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2025屆浙江省普通高等學(xué)校高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知,,則下列說法正確的是()A. B.C. D.2.下列各角中與角終邊相同的角是()A.-300° B.-60°C.600° D.1380°3.下列命題是全稱量詞命題,且是真命題的為()A.有些四邊形的內(nèi)角和不等于360° B.,C., D.所有能被4整除的數(shù)都是偶數(shù)4.設(shè)全集,集合,,則=()A. B.{2,5}C.{2,4} D.{4,6}5.給定已知函數(shù).若動直線y=m與函數(shù)的圖象有3個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A. B.C. D.6.已知集合,,若,則實(shí)數(shù)a值的集合為()A. B.C. D.7.若函數(shù)在上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A. B.C. D.8.零點(diǎn)所在的區(qū)間是()A. B.C. D.9.已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),若對于任意不等實(shí)數(shù),,,不等式恒成立,則不等式的解集為()A. B.C. D.10.設(shè)函數(shù)的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(-∞,1] B.[1,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.若“”為假命題,則實(shí)數(shù)m最小值為___________.12.若冪函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù),則整數(shù)________13.函數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)開_______________14.函數(shù)的部分圖象如圖所示.若,且,則_____________15.已知集合,則___________16.大圓周長為的球的表面積為____________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為400萬元,每生產(chǎn)1萬部還需另投入160萬元設(shè)公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)萬部且并全部銷售完,每萬部的收入為萬元,且寫出年利潤萬元關(guān)于年產(chǎn)量(萬部)的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬部時,公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大?并求出最大利潤18.已知函數(shù)(為常數(shù)),在時取得最大值2.(1)求的解析式;(2)求函數(shù)在上單調(diào)區(qū)間和最小值.19.一片森林原來的面積為a,計(jì)劃每年砍伐一些樹,且每年砍伐面積的百分比相等,當(dāng)砍伐到面積的一半時,所用時間是10年,為保護(hù)生態(tài)環(huán)境,森林面積至少要保留原面積的,已知到今年為止,森林剩余面積為原來的.(1)求每年砍伐面積的百分比;(2)到今年為止,該森林已砍伐了多少年?(3)今后最多還能砍伐多少年?20.如圖,在棱長為1正方體中:(1)求異面直線與所成的角的大?。唬?)求三棱錐體積21.閱讀與探究人教A版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)4(必修)》在第一章小結(jié)中寫道:將角放在直角坐標(biāo)系中討論不但使角的表示有了統(tǒng)一的方法,而且使我們能夠借助直角坐標(biāo)系中的單位圓,建立角的變化與單位圓上點(diǎn)的變化之間的對應(yīng)關(guān)系,從而用單位圓上點(diǎn)的縱坐標(biāo)、橫坐標(biāo)來表示圓心角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù).因此,正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)(主要是對稱性)之間存在著非常緊密的聯(lián)系.例如,和單位圓相關(guān)的“勾股定理”與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系有內(nèi)在的一致性;單位圓周長為與正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為是一致的;圓的各種對稱性與三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式等也是一致的等等.因此,三角函數(shù)的研究過程能夠很好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想.依據(jù)上述材料,利用正切線可以討論研究得出正切函數(shù)的性質(zhì).比如:由圖1.2-7可知,角的終邊落在四個象限時均存在正切線;角的終邊落在軸上時,其正切線縮為一個點(diǎn),值為;角的終邊落在軸上時,其正切線不存在;所以正切函數(shù)的定義域是.(1)請利用單位圓中的正切線研究得出正切函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性;(2)根據(jù)閱讀材料中途1.2-7,若角為銳角,求證:.
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)已知條件逐個分析判斷【詳解】對于A,因?yàn)?,所以A錯誤,對于B,因?yàn)椋约螦不是集合B的子集,所以B錯誤,對于C,因?yàn)椋?,所以,所以C正確,對于D,因?yàn)?,,所以,所以D錯誤,故選:C2、A【解析】與角終邊相同的角為:.當(dāng)時,即為-300°.故選A3、D【解析】根據(jù)定義分析判斷即可.【詳解】A和C都是存在量詞命題,B是全稱量詞命題,但其是假命題,如時,,D選項(xiàng)為全稱命題且為真命題故選:D.4、D【解析】由補(bǔ)集、交集的定義,運(yùn)算即可得解.【詳解】因?yàn)?,,所以,又,所?故選:D.5、B【解析】畫出函數(shù)的圖像以及直線y=k的圖像,根據(jù)條件和圖像求得k的范圍。【詳解】設(shè),由題可知,當(dāng),即或時,;當(dāng),即時,,因?yàn)?,故?dāng)時,,當(dāng)時,,做出函數(shù)的圖像如圖所示,直線y=m與函數(shù)有3個交點(diǎn),可得k的范圍為(4,5).故選:B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像與直線有交點(diǎn)問題,先分別求出各段函數(shù)的解析式,再利用數(shù)形結(jié)合的方法得到參數(shù)的取值范圍。6、D【解析】,可以得到,求出集合A的子集,這樣就可以求出實(shí)數(shù)值集合.【詳解】,的子集有,當(dāng)時,顯然有;當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng),不存在符合題意,實(shí)數(shù)值集合為,故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了通過集合的運(yùn)算結(jié)果,得出集合之間的關(guān)系,求參數(shù)問題.重點(diǎn)考查了一個集合的子集,本題容易忽略空集是任何集合的子集這一結(jié)論.7、C【解析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸在區(qū)間的左邊,即可得到答案;【詳解】由題意得:,故選:C8、C【解析】利用零點(diǎn)存在定理依次判斷各個選項(xiàng)即可.【詳解】由題意知:在上連續(xù)且單調(diào)遞增;對于A,,,內(nèi)不存在零點(diǎn),A錯誤;對于B,,,內(nèi)不存在零點(diǎn),B錯誤;對于C,,,則,內(nèi)存在零點(diǎn),C正確;對于D,,,內(nèi)不存在零點(diǎn),D錯誤.故選:C.9、C【解析】由條件對于任意不等實(shí)數(shù),,不等式恒成立可得函數(shù)在上為減函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)化簡不等式求其解.【詳解】∵函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),∴,∴不等式可化為∵對于任意不等實(shí)數(shù),,不等式恒成立,∴函數(shù)在上為減函數(shù),又,∴,∴,∴不等式的解集為故選:C.10、B【解析】分段函數(shù)中,根據(jù)對數(shù)函數(shù)分支y=log2x的值域在(1,+∞),而函數(shù)的值域?yàn)镽,可知二次函數(shù)y=-x2+a的最大值大于等于1,即可求得a的范圍【詳解】x>2時,y=log2x>1∴要使函數(shù)的值域?yàn)镽,則y=-x2+a在x≤2上的最大值a大于等于1即,a≥1故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了對數(shù)函數(shù)的值域,由函數(shù)的值域及所得對數(shù)函數(shù)的值域,判斷二次函數(shù)的的值域范圍進(jìn)而求參數(shù)范圍二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解析】寫出該命題的否定命題,根據(jù)否定命題求出的取值范圍即可【詳解】解:命題“,有”是假命題,它否定命題是“,有”,是真命題,即,恒成立,所以,因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減,上單調(diào)遞增,又,,所以所以,的最小值為,故答案為:12、2【解析】由題意可得,求出的取值范圍,從而可出整數(shù)的值【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在區(qū)間上是減函數(shù),所以,解得,因?yàn)?,所以,故答案為?13、(1,3)【解析】函數(shù)函數(shù)的定義域,滿足故答案為(1,3).14、##【解析】根據(jù)函數(shù)的圖象求出該函數(shù)的解析式,結(jié)合圖象可知,點(diǎn)、關(guān)于直線對稱,進(jìn)而得出.【詳解】由圖象可知,,即,則,此時,,由于,所以,即.,且,由圖象可知,,則.故答案為:.15、【解析】根據(jù)集合的交集的定義進(jìn)行求解即可【詳解】當(dāng)時,不等式不成立,當(dāng)時,不等式成立,當(dāng)時,不等式不成立,當(dāng)時,不等式不成立,所以,故答案為:16、【解析】依題意可知,故求得表面積為.三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)當(dāng)時,y取得最大值57600萬元【解析】根據(jù)題意,即可求解利潤關(guān)于產(chǎn)量的關(guān)系式為,化簡即可求出;由(1)的關(guān)系式,利用基本不等式求得最大值,即可求解最大利潤【詳解】(1)由題意,可得利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式為,.由可得,當(dāng)且僅當(dāng),即時取等號,所以當(dāng)時,y取得最大值57600萬元【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用問題,以及利用基本不等式求最值,其中解答中認(rèn)真審題,得出利潤關(guān)于年產(chǎn)量的函數(shù)關(guān)系式,再利用基本不等式求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題18、(1);(2)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,.【解析】(1)根據(jù)對稱軸方程為,及最大值為可列出關(guān)于的方程組,解方程組可得的值,從而可得結(jié)果;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論可知,開口向上的拋物線對稱軸在內(nèi),結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為.【詳解】(1)由題意知,∴,∴.(2)∵,∴當(dāng)時,的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為,又,∴最小值為.19、(1);(2)5;(3)15.【解析】(1)根據(jù)題意,列出關(guān)于砍伐面積的百分比的方程,即可容易求得;(2)到今年為止,森林剩余面積為原來的,可列出關(guān)于m的等式,解之即可.(3)設(shè)從今年開始,最多還能砍伐年,列出相應(yīng)表達(dá)式有,解不等式求出的范圍即可【詳解】(1)設(shè)每年砍伐的百分比為,則,即,,解得:所以每年砍伐面積的百分比為(2)設(shè)經(jīng)過年剩余面積為原來,則,即又由(1)知,,,解得故到今年為止,該森林已被砍伐5年(3)設(shè)從今年開始,最多還能砍伐年,則年后剩余面積為.令,即,,,解得故今后最多還能砍伐15年【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題考查指數(shù)型函數(shù)數(shù)學(xué)建模在實(shí)際問題中的應(yīng)用,熟練運(yùn)用指數(shù)性質(zhì)運(yùn)算,將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言是解題的關(guān)鍵,考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力與運(yùn)算能力,屬于中檔題.20、(1)45°;(2)【解析】(1),則異面直線與所成的角就是與所成的角,從而求得(2)根據(jù)三棱錐的體積進(jìn)行求解即可【詳解】解:(1)∵,∴異面直線與所成的角就是與所成的角,即故異面直線與所成的角為45°(2)三棱錐的體積【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與平面之間的位置關(guān)系,以及幾何體的體積和異面直線所成角等有關(guān)知識,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力,屬于基礎(chǔ)題21、(1)見解析(2)見解析【解析】(1)在單位圓中畫出角的正切線,觀察隨增大正切線的值得變化情況,再觀察時,正切線的值隨增大時的變化情況,發(fā)現(xiàn)正切函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.(2)當(dāng)是銳角時,有,由此得到.解析:(1)當(dāng)時,增大時正切線的值越來越大;當(dāng)時,正切線與區(qū)間上的情況完全一樣;隨著角的終邊不停旋轉(zhuǎn),
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