2021年中考數(shù)學(xué) 專題沖刺：正方形及四邊形綜合問題（含答案）

2021中考數(shù)學(xué)專題沖刺：正方形及四邊形綜合

問題

一、選擇題

i.下列命題是假命題的是（）

A.平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形

B.同角（或等角）的余角相等

C.線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等

D.正方形的對角線相等，且互相垂直平分

2.小紅用次數(shù)最少的對折方法驗(yàn)證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形，她對折了

（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

3.如圖，在四邊形ABCO中，AB=CD,AC,8。是對角線，E,F,G,”分別

是AO,BD,BC,AC的中點(diǎn)，連接EFFG,GH,HE,則四邊形EFGH的形

狀是（）

A.平行四邊形D.正方形

4.如圖，在正方形A8CD中，AB=\,點(diǎn)E,尸分別在邊和CO上，AE=AF,

ZEAF=60°,則CF的長是（）

5.如圖，把正方形紙片ABCD沿對邊中點(diǎn)所在的直線對折后展開，折痕為MN,

再過點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE.若AB的長為2,

則FM的長為（）

A.2B.小C.yflD.1

6.如圖，在正方形ABCD中，AC為對角線，E為AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF〃AD,

與AC、DC分別交于點(diǎn)G、F,H為CG的中點(diǎn)，連接DE、EH、DH、FH.下列

結(jié)論：

AE2

①EG=DF；②NAEH+NADH=180°；?AEHF^ADHC；④若—Ab=不J，則3s

△EDH=13SADHC，其中結(jié)論正確的有（）

A.1個(gè)3.2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)

D

7.（2020.東營）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、B

重合），對角線AC、BD相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)P分別作AC、BD的垂線，分別交

AC、BD于點(diǎn)E、F,交AD、BC于點(diǎn)M、N,下列結(jié)論：①△APEgAAME；

②PM+PN=AC；?PE2+PF2=PO2；④△POFSABNF；⑤點(diǎn)O在M、N兩點(diǎn)

的連線上.其中正確的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

8.已知在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖X3—1—10所示的正方形（用陰影表

示），點(diǎn)31在y軸上，點(diǎn)Ci.Ei,&、。2、E3、&、J在x軸上.若正方形AiBCiOi

的邊長為1,ZBiCiO=60°,8G〃&C2〃33c3,則點(diǎn)4到x軸的距離是（）

入^±1R?

18m18

C.呼D耳1

二、填空題

9.將邊長為1的正方形ABC。繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置

（如圖），使得點(diǎn)。落在對角線CF上，所與相交于點(diǎn)H,則HD=.（結(jié)

果保留根號(hào)）

10.如圖，四邊形ACDF是正方形，ZCEA和NABF都是直角且E,A,B三點(diǎn)

共線，A8=4,則陰影部分的面積是.

11.以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE,則/BEC的度數(shù)

是.

12.如圖，在正方形A8CO中，AC為對角線，點(diǎn)E在45邊上，EFLAC于點(diǎn)、F,

連接EC,AF=3,若△EEC的周長為12,則EC的長為.

13.如圖，E,尸是正方形A8CO的對角線AC上的兩點(diǎn)，AC=8,AE=CF=2,則

四邊形BEDE的周長是

14.0ABCD的對角線AC與BD相交于點(diǎn)0,且AC1BD,請?zhí)砑右粋€(gè)條件:

，使得QABCD為正方形.

15.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,

S正方形MNPQ

點(diǎn)M,F,Q都在對角線BD上,且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形，則

S正方形AEFG

的值等于________

16.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力游戲，被譽(yù)為“東方魔板”.由邊長為4g的

正方形ABCD可以制作一副如圖①所示的七巧板，現(xiàn)將這副七巧板在正方形

EFG”內(nèi)拼成如圖②所示的“拼搏兔”造型（其中點(diǎn)。，火分別與圖②中的點(diǎn)E,G

重合，點(diǎn)P在邊EH上），則“拼搏兔”所在正方形EFG"的邊長是.

三'解答題

17.如圖，正方形ABCD的對角線AC,B。相交于點(diǎn)0,E是0C上一點(diǎn)，連接

ER過點(diǎn)A作垂足為M,AM與8。相交于點(diǎn)E

求證:0E=0E

18.如圖，正方形ABCD,點(diǎn)E,F分別在AD,CD±,且DE=CF,AF與BE

相交于點(diǎn)G.

⑴求證:BE=AF；

⑵若AB=4,DE=1,求AG的長.

19.己知正方形ABCD中，BC=3,點(diǎn)E、F分別是CB、CD延長線上的點(diǎn)，DF

=BE,連接AE、AF,過點(diǎn)A作AHLED于H點(diǎn).

(1)求證：△ADF^AABE；

⑵若BE=1,求S“NAED的值.

20.如圖，已知正方形A8CO與正方形CEFG,M是A尸的中點(diǎn)，連接。M,EM.

(1)如圖①，點(diǎn)E在CO上，點(diǎn)G在8C的延長線上，判斷。M,EM的數(shù)量關(guān)系

與位置關(guān)系，請直接寫出結(jié)論.

(2)如圖②，點(diǎn)E在OC的延長線上，點(diǎn)G在3。上，(1)中結(jié)論是否仍然成立?請

證明你的結(jié)論.

①②

21.已知，在R3ABC中，ZACB=90°,BC=AC,AB=6,。是A3的中點(diǎn)，動(dòng)

點(diǎn)E從點(diǎn)D出發(fā)，在AB邊上向左或右運(yùn)動(dòng)，以CE為邊向左側(cè)作正方形CEFG,

直線BG,FE相交于點(diǎn)M點(diǎn)E向左運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖①，點(diǎn)E向右運(yùn)動(dòng)時(shí)如圖②).

(1)在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過程中，直線BG與CD的位置關(guān)系為；

(2)設(shè)OE=x,NB=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值；

(3)如圖②，當(dāng)。E的長度為小時(shí)，求NBEE的度數(shù).

22.在矩形A8CD中，AO=4,M是AD的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上一點(diǎn)，連接

EM并延長交線段CD的延長線于點(diǎn)F.

(1)如圖①，求證：△4或?yàn)酢鳌Ｊ琈；

(2)如圖②，若AB=2,過點(diǎn)M作MGLE/交線段BC于點(diǎn)G,求證：△GEF是

等腰直角三角形；

(3)如圖③，若AB=2小,過點(diǎn)M作MGLEF交線段BC的延長線于點(diǎn)G,若

MG=nME,求〃的值.

F

2021中考數(shù)學(xué)專題沖刺：正方形及四邊形綜合

問題-答案

一、選擇題

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C［解析］?.?點(diǎn)E,F,G,H分別是四邊形ABC。中AO,BD,BC,

CA的中點(diǎn)，：.EF=GH=-AB,EH=FG=-CD,'：AB^CD,：.EF=FG=GH=EH,

22

二四邊形EFGH是菱形，故選C.

4.【答案】C［解析］連接ZEAF=60°,二△AEF為等邊三角形，

.?.4七=￡：￡；四邊形48。。為正方形，，/3=/。=/。=90。,48=4。，，1^48￡

且R3AOF(HL),，BE=DF,；.EC=CF.設(shè)CF=x,則EC=x,

AE=EF=>JEC2+FC2=y［2x,BE=l-x.在RtAABE中，AB2+BE^=AE2,：.

l+(l-x)2=(、％)2,解得％=b-1(舍負(fù)).故選C.

5.【答案】B【解析】?.?AB=2,...B/=2,又由勾股定理得

FM=y/FB2-BM2=小.

6.【答案】D【解析】逐項(xiàng)分析如下表:

序號(hào)逐項(xiàng)分析正誤

在正方形ABC。中，AB=BC=CD=DA,NDAB=NB=

ZBCD=ZCDA=90°,ZACB=ZACD=45°,'JEF//AD,

①，四邊形ERDA、四邊形EFCB是矩形，V

=90°,EF=DC,在RtaCG尸中，ZACD=45°,GF=

CF,：.EF-GF=CD-CF,即EG=OE

???AGFC是等腰直角三角形，〃是CG的中點(diǎn)，,GH=FH,

NHGF=NGFH=45。,:./EGH=NDFH=135。,又由①

知EG=DF,：.4EGH迫ADFH(SAS),：./HEF=NFDH,

'：ZAEH=ZAEF+ZHEF=90°+NHEF,ZADH=ZADC

-ZFDH=90°-ZFDH,：.ZAEH+ZADH=180°

由②可知E”=。"，F(xiàn)H=CH,又?：EF=DC,:AEHFQ

③q

△DHC(SSS)

,:△EGH4ADFH,：.EH=DH,/EHG=/DHF,：.ZEHG

+ZAHD=ZDHF+ZAHD=90°,即ZEHD=ZAHF=

&p2

90。，.??△EHO為等腰直角三角形，?.、〃一],...設(shè)AE—2x,

/1￡>J

AB=3x,則。E=d(2x)2+(3x)2=y[T3x,：.EH=DH

A/2/—A/261,113,13,*

—2Xv13x—2x,,，5a￡D?—2^2-2X24%2,

V

]X

△DHC中，設(shè)CO邊上的高為力，則人=2。廣=2，貝USAOHC

13,

1__,1c尤32S八EDH4A13

—C￡)-/z—x3xx—.%2,—2—B|J3S^EDH—13S

0Lo，o，4OADHC￡23

△D/7C

7.【答案】B

【解析】本題考查了垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、

等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，是常見問題的綜合，

靈活的運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解答本題的關(guān)鍵.綜合應(yīng)用垂線、平行線和正方形的性質(zhì)，

全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和

性質(zhì)等知識(shí)，逐個(gè)判斷5個(gè)結(jié)論的正確性，得出結(jié)論.

①：正方形ABC。，AZAPE=ZAME=45°,'：PM1AE,：.ZAEP=ZAEM=90°,

\'AE=AE,：.^APE^/\AME(ASA)；

②過點(diǎn)N作NQLAC于點(diǎn)Q,則四邊形PNQE是矩形，.”2區(qū)2,?.?正方形ABC。，

：.ZPAE=ZMAE=45°,'：PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZPAE=AAPE,PE=NQ,

...△APE等腰直角三角形，...AFPE,同理得：△N。。等腰直角三角形，...

NQ=CQ,V^APE^/\AME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,EPPM+PN=AC成立;

③?.?正方形ABC。，.?.AC_LB。，...NEO/是直角，?.?過點(diǎn)P分別作AC、BO的

垂線，分別交AC、BD于點(diǎn)E、E...NPEO和NPF。是直角，.?.四邊形PFOE

是矩形，：,PF=OE,在中，有PE2+OE2=PG,：.PE2+PF2=PO2,即

PE2+PF2=PO2成立;

④△加伊是等腰直角三角形，點(diǎn)P不在A3的中點(diǎn)時(shí)，^尸。尸不是等腰直角三

角形，所以△P。/7與△即";'不一定相似，即△POFs△即";'不一定成立；

⑤「△AMP是等腰直角三角形，△PMNs/\AMP,.?.△PMN是等腰直角三角形，

VZMPN=90°,：.PM=PN,'：AP=—PM,BP=—PN,：.AP=BP,.?.點(diǎn)P是

22

AB的中點(diǎn)，又;。為正方形的對稱中點(diǎn)，...點(diǎn)O在M、N兩點(diǎn)的連線上.綜上,

①②③⑤成立，即正確的結(jié)論有4個(gè)，答案選B.

8.【答案】0)D解析：過小正方形的一個(gè)頂點(diǎn)。3作尸。_1_無軸于點(diǎn)Q,過點(diǎn)

4作A3F，尸。于點(diǎn)E

?.?正方形ABiGOi的邊長為1，N3iGO=60。，3ci〃&。2〃83c3,

O

.".ZB3C3￡4=60°,ZDICIEI=30°,Z￡2B2C2=30,

:.D\E\=~jD\C\=］,:.D\E\=BIE2=g,

2

二?cos30o=0r，解得：B2c2=q.

0A2C2=萬R2c2J

.&6=乎B3E4

cos30°=

83c3.

解得：53c3=g.

則03c3=g.

根據(jù)題意得出:

NZ)3GQ=3O°,/。3。3。=60°,N4O3尸=30°,

QQ=另J

股=0處皿30。=上用=坐

則點(diǎn)A3至Ijx軸的距離

FC=D3e+FD3=1+^=^^-.

二、填空題_

9.【答案】迎-1［解析］?..四邊形A8CD為正方形，

：.CD=l,ZCDA=90°,

???邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置，

使得點(diǎn)D落在對角線CF±,

：.CF=^2,NBE=45。，OF”為等腰直角三角形，.?.OH=OF=CF-CD=a-1.

故答案為我-L

10.【答案】8［解析?四邊形AC。尸是正方形，

：.AC=AF,NCAb=90°,AZCAE+ZBAF=9Q0,

又NCAE+N￡C4=90。，

，NECA=NBAF,則在△ACE和4FAB中，

rZ.AEC=Z.ABF=90°,

V-^ECA=Z.BAF,

“=AF,

：.△ACE^AMB(AAS),：.AB=CE=4,

：.陰影部分的面積="8。石=84*4=8.

22

11.【答案】30?；?50。［解析］如圖①，???△AOE是等邊三角形,

：.DE=DA,ZDEA=Z1=6O°.

???四邊形ABC。是正方形，

：.DC=DA,Z2=90°.

：.ZCDE=150°,DE=DC,

.?.Z3=i(180O-150o)=15°.

同理可求得N4=15。.

二ZBEC=30°.

如圖②，???△AOE是等邊三角形,

：.DE=DA,Nl=N2=60°,

?.?四邊形ABC。是正方形，

：.DC=DA,ZCDA=90°.

：.DE=DC,Z3=3O°,

.,.Z4=i(180°-30°)=75°.

同理可求得N5=75。.

，ZBEC=360°—Z2—Z4—Z5=150°.

故答案為30。或150°.

12.【答案】5［解析?四邊形A8CQ是正方形，AC為對角線,

AZMF=45°,XVEF1/4C,

/.ZAF￡=90°,/.ZAEF=45°,

：.EF=AF=3,

EFC的周長為12,

：.FC=12-3-EC=9-EC,

在RtZkEFC中，EC2=EF2+FC2,

：.EC2=9+(9-EC)2,

解得￡C=5.

13.【答案】8百［解析］如圖，連接80交AC于點(diǎn)O,

???四邊形ABCO為正方形，：.BDLAC,OD=OB=OA=OC,

'：AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,BPOE=OF,

：.四邊形BEDF為平行四邊形，且BDLEF,

四邊形BED尸為菱形，

:.DE=DF=BE=BF,

YAC=BO=8,OE=OF=—=2,，由勾股定理

2

得:。EK。。？+OE2=\'42+2?=2、弓

二四邊形BEDF的周長=4OE=4x2行=8石，故答案為:8遍.

14.【答案】NBAD=90。（答案不唯一）【解析】..FABCD的對角線AC與BD

相交于點(diǎn)0,且AC±BD,."ABCD是菱形，當(dāng)NBAD=90。時(shí)，菱形ABCD

為正方形.故可添加條件：ZBAD=90°.

o

15.【答案】5【解析】設(shè)BD=3a,NCDB=NCBD=45。，且四邊形PQMN為

正方形，，DQ=PQ=QM=NM=MB,.?.正方形MNPQ的邊長為a,正方形AEFG

131339

的對角線AF=]BD=]a,：正方形對角線互相垂直，；.S正方形AEFG=]X5ax]a=ga2,

.S正方心MNPQa?8

,,S正方形AEFG2,9-

16.【答案】4再[解析]如圖，連接EG,作GMLEN交EN的延長線于M.

在Rt^EMG中，VGM=4,EM=2+2+4+4=12,

:,EG=7EM。+GM2K12?+42=4-\/'10>

：.EH=^：=4y/5.

三'解答題

17.【答案】

證明:在正方形ABC。中，AC.LBD,

：.ZAOF=ZBOE=90°.

'：AM±BE,：.ZAME=90°,

：.ZFAO+ZAEB=ZEBO+ZAEB=9Q°,

：.ZFAO=ZEBO.

在正方形ABC。中，

AC=BD,OA=-AC,OB=-BD,

22

：.OA=OB,

：.△AO金△80E(ASA),OE=OF.

18.【答案】

(I；?四邊形ABCD是正方形，

.,.ZBAE=ZADF=90°,AB=AD=CD,

VDE=CF,.*.AE=DF,

AB=AD

在ABAE和AADF中，<NBAE=NADF,

AE=DF

：.ABAE^AADF(SAS),

；.BE=AF；

(2)解：由(1)得：△BAEgaADF,

ZEBA=ZFAD,

.,.ZGAE+ZAEG=90°,

AZAGE=90°,

VAB=4,DE=1,

AE=3,

BE=7AB2+AE2=V42+32=5，

在RtZ\ABE中，-ABXAE=-BEXAG,

22

19.【答案】

(I)證明：在AADF和^ABE中，

jAB=AD

<NABE=NADF=90。，

IEB=FD

.?.△ADF絲△ABE(SAS).(3分)

(2)解：VAB=3,BE=1,

/.AE=ViO,EC=4,

.*.ED=^/CD2+EC2=5,(4分)

設(shè)AH=x,EH=y,

在/?/AAHE和^AAHD中，

x22

<+y'=10

M+(5—y)2=9，

解得，x=1.8,y=2.6,(6分)

.,—AHx1.89小八、

??AED=FH=,=26=7^，8分)

20.【答案】

解:(1)結(jié)論:DM=EM.

［解析］延長EM交AD于H.

???四邊形A3CO是正方形，四邊形EFGC是正方形,

NADE=NDEF=90。,

AD=CD,

J.AD//EF,

NMAH=/MFE,

'：AM=MF,ZAMH=ZFME,

:.AAMH名AFME,

：.MH=ME,AH=EF=EC,：.DH=DE,

'：NEDH=90。,

：.DMLEM,DM=ME.

(2)結(jié)論不變.OM,EM,DM=EM.

證明:延長EM交DA的延長線于H.

??,四邊形ABC。是正方形，四邊形EFGC是正方形,

，NADE=NDEF=90。,

AD=CD,

J.AD//EF,

：.NMAH=NMFE,

'：AM=MF,ZAMH=ZFME,

：.△AMH^AFME,

：.MH=ME,AH=EF=EC,

：.DH=DE,

,/ZEDH=90°,

：.DM1EM,DM=ME.

21.【答案】

(\)BG//CD；

【解法提示】?.?四邊形EEGC是正方形，：.CG=CE,/GCE=/GFE=NFEC

=90°,VZACB=ZGCE=90°,：.ZGCB=ZECA,?:GC=CE,CB=CA,

：.△CAE^△CBG.X*/ZACB=90°,BC=AC,D是AB的中點(diǎn)，：.NCBG=

ZCAE=45°,ZBCD=45°,：.ZCBG=ZBCD,C.BG//CD.

(2)VCB=CA,CD!AB,NACB=90°,

：.CD=BD=AD=3,ZCBA=ZA=45°,

易得△CAEmACBG,

：.ZCBG=ZA=45°,

：.ZGBA=ZGBC+ZCBA=90°.

,/ZBEN+ZBNE=9Q°,ZBEN+ZCED=90°,

：.NBNE=ZCED,

■:NEBN=/CDE=90。,

:ANBEsAEDC,

.BNBE

,"E5=C5'

.y3—x

?“-3，

133

.?產(chǎn)一廠5)9+『

I33

???一gvo,時(shí)，y的最大值為本

(3)如解圖，作"LAB于點(diǎn)”...?CB=CA,BD=CD,ZBCA=90°,

：.CD1AB,CD=BD=AD=3,

/八「一匹_近

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