如圖所示，圖①中，一棟舊樓房由于防火設(shè)施較差，想要在側(cè)面墻外修建一外部樓梯，由地面到二

樓，再?gòu)亩堑饺龢牵矁啥?圖②中AB、BC兩段)，其中CC'=

BB'=3.2m.結(jié)合圖中所給的信息，求兩段樓梯A8與BC的長(zhǎng)度之和(結(jié)果保留到0.1m).(參考數(shù)

據(jù)：sin30°=0.50,cos30°-0.87,sin35°-0.57,cos35°—0.82)

7.如圖所示，某公司入口處原有三級(jí)臺(tái)階，每級(jí)臺(tái)階高為20cm,臺(tái)階面的寬為30cm,為了方便殘疾

人士，擬將臺(tái)階改為坡角為12°的斜坡，設(shè)原臺(tái)階的起點(diǎn)為A,斜坡的起點(diǎn)為C,求4C的長(zhǎng)度(精

確到1cm).

拓展、探究、思考

8.如圖所示，甲樓在乙樓的西面，它們的設(shè)計(jì)高度是若干層，每層高均為3m,冬天太陽(yáng)光與水平面

的夾角為30°.

（1）若要求甲樓和乙樓的設(shè)計(jì)高度均為6層，且冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那么建筑時(shí)兩樓之

間的距離BD至少為多少米?（保留根號(hào)）

（2）由于受空間的限制，甲樓和乙樓的距離8O=21m,若仍要求冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，

那么設(shè)計(jì)甲樓時(shí)，最高應(yīng)建幾層？

9.王英同學(xué)從A地沿北偏西60°方向走100m到8地，再?gòu)?地向正南方向走200m到C地，此時(shí)王

英同學(xué)離A地多少距離？

10.已知：如圖，在高2m,坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長(zhǎng)度至少需要多少米?（保留整數(shù)）

測(cè)試4解直角三角形（二）

學(xué)習(xí)要求

能將解斜三角形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.

課堂學(xué)習(xí)檢測(cè)

1.己知：如圖，△ABC中，N4=30°,Zfi=60°,AC=10cm.

求AB及8c的長(zhǎng).

2.己知：如圖，RtZvlBC中，ZD=90°,/B=45°,ZACD=f>0°.BC=10cm.求A。的長(zhǎng).

A

3.已知：如圖，△ABC中，/A=30°,/B=135°,AC=10cm.

求AB及BC的長(zhǎng).

4.已知：如圖，Rt/XABC.ZA=30°,ZC=90°，/8￡>C=60°,BC=6cm.求A。的長(zhǎng).

綜合、運(yùn)用、診斷

5.已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂A處測(cè)得河對(duì)岸點(diǎn)C的俯角為30°,測(cè)得岸邊點(diǎn)。的俯角為45°,

又知河寬CD為50m.現(xiàn)需從山頂A到河對(duì)岸點(diǎn)C拉一條筆直的纜繩AC,求山的高度及纜繩AC的長(zhǎng)（答

案可帶根號(hào)）.

6.已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點(diǎn)A處測(cè)得燈塔M在北偏西30°,貨輪以每小時(shí)20海里的

速度航行，1小時(shí)后到達(dá)B處，測(cè)得燈塔例在北偏西45°,問(wèn)該貨輪繼續(xù)向北航行時(shí)，與燈塔M之間

的最短距離是多少?（精確到0.1海里，V3?1.732）

7.已知：如圖，在兩面墻之間有一個(gè)底端在A點(diǎn)的梯子，當(dāng)它靠在一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在8點(diǎn)：當(dāng)它

靠在另一側(cè)墻上時(shí)，梯子的頂端在。點(diǎn).已知/ft4C=60°,ND4E=45°.點(diǎn)。到地面的垂直距離

DE=3V2m,求點(diǎn)B到地面的垂直距離BC.

8.己知：如圖，小明準(zhǔn)備測(cè)量學(xué)校旗桿A8的高度，當(dāng)他發(fā)現(xiàn)斜坡正對(duì)著太陽(yáng)時(shí)?，旗桿A8的影子恰好落

在水平地面和斜坡的坡面上，測(cè)得水平地面上的影長(zhǎng)8c=20m,斜坡坡面上的影長(zhǎng)CD=8m,太陽(yáng)光線

AO與水平地面成26°角，斜坡8與水平地面所成的銳角為30°,求旗桿AB的高度（精確到1m）.

9.已知：如圖，在某旅游地一名游客由山腳A沿坡角為30°的山坡AB行走400m,到達(dá)一個(gè)景點(diǎn)8,再

由B地沿山坡BC行走320米到達(dá)山頂C,如果在山頂C處觀測(cè)到景點(diǎn)B的俯角為60°.求山高C￡＞（精

確到0.01米）.

10.已知：如圖，小明準(zhǔn)備用如下方法測(cè)量路燈的高度：他走到路燈旁的一個(gè)地方，豎起一根2m長(zhǎng)的竹竿,

測(cè)得竹竿影長(zhǎng)為1m,他沿著影子的方向，又向遠(yuǎn)處走出兩根竹竿的長(zhǎng)度，他又豎起竹竿，測(cè)得影長(zhǎng)正

好為2m.問(wèn)路燈高度為多少米？

11.已知：如圖，在一次越野比賽中，運(yùn)動(dòng)員從營(yíng)地A出發(fā)，沿北偏東60°方向走了500百m到達(dá)B點(diǎn),

然后再沿北偏西30°方向走了500m,到達(dá)目的地C點(diǎn).求

(1)A、C兩地之間的距離；

(2)確定目的地C在營(yíng)地4的什么方向?

12.已知：如圖，在1998年特大洪水時(shí)期，要加固全長(zhǎng)為10000m的河堤.大堤高5m,壩頂寬4m,迎水

坡和背水坡都是坡度為1：1的等腰梯形.現(xiàn)要將大堤加高1m,背水坡坡度改為1：1.5.已知壩頂寬

不變，求大壩橫截面面積增加了多少平方米，完成工程需多少立方米的土石？

G

DA

拓展、探究、思考

13.已知：如圖，在△ABC中，AB=c,AC=b,銳角=

(1)BC的長(zhǎng)；

(2)AABC的面積.

14.已知：如圖，在△ABC中，AC=b,BC=a,銳角N4=a,4B=/3.

(1)求AB的長(zhǎng)；

(2)求證：-^-=—

sinasin/?

15.已知：如圖，在RtZiAZJC中,ZD=90°,NA=a,ZCBD=/3,AB=a.用含a及a、/的三角函數(shù)

的式子表示CD的長(zhǎng).

16.已知：△ABC中，NA=30°,AC=10,BC=572,求48的長(zhǎng).

17.已知：四邊形48。。的兩條對(duì)角線4仁8。相交于￡點(diǎn)，/^=4,8￡>=6,/8后。=(?(0°<a<90°),

求此四邊形的面積.

測(cè)試5綜合測(cè)試

1.計(jì)算.

⑴2cos60。2sin30°+sin245°+tan30°-tan60"

⑵

tan600-V2tan450cos2300+cos260。

2.已知：如圖，ZVIBC中，ZACB=90°,CD±ABD,AB=32,8c=12.

求：sin/ACD及A￡＞的長(zhǎng).

4

3.己知：Rt^ABC中，NAC8=90°,C0_LA8于。點(diǎn)，AB=2m,BD=m~\,cosA=--

5

(1)用含〃?的代數(shù)式表示BC；

(2)求機(jī)的值；

4.己知：如圖，矩形ABCO中，AB=3,BC=6,BE=2EC,于M點(diǎn).求DM的長(zhǎng).

5.已知：如圖，四邊形ABC。中，/A=45°,/C=90°,ZABD=75°,/DBC=

30°,AB=2a.求8c的長(zhǎng).

D

6.已知：如圖，四邊形ABCQ中，ZA=ZC=90°,ZD=60°,AD=573.AB=3,求BC的長(zhǎng).

7.已知：如圖，/XABC內(nèi)接于。0,BC=m,銳角/4=a,

⑴求。0的半徑R；

(2)求△ABC的面積的最大值.

8.已知：如圖，矩形紙片ABCZ)中，BC=m,將矩形的一角沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，使A點(diǎn)落在。C邊上,

落點(diǎn)記為A',折痕交A。于￡若N4'BE=a.

m

求證：EB

cosa?sin2a

AB

答案與提示

第二十八章銳角三角函數(shù)

測(cè)試1

1.△8AC,AB,AC.

①—,對(duì)邊，斜邊，固定；

AB

必，鄰邊,

②斜邊，固定值;

AB

③—,對(duì)邊，鄰邊，固定值.

AC

ah

2.①NA的對(duì)邊，一,NB的對(duì)邊，一；

CC

hn

②NA的鄰邊，的鄰邊，

CC

③NA的對(duì)邊，區(qū),/8的鄰邊，--

ba

3.唯一確定的值，對(duì)應(yīng)，a的函數(shù)，銳角三角函數(shù).

”343434

4?13，~~，~~，~，二，~,

554553

而巫3V10]_3V10巫

5.

..815815815

6z?34,,,,,,

7.I。13走走1

no/7

8.sinZ.TMR=sinN=^-,cosN7MR=cos/N=—,tan/7MR=tanN=^-?

443

3

9.AC=16,AB=20,cosB=—?

2V5V5

10.sinB-—-,cosB—5JanB=2.

11.AB=2AC=2AO?sinZAOC=24cm,OC=ylo/r-AC1=4V?cm

403243

12.(1)OA=—cm,(?C=—cm;(2)cosZA(?C=—,tanZAOC=--

1

13.(1)CZ)=AC?sinA=4cm；(2)S=-ABxCD=32cm92;

2

?2+V2

(3)tanB=—-----

14.sinB=—

3

CAb

15.⑴白；(2)c-cosA,-------;

sinAcosA

(3)/7-tanA,--一(4)—,V3;

tanA2

43心3布Vio

(叼7

16.P(cosa,sina),C(l,tana).提示：作P￡)_Lx軸于。點(diǎn).

hi

17.(l)sinZ1=^-,cosZl=—,tanZ1=V3.

22

.八而八2s八V3

(2)sinz_l=-y—,cos/1=-二-,tanz_l

F

提示：作AE_LBC于E,設(shè)AP=2.

測(cè)試2

1.

銳角a30°45°60°

V2V3

sina

2VV

V3V2￡

cosa

V22

旦

tana1V3

3

2.(1)0；(2)—2;(4)-73--y-

12224

3.(l)a=60°；(2)a=30°；(3)22.5°；(4)46°.

4.(1)0.391；(2)1.423.

5.(1)49°11'11"；(2)24°52'44".

6.104cm.提示：設(shè)￡>E=12rcm,則得AO=13xcm,AE=5xcm.利用BE=16cm.

列方程8x=16.解得x=2.

7.卑，提示：作8OJ_C4延長(zhǎng)線于。點(diǎn).

8.(1)ZD=15°,ZDBC=75°；

(2)tan￡)=2-6,tanZDBC=2+6；(3)tan22.5°=72-1.

9.(1)15°；

A/6-V2V6+V2廣

(2)sinABAD=---------,cosABAD=--------,tanABAD=2-43.

44

10.建工駕a,3?提示：作。后〃區(qū)*

交AC于E點(diǎn)，或延長(zhǎng)A。至F,使。F=

13132

AD,連結(jié)CF.

11.提示：作CE_LO4于E,作。F_LO4于凡(3)增大，(4)減小.

12.(2)增大.

13.提示：利用銳角三角函數(shù)定義證.

14.原式=Jsin，a+cos?a-2sinacosa

=J(sina-cosa)2

=|sina-cosa|

sina-cosa(45°<a<90°),

cosa—sina(0°<cr<45°).

15.⑴①?⑥略.sin2a=2sinacosa.

(2)vS.ARr=—AC-5E=—xlxsin2<z=—sin2a,

ABC222

S^BC-gBC?AD=BDxAD=sin。cosa,

I.sin2a=2sinczcoscr.

2

16.不發(fā)生改變，設(shè)NBAC=2a,BC=2m,則?S^BC=/a.(??？,ana)=加*.

測(cè)試3

1.①42+"=/；②NA+NB=90。；③巴

ccba

?AD?BD,AD?AB,BD?BA,AB?CD：

⑤一半，它的外心，"+'-c（或）

2a+b+c

⑥Lab或>ch（h為斜邊上的高）或工匕csinA或'acsin8或，r（a+b+c）.

2222

（r為內(nèi)切圓半徑）

2.兩個(gè)元素，有一個(gè)是邊，直角邊，一條直角邊，斜邊，一條直角邊.

3.90°—乙4,sinA,cosA；

90°-NA,

tanA'sinA'

c=yla2+b2,tanA=—,90°-ZA;

b

b=Ji_〃2,sinA=—,90°-ZB.

c

4.(1)ZA=45°,ZB=45°,/?=35；

(2)ZA=60°，ZB=30°,c=4；

(3)a=4,b=2石;

(4)。=6,c=3V13；

(5)。=6y[2,b-26,c=4A/6,ZB=30°.

5.⑴AB=2R,sina,