河北省永年縣第二中學2025屆高一數學第一學期期末教學質量檢測試題含解析

河北省永年縣第二中學2025屆高一數學第一學期期末教學質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數，若，則實數a的值為（）A.1 B.－1C.2 D.－22．已知函數的值域為，那么實數的取值范圍是（）A. B.[-1，2）C.（0，2） D.3．已知向量滿足，且，若向量滿足，則的取值范圍是A. B.C D.4．設函數若關于的方程有四個不同的解且則的取值范圍是A. B.C. D.5．冪函數在上是減函數．則實數的值為A.2或 B.C.2 D.或16．已知函數（且）圖像經過定點A，且點A在角的終邊上，則（）A. B.C.7 D.7．如圖，一個半徑為3m的筒車按逆時針方向每分轉1.5圈，筒車的軸心O距離水面的高度為2.2m，設筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：m）（在水面下則d為負數），若從盛水筒P剛浮出水面時開始計算時間，則d與時間t（單位：s）之間的關系為，則其中A，，K的值分別為（）A.6，，2.2 B.6，，2.2C.3，，2.2 D.3，，2.28．“”是“”的（）A.充要條件 B.既不充分也不必要條件C.充分不必要條件 D.必要不充分條件9．已知，則，，的大小關系為（）A. B.C. D.10．直線l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，則直線l2的斜率為（）A. B.C.1 D.﹣1二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數是定義在上周期為2的奇函數，若，則______12．若a∈{1，a2﹣2a+2}，則實數a的值為___________.13．若，則___________.14．不等式的解集是_____________________15．若函數滿足，且時，，已知函數，則函數在區(qū)間內的零點的個數為__________.16．已知函數，若函數恰有三個不同的零點，則實數k的取值范圍是_____________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，且函數是奇函數.（1）求實數a的值；（2）判斷函數的單調性，并證明.18．已知直線（1）求直線的斜率；（2）若直線m與平行，且過點，求m方程.19．（1）計算：；（2）已知，求的值.20．“綠水青山就是金山銀山”．某企業(yè)決定開發(fā)生產一款大型凈水設備，生產這款設備的年固定成本為600萬元，每生產臺需要另投入成本萬元．當年產量x不足100臺時，；當年產量x不少于100臺時，．若每臺設備的售價為100萬元時，經過市場分析，該企業(yè)生產的凈水設備能全部售完（1）求年利潤y（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系式；（2）當年產量x為多少臺時，該企業(yè)在這一款凈水設備的生產中獲利最大，最大利潤是多少萬元？21．如圖，正方體的棱長為1，CB′∩BC′＝O，求：（1）AO與A′C′所成角的度數；（2）AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC垂直.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】首先求出的解析式，再根據指數對數恒等式得到，即可得到方程，解得即可；【詳解】解：根據題意，，則有，若，即，解可得，故選：B2、B【解析】先求出函數的值域，而的值域為，進而得，由此可求出的取值范圍.【詳解】解：因為函數的值域為，而的值域為，所以，解得，故選：B【點睛】此題考查由分段函數的值域求參數的取值范圍，分段函數的值域等于各段上的函數的值域的并集是解此題的關鍵，屬于基礎題.3、B【解析】由題意利用兩個向量加減法的幾何意義，數形結合求得的取值范圍.【詳解】設，根據作出如下圖形，則當時，則點的軌跡是以點為圓心，為半徑的圓，且結合圖形可得，當點與重合時，取得最大值；當點與重合時，取得最小值所以的取值范圍是故當時，的取值范圍是故選：B4、A【解析】畫出函數的圖像，通過觀察的圖像與的交點，利用對稱性求得與的關系，根據對數函數的性質得到與的關系.再利用函數的單調性求得題目所求式子的取值范圍.【詳解】畫出函數的圖像如下圖所示，根據對稱性可知，和關于對稱，故.由于，故.令，解得，所以.，由于函數在區(qū)間為減函數，故，故選A.【點睛】本小題主要考查函數的對稱性，考查對數函數的性質，以及函數圖像的交點問題，還考查了利用函數的單調性求函數的值域的方法，屬于中檔題.5、B【解析】由題意利用冪函數的定義和性質可得，由此解得的值【詳解】解：由于冪函數在時是減函數，故有，解得，故選：【點睛】本題主要考查冪函數的定義和性質應用，屬于基礎題6、B【解析】令指數為零，即可求出函數過定點，再根據三角函數的定義求出，最后根據同角三角函數的基本關系將弦化切，再代入計算可得；【詳解】解：令解得，所以，故函數（且）過定點，所以由三角函數定義得，所以，故選：B7、D【解析】根據實際含義分別求的值即可.【詳解】振幅即為半徑，即；因為逆時針方向每分轉1.5圈，所以；；故選：D.8、D【解析】求得的解集，結合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，可得或，所以“”是“或”成立的充分不必要條件，所以“”是“”必要不充分條件.故選：D.9、B【解析】利用函數單調性及中間值比大小.【詳解】，且，故，，故.故選：B10、C【解析】利用直線l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直，則，解出即可.【詳解】因為直線l1：x+ay+1＝0與l2：（a﹣3）x+2y﹣5＝0（a∈R）互相垂直.所以，即.解得：.故選：C【點睛】本題考查由兩條直線互相垂直求參數的問題，屬于基礎題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】根據給定條件利用周期性、奇偶性計算作答.【詳解】因函數是上周期為2的奇函數，，所以.故答案為：1【點睛】易錯點睛：函數f(x)是周期為T周期函數，T是與x無關的非零常數，且周期函數不一定有最小正周期.12、2【解析】利用集合的互異性，分類討論即可求解【詳解】因為a∈{1，a2﹣2a+2}，則：a=1或a=a2﹣2a+2，當a=1時：a2﹣2a+2=1，與集合元素的互異性矛盾，舍去；當a≠1時：a=a2﹣2a+2，解得：a=1(舍去)或a=2；故答案為：2【點睛】本題考查集合的互異性問題，主要考查學生的分類討論思想，屬于基礎題13、1【解析】由已知結合兩角和的正切求解【詳解】由，可知tan（α+β）＝1，得，即tanα+tanβ＝，∴故答案為1【點睛】本題考查兩角和的正切公式的應用，是基礎的計算題14、【解析】利用指數函數的性質即可求解.【詳解】，即，故答案為：.15、10【解析】根據，可得函數是以2為周期的周期函數，函數在區(qū)間內的零點的個數即為函數交點的個數，作出兩個函數的圖像，結合圖像即可得出答案.【詳解】解：因為，所以，所以函數是以2為周期的周期函數，令，則，在同一平面直角坐標系中作出函數的圖像，如圖所示，由圖可知函數有10個交點，所以函數在區(qū)間內的零點有10個.故答案為：10.16、【解析】根據函數解析式畫出函數圖象，則函數的零點個數，轉化為函數與有三個交點，結合函數圖象判斷即可；【詳解】解：因為，函數圖象如下所示：依題意函數恰有三個不同的零點，即函數與有三個交點，結合函數圖象可得，即；故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）在上是減函數，證明見解析【解析】（1）直接由解出，再把代入檢驗；（2）直接由定義判斷單調性即可.【小問1詳解】因為，函數奇函數，所以，解得.此時，，，滿足題意.故.【小問2詳解】在上是減函數.任取，，則，由∴，故在上是減函數.18、（1）；（2）.【解析】（1）將直線變形為斜截式即可得斜率；（2）由平行可得斜率，再由點斜式可得結果.【詳解】（1）由，可得，所以斜率為；（2）由直線m與平行，且過點，可得m的方程為，整理得：.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用湊特殊角的方法結合和角的正弦公式化簡求解作答；（2）將給定等式兩邊平方，再利用二倍公式、同角公式計算作答.【詳解】（1）依題意，；（2）將兩邊平方得，，即，即，所以，.20、（1）（2）年產量為102臺時，該企業(yè)在這一款凈水設備的生產中獲利最大，最大利潤是2798萬元【解析】（1）根據利潤=銷售額?成本，通過分類討論，即可求出年利潤關于年產量的函數關系式；（2）通過求分段函數的最大值即可得出答案.【小問1詳解】由條件可得年利潤y（萬元）關于年產量x（臺）的函數關系式：化簡得：【小問2詳解】當時，,，當時，取最大值（萬元）當時，,，（萬元）當時，即臺時，取最大值2798萬元綜上：年產量為102臺時，該企業(yè)在這一款凈水設備的生產中獲利最大，最大利潤是2798萬元21、（1）30°（2）（3）見解析【解析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法求AO與A′C′所成角的度數；（2）利用向量法求AO與平面ABCD所成角的正切值；（3）證明平面AOB與平面AOC的法向量垂直.【詳解】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，A（1，0，0），O（），（1，0，1），C′（0，1，1），（，1，），（﹣1，1，0），設AO與A′C′所成角為θ，則cosθ，∴θ＝30°，∴AO與A′C′所成角為30°.（2）∵（），面ABCD的法向量為（0，0，1），設AO與平面ABCD所