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文檔簡介
2021中考數(shù)學專題沖刺:正方形及四邊形綜合
問題
一、選擇題
i.下列命題是假命題的是()
A.平行四邊形既是軸對稱圖形,又是中心對稱圖形
B.同角(或等角)的余角相等
C.線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等
D.正方形的對角線相等,且互相垂直平分
2.小紅用次數(shù)最少的對折方法驗證了一條四邊形絲巾的形狀是正方形,她對折了
()
A.1次B.2次C.3次D.4次
3.如圖,在四邊形ABCO中,AB=CD,AC,8。是對角線,E,F,G,”分別
是AO,BD,BC,AC的中點,連接EFFG,GH,HE,則四邊形EFGH的形
狀是()
A.平行四邊形D.正方形
4.如圖,在正方形A8CD中,AB=\,點E,尸分別在邊和CO上,AE=AF,
ZEAF=60°,則CF的長是()
5.如圖,把正方形紙片ABCD沿對邊中點所在的直線對折后展開,折痕為MN,
再過點B折疊紙片,使點A落在MN上的點F處,折痕為BE.若AB的長為2,
則FM的長為()
A.2B.小C.yflD.1
6.如圖,在正方形ABCD中,AC為對角線,E為AB上一點,過點E作EF〃AD,
與AC、DC分別交于點G、F,H為CG的中點,連接DE、EH、DH、FH.下列
結論:
AE2
①EG=DF;②NAEH+NADH=180°;?AEHF^ADHC;④若—Ab=不J,則3s
△EDH=13SADHC,其中結論正確的有()
A.1個3.2個C3個D4個
D
7.(2020.東營)如圖,在正方形ABCD中,點P是AB上一動點(不與A、B
重合),對角線AC、BD相交于點O,過點P分別作AC、BD的垂線,分別交
AC、BD于點E、F,交AD、BC于點M、N,下列結論:①△APEgAAME;
②PM+PN=AC;?PE2+PF2=PO2;④△POFSABNF;⑤點O在M、N兩點
的連線上.其中正確的是()
A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤
D.③④⑤
8.已知在平面直角坐標系中放置了5個如圖X3—1—10所示的正方形(用陰影表
示),點31在y軸上,點Ci.Ei,&、。2、E3、&、J在x軸上.若正方形AiBCiOi
的邊長為1,ZBiCiO=60°,8G〃&C2〃33c3,則點4到x軸的距離是()
入^±1R?
18m18
C.呼D耳1
二、填空題
9.將邊長為1的正方形ABC。繞點。按順時針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置
(如圖),使得點。落在對角線CF上,所與相交于點H,則HD=.(結
果保留根號)
10.如圖,四邊形ACDF是正方形,ZCEA和NABF都是直角且E,A,B三點
共線,A8=4,則陰影部分的面積是.
11.以正方形ABCD的邊AD為邊作等邊三角形ADE,則/BEC的度數(shù)
是.
12.如圖,在正方形A8CO中,AC為對角線,點E在45邊上,EFLAC于點、F,
連接EC,AF=3,若△EEC的周長為12,則EC的長為.
13.如圖,E,尸是正方形A8CO的對角線AC上的兩點,AC=8,AE=CF=2,則
四邊形BEDE的周長是
14.0ABCD的對角線AC與BD相交于點0,且AC1BD,請?zhí)砑右粋€條件:
,使得QABCD為正方形.
15.如圖,在正方形ABCD中,點E,N,P,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,
S正方形MNPQ
點M,F,Q都在對角線BD上,且四邊形MNPQ和AEFG均為正方形,則
S正方形AEFG
的值等于________
16.七巧板是一種古老的中國傳統(tǒng)智力游戲,被譽為“東方魔板”.由邊長為4g的
正方形ABCD可以制作一副如圖①所示的七巧板,現(xiàn)將這副七巧板在正方形
EFG”內(nèi)拼成如圖②所示的“拼搏兔”造型(其中點。,火分別與圖②中的點E,G
重合,點P在邊EH上),則“拼搏兔”所在正方形EFG"的邊長是.
三'解答題
17.如圖,正方形ABCD的對角線AC,B。相交于點0,E是0C上一點,連接
ER過點A作垂足為M,AM與8。相交于點E
求證:0E=0E
18.如圖,正方形ABCD,點E,F分別在AD,CD±,且DE=CF,AF與BE
相交于點G.
⑴求證:BE=AF;
⑵若AB=4,DE=1,求AG的長.
19.己知正方形ABCD中,BC=3,點E、F分別是CB、CD延長線上的點,DF
=BE,連接AE、AF,過點A作AHLED于H點.
(1)求證:△ADF^AABE;
⑵若BE=1,求S“NAED的值.
20.如圖,已知正方形A8CO與正方形CEFG,M是A尸的中點,連接。M,EM.
(1)如圖①,點E在CO上,點G在8C的延長線上,判斷。M,EM的數(shù)量關系
與位置關系,請直接寫出結論.
(2)如圖②,點E在OC的延長線上,點G在3。上,(1)中結論是否仍然成立?請
證明你的結論.
①②
21.已知,在R3ABC中,ZACB=90°,BC=AC,AB=6,。是A3的中點,動
點E從點D出發(fā),在AB邊上向左或右運動,以CE為邊向左側(cè)作正方形CEFG,
直線BG,FE相交于點M點E向左運動時如圖①,點E向右運動時如圖②).
(1)在點E的運動過程中,直線BG與CD的位置關系為;
(2)設OE=x,NB=y,求y與x之間的函數(shù)關系式,并求出y的最大值;
(3)如圖②,當。E的長度為小時,求NBEE的度數(shù).
22.在矩形A8CD中,AO=4,M是AD的中點,點E是線段AB上一點,連接
EM并延長交線段CD的延長線于點F.
(1)如圖①,求證:△4或烏△。尸M;
(2)如圖②,若AB=2,過點M作MGLE/交線段BC于點G,求證:△GEF是
等腰直角三角形;
(3)如圖③,若AB=2小,過點M作MGLEF交線段BC的延長線于點G,若
MG=nME,求〃的值.
F
2021中考數(shù)學專題沖刺:正方形及四邊形綜合
問題-答案
一、選擇題
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】C[解析]?.?點E,F,G,H分別是四邊形ABC。中AO,BD,BC,
CA的中點,:.EF=GH=-AB,EH=FG=-CD,':AB^CD,:.EF=FG=GH=EH,
22
二四邊形EFGH是菱形,故選C.
4.【答案】C[解析]連接ZEAF=60°,二△AEF為等邊三角形,
.?.4七=£:£;四邊形48。。為正方形,,/3=/。=/。=90。,48=4。,,1^48£
且R3AOF(HL),,BE=DF,;.EC=CF.設CF=x,則EC=x,
AE=EF=>JEC2+FC2=y[2x,BE=l-x.在RtAABE中,AB2+BE^=AE2,:.
l+(l-x)2=(、%)2,解得%=b-1(舍負).故選C.
5.【答案】B【解析】?.?AB=2,...B/=2,又由勾股定理得
FM=y/FB2-BM2=小.
6.【答案】D【解析】逐項分析如下表:
序號逐項分析正誤
在正方形ABC。中,AB=BC=CD=DA,NDAB=NB=
ZBCD=ZCDA=90°,ZACB=ZACD=45°,'JEF//AD,
①,四邊形ERDA、四邊形EFCB是矩形,V
=90°,EF=DC,在RtaCG尸中,ZACD=45°,GF=
CF,:.EF-GF=CD-CF,即EG=OE
???AGFC是等腰直角三角形,〃是CG的中點,,GH=FH,
NHGF=NGFH=45。,:./EGH=NDFH=135。,又由①
知EG=DF,:.4EGH迫ADFH(SAS),:./HEF=NFDH,
':ZAEH=ZAEF+ZHEF=90°+NHEF,ZADH=ZADC
-ZFDH=90°-ZFDH,:.ZAEH+ZADH=180°
由②可知E”=。",F(xiàn)H=CH,又?:EF=DC,:AEHFQ
③q
△DHC(SSS)
,:△EGH4ADFH,:.EH=DH,/EHG=/DHF,:.ZEHG
+ZAHD=ZDHF+ZAHD=90°,即ZEHD=ZAHF=
&p2
90。,.??△EHO為等腰直角三角形,?.、〃一],...設AE—2x,
/1£>J
AB=3x,則。E=d(2x)2+(3x)2=y[T3x,:.EH=DH
A/2/—A/261,113,13,*
—2Xv13x—2x,,,5a£D?—2^2-2X24%2,
V
]X
△DHC中,設CO邊上的高為力,則人=2。廣=2,貝USAOHC
13,
1__,1c尤32S八EDH4A13
—C£)-/z—x3xx—.%2,—2—B|J3S^EDH—13S
0Lo,o,4OADHC£23
△D/7C
7.【答案】B
【解析】本題考查了垂線、平行線和正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì)、
等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì),是常見問題的綜合,
靈活的運用所學知識是解答本題的關鍵.綜合應用垂線、平行線和正方形的性質(zhì),
全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判斷和性質(zhì)、相似三角形的判定和
性質(zhì)等知識,逐個判斷5個結論的正確性,得出結論.
①:正方形ABC。,AZAPE=ZAME=45°,':PM1AE,:.ZAEP=ZAEM=90°,
\'AE=AE,:.^APE^/\AME(ASA);
②過點N作NQLAC于點Q,則四邊形PNQE是矩形,.”2區(qū)2,?.?正方形ABC。,
:.ZPAE=ZMAE=45°,':PM±AE,:.ZPEA=45°,:.ZPAE=AAPE,PE=NQ,
...△APE等腰直角三角形,...AFPE,同理得:△N。。等腰直角三角形,...
NQ=CQ,V^APE^/\AME,:.PE=ME,:.PE=ME=NQ=CQ,:.PM=AE+CQ,
:.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,EPPM+PN=AC成立;
③?.?正方形ABC。,.?.AC_LB。,...NEO/是直角,?.?過點P分別作AC、BO的
垂線,分別交AC、BD于點E、E...NPEO和NPF。是直角,.?.四邊形PFOE
是矩形,:,PF=OE,在中,有PE2+OE2=PG,:.PE2+PF2=PO2,即
PE2+PF2=PO2成立;
④△加伊是等腰直角三角形,點P不在A3的中點時,^尸。尸不是等腰直角三
角形,所以△P。/7與△即";'不一定相似,即△POFs△即";'不一定成立;
⑤「△AMP是等腰直角三角形,△PMNs/\AMP,.?.△PMN是等腰直角三角形,
VZMPN=90°,:.PM=PN,':AP=—PM,BP=—PN,:.AP=BP,.?.點P是
22
AB的中點,又;。為正方形的對稱中點,...點O在M、N兩點的連線上.綜上,
①②③⑤成立,即正確的結論有4個,答案選B.
8.【答案】0)D解析:過小正方形的一個頂點。3作尸。_1_無軸于點Q,過點
4作A3F,尸。于點E
?.?正方形ABiGOi的邊長為1,N3iGO=60。,3ci〃&。2〃83c3,
O
.".ZB3C3£4=60°,ZDICIEI=30°,Z£2B2C2=30,
:.D\E\=~jD\C\=],:.D\E\=BIE2=g,
2
二?cos30o=0r,解得:B2c2=q.
0A2C2=萬R2c2J
.&6=乎B3E4
cos30°=
83c3.
解得:53c3=g.
則03c3=g.
根據(jù)題意得出:
NZ)3GQ=3O°,/。3。3。=60°,N4O3尸=30°,
QQ=另J
股=0處皿30。=上用=坐
則點A3至Ijx軸的距離
FC=D3e+FD3=1+^=^^-.
二、填空題_
9.【答案】迎-1[解析]?..四邊形A8CD為正方形,
:.CD=l,ZCDA=90°,
???邊長為1的正方形ABCD繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)到正方形FECG的位置,
使得點D落在對角線CF±,
:.CF=^2,NBE=45。,OF”為等腰直角三角形,.?.OH=OF=CF-CD=a-1.
故答案為我-L
10.【答案】8[解析?四邊形AC。尸是正方形,
:.AC=AF,NCAb=90°,AZCAE+ZBAF=9Q0,
又NCAE+N£C4=90。,
,NECA=NBAF,則在△ACE和4FAB中,
rZ.AEC=Z.ABF=90°,
V-^ECA=Z.BAF,
“=AF,
:.△ACE^AMB(AAS),:.AB=CE=4,
:.陰影部分的面積="8。石=84*4=8.
22
11.【答案】30?;?50。[解析]如圖①,???△AOE是等邊三角形,
:.DE=DA,ZDEA=Z1=6O°.
???四邊形ABC。是正方形,
:.DC=DA,Z2=90°.
:.ZCDE=150°,DE=DC,
.?.Z3=i(180O-150o)=15°.
同理可求得N4=15。.
二ZBEC=30°.
如圖②,???△AOE是等邊三角形,
:.DE=DA,Nl=N2=60°,
?.?四邊形ABC。是正方形,
:.DC=DA,ZCDA=90°.
:.DE=DC,Z3=3O°,
.,.Z4=i(180°-30°)=75°.
同理可求得N5=75。.
,ZBEC=360°—Z2—Z4—Z5=150°.
故答案為30?;?50°.
12.【答案】5[解析?四邊形A8CQ是正方形,AC為對角線,
AZMF=45°,XVEF1/4C,
/.ZAF£=90°,/.ZAEF=45°,
:.EF=AF=3,
EFC的周長為12,
:.FC=12-3-EC=9-EC,
在RtZkEFC中,EC2=EF2+FC2,
:.EC2=9+(9-EC)2,
解得£C=5.
13.【答案】8百[解析]如圖,連接80交AC于點O,
???四邊形ABCO為正方形,:.BDLAC,OD=OB=OA=OC,
':AE=CF=2,
:.OA-AE=OC-CF,BPOE=OF,
:.四邊形BEDF為平行四邊形,且BDLEF,
四邊形BED尸為菱形,
:.DE=DF=BE=BF,
YAC=BO=8,OE=OF=—=2,,由勾股定理
2
得:。EK。。?+OE2=\'42+2?=2、弓
二四邊形BEDF的周長=4OE=4x2行=8石,故答案為:8遍.
14.【答案】NBAD=90。(答案不唯一)【解析】..FABCD的對角線AC與BD
相交于點0,且AC±BD,."ABCD是菱形,當NBAD=90。時,菱形ABCD
為正方形.故可添加條件:ZBAD=90°.
o
15.【答案】5【解析】設BD=3a,NCDB=NCBD=45。,且四邊形PQMN為
正方形,,DQ=PQ=QM=NM=MB,.?.正方形MNPQ的邊長為a,正方形AEFG
131339
的對角線AF=]BD=]a,:正方形對角線互相垂直,;.S正方形AEFG=]X5ax]a=ga2,
.S正方心MNPQa?8
,,S正方形AEFG2,9-
16.【答案】4再[解析]如圖,連接EG,作GMLEN交EN的延長線于M.
在Rt^EMG中,VGM=4,EM=2+2+4+4=12,
:,EG=7EM。+GM2K12?+42=4-\/'10>
:.EH=^:=4y/5.
三'解答題
17.【答案】
證明:在正方形ABC。中,AC.LBD,
:.ZAOF=ZBOE=90°.
':AM±BE,:.ZAME=90°,
:.ZFAO+ZAEB=ZEBO+ZAEB=9Q°,
:.ZFAO=ZEBO.
在正方形ABC。中,
AC=BD,OA=-AC,OB=-BD,
22
:.OA=OB,
:.△AO金△80E(ASA),OE=OF.
18.【答案】
(I;?四邊形ABCD是正方形,
.,.ZBAE=ZADF=90°,AB=AD=CD,
VDE=CF,.*.AE=DF,
AB=AD
在ABAE和AADF中,<NBAE=NADF,
AE=DF
:.ABAE^AADF(SAS),
;.BE=AF;
(2)解:由(1)得:△BAEgaADF,
ZEBA=ZFAD,
.,.ZGAE+ZAEG=90°,
AZAGE=90°,
VAB=4,DE=1,
AE=3,
BE=7AB2+AE2=V42+32=5,
在RtZ\ABE中,-ABXAE=-BEXAG,
22
19.【答案】
(I)證明:在AADF和^ABE中,
jAB=AD
<NABE=NADF=90。,
IEB=FD
.?.△ADF絲△ABE(SAS).(3分)
(2)解:VAB=3,BE=1,
/.AE=ViO,EC=4,
.*.ED=^/CD2+EC2=5,(4分)
設AH=x,EH=y,
在/?/AAHE和^AAHD中,
x22
<+y'=10
M+(5—y)2=9,
解得,x=1.8,y=2.6,(6分)
.,—AHx1.89小八、
??AED=FH=,=26=7^,8分)
20.【答案】
解:(1)結論:DM=EM.
[解析]延長EM交AD于H.
???四邊形A3CO是正方形,四邊形EFGC是正方形,
NADE=NDEF=90。,
AD=CD,
J.AD//EF,
NMAH=/MFE,
':AM=MF,ZAMH=ZFME,
:.AAMH名AFME,
:.MH=ME,AH=EF=EC,:.DH=DE,
':NEDH=90。,
:.DMLEM,DM=ME.
(2)結論不變.OM,EM,DM=EM.
證明:延長EM交DA的延長線于H.
??,四邊形ABC。是正方形,四邊形EFGC是正方形,
,NADE=NDEF=90。,
AD=CD,
J.AD//EF,
:.NMAH=NMFE,
':AM=MF,ZAMH=ZFME,
:.△AMH^AFME,
:.MH=ME,AH=EF=EC,
:.DH=DE,
,/ZEDH=90°,
:.DM1EM,DM=ME.
21.【答案】
(\)BG//CD;
【解法提示】?.?四邊形EEGC是正方形,:.CG=CE,/GCE=/GFE=NFEC
=90°,VZACB=ZGCE=90°,:.ZGCB=ZECA,?:GC=CE,CB=CA,
:.△CAE^△CBG.X*/ZACB=90°,BC=AC,D是AB的中點,:.NCBG=
ZCAE=45°,ZBCD=45°,:.ZCBG=ZBCD,C.BG//CD.
(2)VCB=CA,CD!AB,NACB=90°,
:.CD=BD=AD=3,ZCBA=ZA=45°,
易得△CAEmACBG,
:.ZCBG=ZA=45°,
:.ZGBA=ZGBC+ZCBA=90°.
,/ZBEN+ZBNE=9Q°,ZBEN+ZCED=90°,
:.NBNE=ZCED,
■:NEBN=/CDE=90。,
:ANBEsAEDC,
.BNBE
,"E5=C5'
.y3—x
?“-3,
133
.?產(chǎn)一廠5)9+『
I33
???一gvo,時,y的最大值為本
(3)如解圖,作"LAB于點”...?CB=CA,BD=CD,ZBCA=90°,
:.CD1AB,CD=BD=AD=3,
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