2024-2025學(xué)年隆昌市高二數(shù)學(xué)（文）上學(xué)期開學(xué)考試卷附答案解析

-2025學(xué)年隆昌市高二數(shù)學(xué)（文）上學(xué)期開學(xué)考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C． D．2．從小到大排列的數(shù)據(jù)1，2，3，7，8，9，10，11的第三四分位數(shù)為（

）A． B．9 C． D．103．已知向量，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到的圖象所對應(yīng)的函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．5．甲、乙、丙3人獨立參加一項挑戰(zhàn)，已知甲、乙、丙能完成挑戰(zhàn)的概率分別為、、，則甲、乙、丙中有人完成挑戰(zhàn)的概率為（）A. B. C. D.6．圓心角為，面積為B的扇形圍成一個圓錐，若圓錐的全面積為A，則等于（

）A． B． C． D．7．科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器，極目一號（如圖1）是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器，2022年5月，“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀錄，彰顯了中國的實力“極目一號”Ⅲ型浮空艇長53米，高18米，若將它近似看作一個半球，一個圓柱和一個圓臺的組合體，軸截面圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為（

）

A． B．C． D．8．如圖，在三棱錐中，平面，，，若三棱錐外接球的表面積為，則此三棱錐的體積為（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖是函數(shù)的部分圖象，則下列說法正確的是（

）

A． B．是函數(shù)的一個對稱中心C． D．函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)10．下列說法正確的是（

）A．已知，則B．C．已知，為單位向量，且，則在上的投影向量為D．一個袋子中有大小相同，標號分別為1，2，3，4的4個小球．采用不放回方式從中任意摸球兩次，一次摸一個小球．設(shè)事件“第一次摸出球的標號小于3”，事件“第二次摸出球的標號小于3”則11．在中，內(nèi)角A，B，C對邊分別為a，b，c，則下列說法中正確的有（

）A．若，，則周長的最大值為18B．若，，則面積的最大值為C．若，，M為的中點，且，則D．若角A的內(nèi)角平分線交于點D，且，，則面積的最大值為3三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，水平放置的的斜二測直觀圖是圖中的，已知，，則邊的實際長度是．13．如圖，在棱長為2的正方體中，點M為線段上的動點，則取得最小值．當(dāng)M為線段中點時，平面截正方體所得的截面面積為．

14．已知平面向量，，滿足，，且，則的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量，，且．(1)求向量與的夾角．(2)若向量與互相垂直，求k的值．(3)若向量與互相平行，求k的值16．在中，角所對的邊分別為，已知．(1)求B；(2)若，且，求．17．一家水果店為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去200天的日銷售量（單位：kg），將全部數(shù)據(jù)按區(qū)間分成5組，得到圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值；并估計該水果店過去200天蘋果日銷售量的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)若一次進貨太多，水果不新鮮，進貨太少，又不能滿足顧客的需求.店長希望每天的蘋果盡量新鮮，又能85%地滿足顧客的需要（在100天中，大約有85天可以滿足顧客的需求）.請問，每天應(yīng)該進多少水果?(3)在日銷售量為蘋果中用分層抽樣方式隨機抽6個蘋果，再從這6蘋果中隨機抽取2個蘋果，求抽取2個蘋果都來自日銷售量在的概率.18．已知函數(shù)．(1)若，且，求的值；(2)在銳角三角形中，若，求的取值范圍；(3)設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間上恒成立，求的取值范圍．19．對于平面向量，定義“變換”：，(1)若向量，，求；(2)求證：；(3)已知，，且與不平行，，，求證：．

參考答案1．【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計算復(fù)數(shù)，再結(jié)合共軛復(fù)數(shù)定義即可.【詳解】因為,所以.故選C.2．【答案】C【分析】計算，結(jié)合百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為，所以該組數(shù)據(jù)的第三四分位數(shù)為.故選C.3．【答案】B【詳解】由題當(dāng)時，，或，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B.4．【答案】B【詳解】將函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度得到.故選B.5．【答案】D【詳解】由題意，甲、乙、丙三人都沒完成挑戰(zhàn)的概率，再由對立事件關(guān)系，則甲、乙、丙中有人完成挑戰(zhàn)的概率，故選：D．6．【答案】A【分析】先根據(jù)扇形面積列出圓錐半徑和母線的關(guān)系式，然后利用圓錐的表面積公式求比例即可求解.【詳解】設(shè)圓錐的母線長為，底面半徑為，由題意，即，則，又，故.故選：A7．【答案】A【分析】根據(jù)球、圓柱、圓臺的體積公式可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，該組合體的直觀圖如圖所示：

半球的半徑為9米，圓柱的底面半徑為9米，母線長為14米，圓臺的兩底面半徑分別為9米和1米，高為30米.則，，，所以.故選A.8．【答案】C【分析】利用正弦定理求出外接圓的半徑，根據(jù)球的表面積求出球的半徑，再由平面，則求出，最后根據(jù)錐體的體積公式計算可得.【詳解】因為，，所以，，設(shè)外接圓的半徑為，圓心為，則，即，設(shè)三棱錐外接球的半徑為，球心為，則，解得（負值已舍去）；因為平面，所以，即，即，解得（負值已舍去）；所以.故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵點是找到球心位置，求出底面外接圓半徑和外接球半徑，再根據(jù)勾股定理求出棱錐的高.9．【答案】ACD【分析】根據(jù)圖象求周期，結(jié)合周期公式可判斷A；將點代入解析式求解可判斷C；利用代入法驗證可判斷B；利用整體代入法求單調(diào)遞減區(qū)間可判斷D.【詳解】對A，由圖可知，，所以，A正確；對C，又圖象過點，所以，所以，即，因為，所以，，C正確；對B，因為，所以不是的對稱中心，B錯誤；對D，由解得，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，D正確.故選：ACD10．【答案】ABD【分析】根據(jù)二倍角余弦公式結(jié)合齊次式弦化切即可判斷A,應(yīng)用兩角和差公式及輔助角公式計算判斷B,結(jié)合向量的數(shù)量積及投影向量得出C,寫出樣本空間以及各個事件所包含的基本事件，再結(jié)合古典概型概率計算公式即可求解D.【詳解】已知，則,A選項正確；,B選項正確；已知，為單位向量，且，則在上的投影向量為，所以C選項錯誤；由題意，摸球兩次的樣本空間，事件，事件，所以，利用古典概型計算公式，D選項正確；故選：ABD.11．【答案】ACD【分析】對于A，由正弦定理得，從而由結(jié)合三角恒等變換公式得，進而得解.對于B，由基本不等式結(jié)合得，由余弦定理得，故由面積公式即可求解；對于C，由即結(jié)合余弦定理即可求解；對于D，設(shè)，先由正弦定理和得，接著由余弦定理得，從而由一元二次函數(shù)性質(zhì)結(jié)合即可得解.【詳解】對于A，由題以及正弦定理得，所以，所以，所以，因為，所以，所以，所以，故周長的最大值為18，故A正確；對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由余弦定理得，所以，所以面積的最大值為，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以即，所以，故C正確；對于D，設(shè)，則，所以由正弦定理得，所以，又由題可知，所以，所以由余弦定理得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時，等號成立，所以面積的最大值為3，故D正確.故選：ACD.【點睛】關(guān)鍵點睛：在求解面積的最大值問題時，關(guān)鍵是利用已知條件結(jié)合正弦定理或基本不等式求出邊和的關(guān)系或求出其積的最值，再利用余弦定理將角轉(zhuǎn)化成邊，從而建立三角形的面積函數(shù)，進而再借助基本不等式或一元二次函數(shù)性質(zhì)即可探求最大值.12．【答案】【分析】結(jié)合斜二測畫法的性質(zhì)將圖還原后計算即可得.【詳解】把直觀圖還原為原圖形，如圖所示，則，所以.故答案為：.13．【答案】；.【分析】將側(cè)面展開即求得第一空；記的中點為，先判斷所求截面為四邊形，然后根據(jù)菱形面積等于對角線乘積的一半可得第二空.【詳解】將側(cè)面繞著旋轉(zhuǎn)，使得側(cè)面和側(cè)面在同一平面內(nèi)，如圖，易知，當(dāng)三點共線時，取得最小值.

當(dāng)M為線段中點時，記的中點為，的中點為，由正方體性質(zhì)可知，，所以為平行四邊形，所以，易知，所以為平行四邊形，所以，所以四點共面，即平面截正方體所得的截面為四邊形，因為，所以四邊形為菱形，所以.故答案為：；.

14．【答案】【分析】設(shè)，分析可知點C在以為直徑的圓上，根據(jù)數(shù)量積的幾何意義結(jié)合圓的性質(zhì)分析求解.【詳解】由題意可設(shè)：，則，若，即，則，可知點C在以為直徑的圓上，即圓心為，半徑，則在方向上的投影數(shù)量的最大值為，所以的最大值為.故答案為：.【點睛】方法點睛：本題根據(jù)向量運算的幾何意義把題意轉(zhuǎn)化為圖形，結(jié)合圖形分析求解.15．【答案】(1)(2)k=1或(3)【分析】（1）由向量模的坐標運算得出，再根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運算律求解即可；（2）由已知得，根據(jù)向量數(shù)量積的運算律及已知條件代入求解即可．（3）由向量平行的判定定理即可求解.【詳解】（1）由，得，設(shè)向量與的夾角為，由，，又，所以，所以，解得，所以向量與的夾角為．（2）由向量向量與互相垂直，得，所以，即，解得或．（3）因為向量與互相平行，所以存在，使得=所以解得：16．【答案】(1)(2)2【分析】（1）利用余弦定理化簡等式，再根據(jù)余弦定理的推論和角的范圍解出答案；（2）利用正弦定理公式結(jié)合已知條件求出，再由余弦定理求出答案.【詳解】（1）由余弦定理可得，所以，因為，所以.（2）由正弦定理得，所以又，所以，即，由余弦定理得，即，因為，所以.17．【答案】(1)kg(2)(3)【分析】（1）在頻率分布直方圖中，所有矩形的面積和為1，所有矩形的面積乘以其底端中點之和即為平均值.（2）能地滿足顧客的需要即求該店蘋果日銷售量的分位數(shù)，通過矩形的面積和確定分位數(shù)在90,100，再利用公式計算即可．（3）由分層抽樣確定來自日銷售量中的有2個，來自日銷售量為的蘋果有4個，再列出基本事件，由古典概型求解.【詳解】（1）由直方圖可得，樣本落在50,60，60,70，…，90,100的頻率分別為，，0.2，0.4，0.3，由，解得．則樣本落在50,60，60,70，…，90,100頻率分別為0.05，0.05，0.2，0.4，0.3，所以，該蘋果日銷售量的平均值為:.（2）為了能地滿足顧客的需要，即估計該店蘋果日銷售量的分位數(shù)．依題意，日銷售量不超過的頻率為，則該店蘋果日銷售量的分位數(shù)在90,100，所以日銷售量的分位數(shù)為．所以，每天應(yīng)該進蘋果．（3）由日銷售量為的頻率分別為0.2，0.4知，抽取的蘋果來自日銷售量中的有2個，不妨記為，來自日銷售量為的蘋果有4個，不妨記為，任意抽取2個蘋果，有，，共有15個基本事件，其中2個蘋果都來自日銷售中的有6個基本事件，由古典概型可得.18．【答案】(1)(2)(3)【詳解】（1），由題意知，，又，，，則，故；（2）由得，，，，，故，由是銳角三角形，得，則，得，即的取值范圍為；（3），當(dāng)時，，令，則，在區(qū)間上恒成立，等價于關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，即有在區(qū)間上恒成立，又在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，有最大值，故有，即的取值范圍為．19．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1