2025屆上海市比樂中學高二上數(shù)學期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆上海市比樂中學高二上數(shù)學期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如圖，樣本和分別取自兩個不同的總體，它們的平均數(shù)分別為和，標準差分別為和，則（）AB.C.D.2．若圓與直線相切，則（）A.3 B.或3C. D.或3．如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中①與平行；②與是異面直線；③與成60°角；④與是異面直線以上四個結論中，正確結論的序號是A.①②③ B.②④C.③④ D.②③④4．若直線：與直線：平行，則a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或75．已知公比不為1的等比數(shù)列，其前n項和為，，則（）A.2 B.4C.5 D.256．等比數(shù)列的公比為，則“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分又不必要條件7．設，若，則（）A. B.C. D.8．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，且其外形上下對稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長為（）A. B.C. D.459．如圖，某圓錐軸截面是等邊三角形，點是底面圓周上的一點，且，點是的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.10．雙曲線實軸長為（）A.1 B.C.2 D.11．已知橢圓和雙曲線有共同的焦點，分別是它們的在第一象限和第三象限的交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則等于（）A.4 B.2C.2 D.312．已知等差數(shù)列滿足，則其前10項之和為（）A.140 B.280C.68 D.56二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設直線的方向向量分別為，若，則實數(shù)m等于___________.14．已知，且，則_____________15．命題“，”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是______16．圓的圓心坐標為___________；半徑為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）判斷的零點個數(shù)；（2）若對任意恒成立，求的取值范圍18．（12分）已知點，（1）若過點P作的切線只有一條，求實數(shù)的值及切線方程；（2）過點P作斜率為1的直線l與相交于M，N兩點，當面積最大時，求實數(shù)的值19．（12分）已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.（1）若，，，求邊長c；（2），，，求角C.20．（12分）已知橢圓C：，右焦點為F(，0)，且離心率為（1）求橢圓C的標準方程；（2）設M，N是橢圓C上不同的兩點，且直線MN與圓O：相切，若T為弦MN的中點，求|OT||MN|的取值范圍21．（12分）某高校自主招生考試分筆試與面試兩部分，每部分考試成績只記“通過”與“不通過”，兩部分考試都“通過”者，則考試“通過”，并給予錄取.甲、乙兩人在筆試中“通過”的概率依次為，在面試中“通過”的概率依次為，筆試和面試是否“通過”是獨立的，那么（1）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，誰獲得錄取的可能性大？（2）甲、乙兩人都參加此高校的自主招生考試，求恰有一人獲得錄取的概率.22．（10分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面于點M連接.（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】直接根據(jù)圖表得到答案.【詳解】根據(jù)圖表：樣本數(shù)據(jù)均小于等于10，樣本數(shù)據(jù)均大于等于10，故；樣本數(shù)據(jù)波動大于樣本數(shù)據(jù)，故.故選：B.2、B【解析】根據(jù)圓與與直線相切，利用圓心到直線的距離等于半徑求解.【詳解】圓的標準方程為：，則圓心為，半徑為，因為圓與與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，解得或，故選：B3、C【解析】根據(jù)平面展開圖可得原正方體，根據(jù)各點的分布逐項判斷可得正確的選項.【詳解】由平面展開圖可得原正方體如圖所示：由圖可得：為異面直線，與不是異面直線，是異面直線，故①②錯誤，④正確.連接，則為等邊三角形，而，故或其補角為與所成的角，因為，故與所成的角為，故③正確.綜上，正確命題的序號為：③④.故選：C.【點睛】本題考查正方體的平面展開圖，注意展開圖中的點與正方體中的頂點的對應關系，本題屬于容易題.4、D【解析】根據(jù)直線平行的充要條件即可求出【詳解】依題意可知，顯然，所以由可得，，解得或7故選：D5、B【解析】設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)求得，從而可得出答案.【詳解】解：設等比數(shù)列的公比為，則，所以，則.故選：B.6、D【解析】結合等比數(shù)列的單調(diào)性，根據(jù)充分必要條件的定義判斷【詳解】若，，則，，充分性不成立；反過來，若，，則時，必要性不成立；因此“”是“對于任意正整數(shù)n，都有”的既不充分也不必要條件.故選：D7、B【解析】先求出，再利用二倍角公式、和差角公式即可求解.【詳解】因為，且，所以.所以，，所以.故選：B8、C【解析】設雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點的坐標，把點的坐標代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長【詳解】設點是雙曲線與截面的一個交點，設雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長為故選：9、C【解析】建立空間直角坐標系，分別得到，然后根據(jù)空間向量夾角公式計算即可.【詳解】以過點且垂直于平面的直線為軸，直線，分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.不妨設，則根據(jù)題意可得，，，，所以，，設異面直線與所成角為，則.故選：C.10、B【解析】由雙曲線的標準方程可求出，即可求雙曲線的實軸長.【詳解】由可得：，，即，實軸長，故選：B11、A【解析】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，由定義可得，，在中利用余弦定理可得，即可求出結果.【詳解】設橢圓的長半軸長為，雙曲線的實半軸長為，不妨設在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線定義，得，，，由可得，又，在中，，即，化簡得，兩邊同除以，得.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查共焦點的橢圓與雙曲線的離心率問題，解題的關鍵是利用定義以及焦點三角形的關系列出齊次方程式進行求解.12、A【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，結合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，等差數(shù)列滿足，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以數(shù)列的前10項和為.故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】根據(jù)向量垂直與數(shù)量積的等價關系，，計算即可.【詳解】因為，則其方向向量，，解得.故答案為：2.14、2【解析】由共線向量得，解方程即可.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：215、【解析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.【詳解】因命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，當時，恒成立，則，當時，必有，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：16、①.②.【解析】配方后可得圓心坐標和半徑【詳解】將圓的一般方程化為圓標準方程是，圓心坐標為，半徑為故答案為：；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）個；（2）.【解析】（1）求，利用導數(shù)判斷的單調(diào)性，結合單調(diào)性以及零點存在性定理即可求解；（2）由題意可得對任意恒成立，令，則，利用導數(shù)求的最小值即可求解.【小問1詳解】的定義域為，由可得，當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，，此時在上無零點，當時，，，，且在上單調(diào)遞增，由零點存在定理可得在區(qū)間上存在個零點，綜上所述有個零點.【小問2詳解】由題意可得：對任意恒成立，即對任意恒成立，令，則，由可得：，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以的取值范圍.18、（1）；當時，切線方程為；當時，切線方程為；（2）或【解析】(1)根據(jù)題意可知P在圓上，據(jù)此即可求t和切線方程；(2)的面積，則當面積最大時，．即，據(jù)此即可求出圓心O到直線l的距離，即可求出t的數(shù)值.【小問1詳解】由題意得點在上，∴，，①當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程為，即②當時，切點，直線OP的斜率，切線斜率，切線方程，即【小問2詳解】∵的面積，則當面積最大時，．即，則圓心O到直線l距離又直線，即，則，解之得或注：亦可設圓心O到直線l的距離為d，則的面積，當且僅當，即時取等號(下同)19、（1）（2）或【解析】（1）根據(jù)余弦定理可求得答案；（2）根據(jù)正弦定理和三角形的內(nèi)角和可求得答案.【小問1詳解】解：由余弦定理得：，所以.【小問2詳解】解：由正弦定理得：得，所以或120°，又因為，所以，所以或即或.20、（1）；（2）[，3].【解析】（1）由題可得，即求；（2）當直線的斜率不存在或為0，易求，當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，利用直線與圓相切可得，再聯(lián)立橢圓方程并應用韋達定理求得，然后利用基本不等式即得.【小問1詳解】由題可得，∴??=2，??=∴橢圓C的方程為：；小問2詳解】當直線MN斜率為0時，不妨取直線MN為??=，則，此時，則；當直線MN斜率不存在，不妨取直線MN為x=，則，此時，則；當直線MN斜率存在且不為0時，設直線MN的方程為：，，因為直線MN與圓相切，所以，即，又因為直線MN與橢圓C交于M，N兩點：由，得，則，所以MN中點T坐標為，則，，所以又，當且僅當，即取等號，∴|OT||MN|；綜上所述：|OT|?|MN|的取值范圍為[，3].21、（1）甲獲得錄取的可能性大；（2）【解析】（1）利用獨立事件的乘法公式求出甲、乙兩人被錄取的概率并比較大小，即得結果.（2）應用對立事件、獨立事件的概率求法，結合互斥事件的加法公式求恰有一人獲得錄取的概率.【小問1詳解】記“甲通過筆試”為事件，“甲通過面試”為事件，“甲獲得錄取”為事件A，“乙通過筆試”為事件，“乙通過面試”為事件，“乙獲得錄取”為事件B，則，，即，所以甲獲得錄取的可能性大.【小問2詳解】記“甲乙兩人恰有一人獲得錄取”為事件C，則.22、（1）證明見詳解（2）【解析】（1）連接，交于點，則為中點，再