數(shù)學(xué)同步測(cè)控：柯西不等式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基，我達(dá)標(biāo)1。y=的最大值是（）A。B.C。3D。5解析:y=1×+2≤×。答案:B2。若x、y∈R+，x+y≤4,則下列不等式成立的是(）A.≤B.≥1C.≥2D。≥1解析：∵x+y≤4,x、y∈R+，∴≥。A不成立?！選+y≥2，∴4≥2。∴≤2.∴C不成立。∴0<xy≤4，≥.D一定不成立.而(+)(x+y)≥（+）2=4，∵x+y>0，∴+≥.∵x+y≤4，∴≥.∴≥4×=1.∴+≥1成立，即B成立。答案:B3。已知x、y、z∈R+，且x+y+z=1，則x2+y2+z2的最小值是()A.1B。C.D。2解析：∵（x2+y2+z2)（12+12+12)≥（x+y+z)2=1,∴x2+y2+z2≥,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=z=時(shí),取“=”。答案:B4。n個(gè)正數(shù)的和與這n個(gè)正數(shù)的倒數(shù)和的乘積的最小值是(）A。1B。nC.n2D.解析:設(shè)ai〉0(i=1，2，…，n),則(a1+a2+…+an)（++…+）≥（+…+）2=n2。答案:C5.已知a12+a22+…+an2=1,x12+x22+…+xn2=1,則a1x1+a2x2+…+anxn的最大值是（）A。1B。2C.3解析:由柯西不等式(a12+a22+…+an2）（x12+x22+…+xn2)≥(a1x1+a2x2+…+anxn)2，得a1x1+a2x2+…+anxn≤1.答案:A6。已知a、b∈R+，ab=1，則（1+）（1+)的最小值為(）A.4B。2C。1解析:(1+)（1+）≥（1+）2=4.答案：A7.已知x、y、z∈R+，x+y+z=1，則的最大值是________________.解析：∵（x+y+z)(1+1+1)≥（）2，且x+y+z=1,∴≤.答案:8。若x>0,y〉0且=1，則x+y的最小值為_(kāi)_______________。解析：x+y=（+)(x+y）≥（×+×)2=16。答案:16我綜合，我發(fā)展9.若a〉b>c,且+≥恒成立，則m的取值范圍為_(kāi)________________.解析：∵a〉b>c，∴a—b〉0，b-c>0,a—c〉0.∴不等式+≥恒成立，即m≤（+)（a—c）恒成立.∵(a-c）（+)=［(a—b）+(b—c)］(+)≥（）2=4?！鄊≤4.答案：m≤410.已知a2+b2=1且c<a+b恒成立，則c的取值范圍為_(kāi)________________.解析：∵（a2+b2)(12+12)≥（a+b)2，且a2+b2=1,∴(a+b)2≤2.∴-≤a+b≤.∵c<a+b恒成立，∴c〈—。答案:c<—11.已知a、b、c、d都是實(shí)數(shù)，且a2+b2=1,c2+d2=1,求證:｜ac+bd｜≤1。分析:已知條件中a2+b2和c2+d2與所證的不等式中(ac+bd)之間的關(guān)系可用柯西不等式。證明：由柯西不等式（a2+b2）（c2+d2)≥(ac+bd）2，及a2+b2=1,c2+d2=1,得（ac+bd)2≤1，即｜ac+bd｜≤1成立。12。比較A=1+++…+與的大小關(guān)系（n∈N*)。解:∵A（1+++…+)=(1+）（1++…+）≥=n2，∴1+++…+≥。而1++…+≤++…+=，∴≥?！唷?.∴A≥。13.△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c,其外接圓半徑為R，求證：(a2+b2+c2）(）≥36R2.分析：本題的左邊為柯西不等式的結(jié)構(gòu)，用柯西不等式證明.證明:∵（a2+b2+c2）（）≥()2，而在△ABC中，=2R。∴=6R.∴（a2+b2+c2)()≥36R2。14.△ABC的三邊a，b,c對(duì)應(yīng)的高為ha,hb,hc，r為三角形的內(nèi)切圓半徑,若ha+hb+hc=9r,試判斷△ABC的形狀。分析：三角形的高與面積和底邊有關(guān),而內(nèi)切圓的半徑也與面積有關(guān),可將原三角形的分割為三個(gè)以r為高的小三角形。解:設(shè)△ABC的面積為S，則S=aha=bhb=chc.又∵S=r（a+b+c)，∴2S=r（a+b+c）.∴ha+hb+hc==r（a+b+c)(++）。由柯西不等式(a+b+c）(++）≥［+］2=9，∴ha+hb+hc≥9r，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)，取“=”.又∵h(yuǎn)a+hb+hc=9r,∴此三角形為正三角形.我創(chuàng)新，我超越15。設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),求證:證明:∵(a+b+b+c+c+a)（+）≥(）2=9，即2（a+b+c)（++）≥9,∵a、b、c為互不相等的正數(shù)，∴上式“="取不到.∴++>.16。設(shè)x1,x2,…,xn∈R+，且x1+x2+…+xn=1。求證：分析：可用柯西不等式的一般形