數(shù)學(xué)同步測(cè)控：圓錐的截線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精同步測(cè)控我夯基我達(dá)標(biāo)在空間中，取直線l為軸,直線l′與l相交于O點(diǎn),夾角為α，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)。l′為母線的圓錐面。任取平面π,若它與軸l的交角為β（當(dāng)π與l平行時(shí),記β=0）.請(qǐng)完成1~4題。1。當(dāng)β＞α?xí)r,平面π（不過O點(diǎn)）與圓錐面的交線為()A.橢圓B.圓C.橢圓或圓D.雙曲線解析:若β=90°，則平面π與圓錐面的交線為圓；若α＜β＜90°,則平面π與圓錐面的交線為橢圓.答案：C2.當(dāng)β=0時(shí),平面π(不過O點(diǎn)）與圓錐面的交線為……（）A。橢圓B。圓C。拋物線D.雙曲線解析:β=0時(shí)，交線為雙曲線.答案:D3.若平面π過O點(diǎn),當(dāng)β＜α?xí)r，則平面π與圓錐面的交線為（）A.兩條相交直線B。雙曲線C.橢圓D.可能為圓、橢圓、雙曲線或拋物線中的某一個(gè)解析：若平面π過O點(diǎn),當(dāng)β＜α?xí)r，平面π與圓錐面的交線一定是兩條相交直線。答案:A4.當(dāng)α=30°,β=45°時(shí)，平面π(不過O點(diǎn))與圓錐面的交線的離心率為（）A。B。C。D.解析：e=。答案：B5。若圓錐的頂角(圓錐軸截面上兩條母線的夾角）為60°，圓錐的截面與軸成30°角時(shí),截線的離心率為…（）A.B.C。D。1解析：2α=60°,β=30°,故α=β，∴截線為拋物線，離心率e=1。答案：D6。關(guān)于Dandelin球的說法正確的是（）A.Dandelin雙球一定是兩個(gè)半徑相等的球B。利用Dandelin雙球證明平面π與圓錐面的交線為雙曲線時(shí),兩球的半徑相等C.利用Dandelin雙球證明平面π與圓錐面的交線為橢圓時(shí),兩球的位置應(yīng)一個(gè)在平面π上方,一個(gè)在平面π下方且都與平面π和圓錐面相切D。利用Dandelin球證明平面π與圓錐的交線為拋物線時(shí)，兩球的位置應(yīng)一個(gè)在平面π的上方，一個(gè)在平面π的下方,且都與平面π和圓錐面相切解析:因?yàn)槔肈andelin球證明平面π與圓錐面的交線為雙曲線時(shí),兩球的半徑不一定相等。故A、B錯(cuò)誤，又因?yàn)樽C明平面π與圓錐面的交線為拋物線時(shí),只需一個(gè)Dandelin球,故D錯(cuò)。答案：C7.利用Dandelin雙球證明平面π與圓錐面的交線為橢圓時(shí),Dandelin雙球與圓錐面的切點(diǎn)圓所在的兩平面間的距離為()A.橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)B.橢圓的焦距長(zhǎng)C。橢圓的短軸長(zhǎng)D.一定小于橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)解析：橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于兩切點(diǎn)圓所在平行平面間的與母線平行的線段的長(zhǎng)度,大于兩平行平面間的距離.答案：D我綜合我發(fā)展8.設(shè)圓錐面V是由直線l′繞直線l旋轉(zhuǎn)而得，l′與l交點(diǎn)為V,l′與l的夾角為α（0°＜α＜90°）,不經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)V的平面π與圓錐面V相交，設(shè)軸l與平面π所成的角為β,則：當(dāng)_____________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為圓；當(dāng)_____________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為橢圓;當(dāng)_____________時(shí),平面π與圓錐面的交線為雙曲線;當(dāng)_____________時(shí)，平面π與圓錐面的交線為拋物線.答案：β=90°α＜β＜90°β＜αβ=α9。條件同7題，平面π與圓錐面交線若為圓錐曲線,則該圓錐曲線的離心率e=_____________。答案:10.設(shè)圓錐的頂角（圓錐軸截面上兩條母線的夾角）為120°,當(dāng)圓錐的截面與軸成45°角時(shí),求截得二次曲線的形狀及離心率.解析：如下圖所示,設(shè)平面π與圓錐內(nèi)切球相切于點(diǎn)F1，球與圓錐的交線為S，過該交線的平面為π′，π與π′相交于直線m。在平面π與圓錐的截線上任取一點(diǎn)P，連結(jié)PF1。過點(diǎn)P作PA⊥m，交m于點(diǎn)A,過點(diǎn)P作π′的垂線，垂足為B,連結(jié)AB，則AB⊥m,所以∠PAB是π與π′所成二面角的平面角。連結(jié)點(diǎn)P與圓錐的頂點(diǎn),與S相交于點(diǎn)Q1,連結(jié)BQ1。則∠BPQ1=α，∠APB=β.在Rt△APB中，PB=PAcosβ。在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα?！?.又∵PQ1=PF1，α=β，∴=1，即PF1=PA,動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F1的距離等于它到定直線m的距離，故當(dāng)α=β時(shí)，平面與圓錐的交線為拋物線。這時(shí),π與π′的交線m為拋物線的準(zhǔn)線,離心率e==1。解:由題意知α=60°，β=45°，滿足β＜α，這時(shí)截面截圓錐得的交線是雙曲線,其離心率為e==.我創(chuàng)新我超越11.在一平面π上放了一個(gè)直徑為d的球,一個(gè)點(diǎn)光源P照在球上(P不在過(球與平面的）切點(diǎn)而與平面π垂直的直線上）。若P的高度（P與平面π的距離）為h，試分別就h，d的大小關(guān)系，判斷球在平面π上的投影的形狀：(1）h＞d;（2）h=d;（3)0＜h＜d.解:(1）h＞d時(shí)，連PO（O為球心），則球在點(diǎn)光源P的照射下的投影可看作圓錐面.取過圓錐面的軸PO且與平面π垂直的軸截面POK,則α、β如下圖所示。當(dāng)h＞d時(shí)，β=α+γ＞α，又由已知β≠90°,故球在平面π上的投影為橢圓。（2）當(dāng)h=d時(shí),如下圖，圓錐