北京市第156中學2025屆數學高一上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題含解析

北京市第156中學2025屆數學高一上期末學業(yè)質量監(jiān)測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（）A. B.C. D.2．若函數且,則該函數過的定點為（）A. B.C. D.3．若a<b<0，則下列不等式中成立的是（）A.-a<-bC.a>-b D.4．如圖一銅錢的直徑為毫米，穿徑（即銅錢內的正方形小孔邊長）為毫米，現向該銅錢內隨機地投入一粒米（米的大小忽略不計），則該粒米未落在銅錢的正方形小孔內的概率為A. B.C. D.5．下列指數式與對數式的互化不正確的一組是（）A.100=1與lg1=0 B.與C.log39=2與32=9 D.log55=1與51=56．工藝扇面是中國書面一種常見的表現形式.某班級想用布料制作一面如圖所示的扇面.已知扇面展開的中心角為，外圓半徑為，內圓半徑為.則制作這樣一面扇面需要的布料為（）.A. B.C. D.7．函數fx=lgA.0 B.1C.2 D.38．若,則的值為A. B.C. D.9．已知，，則（）A. B.C. D.10．若，則下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若且，則 D.若，則二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數（且）在上單調遞減，且關于的方程恰有兩個不相等的實數解，則的取值范圍是_____12．已知是定義在R上的奇函數，當時，，則當時，______13．已知向量不共線，，若，則___14．已知，若，則實數的取值范圍為__________15．冪函數的圖像在第___________象限.16．各條棱長均相等的四面體相鄰兩個面所成角的余弦值為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設函數.(1)當時，求函數最小值；(2)若函數的零點都在區(qū)間內，求的取值范圍.18．設集合存在正實數，使得定義域內任意x都有.（1）若，證明；（2）若，且，求實數a的取值范圍；（3）若，，且、求函數的最小值.19．已知函數.（1）求函數的定義域；（2）若實數，且，求的取值范圍.20．若＝，是第四象限角，求的值.21．已知函數，（1）求函數的單調遞增區(qū)間；（2）當時，方程恰有兩個不同的實數根，求實數的取值范圍；（3）將函數的圖象向右平移個單位后所得函數的圖象關于原點中心對稱，求的最小值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】先得到兩個正三角形面積之和的表達式，再對其求最小值即可.【詳解】設一個正三角形的邊長為，則另一個正三角形的邊長為，設兩個正三角形的面積之和為，則，當時，S取最小值.故選：D2、D【解析】根據指數函數的圖像經過定點坐標是，利用平移可得到答案.【詳解】因為指數函數的圖像經過定點坐標是，函數圖像向右平移個單位，再向上平移個單位，得到，函數的圖像過的定點.故選：.【點睛】本題主要考查的是指數函數的圖像和性質，考查學生對指數函數的理解，是基礎題.3、C【解析】根據函數y=x的單調性，即可判斷選項A是否正確；根據函數y=1x在-∞,0上單調遞減，即可判斷選項B是否正確；在根據不等式的性質即可判斷選項【詳解】因為a<b<0，所以-a>-b>0，又函數y=x在0，+∞上單調遞增，所以因為a<b<0，函數y=1x在-∞,0上單調遞減，所以因為a<b<0，所以-a>-b>0，又a=-a，所以a>-b，故因為a<b<0，兩邊同時除以b，可知ab>1，故D故選：C.4、B【解析】由題意結合幾何概型公式可得：該粒米未落在銅錢的正方形小孔內的概率為:.本題選擇B選項.點睛：數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區(qū)域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發(fā)生的區(qū)域，通用公式：P(A)＝.5、B【解析】根據指數式與對數式的互化逐一判斷即可.【詳解】A.1對數等于0，即，可得到：100=1與lg1=0；故正確;B.對應的對數式應為,故不正確；C.；故正確，D.很明顯log55=1與51=5是正確的；故選:B.【點睛】本題考查指數式與對數式的互化，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.6、B【解析】由扇形的面積公式，可得制作這樣一面扇面需要的布料.【詳解】解：根據題意，由扇形的面積公式可得：制作這樣一面扇面需要的布料為.故選：B.【點睛】本題考查扇形的面積公式，考查學生的計算能力，屬于基礎題.7、C【解析】在同一個坐標系下作出兩個函數的圖象即得解.【詳解】解：在同一個坐標系下作出兩個函數的圖象如圖所示，則交點個數為為2.故選：C8、B【解析】根據誘導公式將原式化簡為，分子分母同除以，即可求出結果.【詳解】因為，又，所以原式.故選B【點睛】本題主要考查誘導公式和同角三角函數基本關系，熟記公式即可，屬于基礎題型.9、C【解析】詳解】分析：求解出集合，得到，即可得到答案詳解：由題意集合，，則，所以，故選C點睛：本題考查了集合的混合運算，其中正確求解集合是解答的關鍵，著重考查了學生的推理與運算能力10、D【解析】根據選項舉反例即可排除ABC，結合不等式性質可判斷D【詳解】對A，取，則有，A錯；對B，取，則有，B錯；對C，取，則有，C錯；對D，若，則正確；故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用函數是減函數,根據對數的圖象和性質判斷出的大致范圍，再根據為減函數，得到不等式組,利用函數的圖象,方程的解的個數,推出的范圍【詳解】函數（且），在上單調遞減，則：；解得，由圖象可知，在上,有且僅有一個解，故在上,同樣有且僅有一個解，當即時,聯立,則,解得或1（舍去），當時由圖象可知，符合條件，綜上：的取值范圍為.故答案為【點睛】本題考查函數的單調性和方程的零點,對于分段函數在定義域內是減函數,除了每一段都是減函數以外,還要注意右段在左段的下方,經常會被忽略,是一個易錯點；復雜方程的解通常轉化為函數的零點,或兩函數的交點,體現了數學結合思想,屬于難題.12、【解析】根據奇函數的性質求解【詳解】時，，是奇函數，此時故答案為：13、【解析】由，將表示為的數乘，求出參數【詳解】因為向量不共線，，且，所以，即，解得【點睛】向量與共線，當且僅當有唯一一個實數，使得14、【解析】求出a的范圍，利用指數函數的性質轉化不等式為對數不等式，求解即可【詳解】由loga0得0＜a＜1．由得a﹣1，∴≤﹣1=，解得0<x≤，故答案為【點睛】本題考查指數函數的單調性的應用，對數不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題15、【解析】根據冪函數的定義域及對應值域，即可確定圖像所在的象限.【詳解】由解析式知：定義域為，且值域，∴函數圖像在一、二象限.故答案為：一、二.16、【解析】首先利用圖像作出相鄰兩個面所成角，然后利用已知條件求出正四面體相鄰兩個面所成角的兩邊即可求解.【詳解】由題意，四面體為正三棱錐，不妨設正三棱錐的邊長為，過作平面，垂足為，取的中點，并連接、、、，如下圖：由正四面體的性質可知，為底面正三角形的中心，從而，，∵為的中點，為正三角形，所以，，所以為正四面體相鄰兩個面所成角∵，∴易得，，∵平面，平面，∴，故.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）分類討論得；（2）由題意，得到等價不等式，解得的取值范圍是試題解析：(1)∵函數.當，即時，；當，即時，；當，即時，.綜上，(2)∵函數的零點都在區(qū)間內，等價于函數的圖象與軸的交點都在區(qū)間內.∴故的取值范圍是18、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）利用判斷（2），化簡，通過判別式小于0，求出的范圍即可（3）由，推出，得到對任意都成立，然后分離變量，通過當時，當時，分別求解最小值即可【詳解】（1），（2）由，故；（3）由，即對任意都成立當時，；當時，；當時，綜上：【點睛】思路點睛：本題考查函數新定義，重點是理解新定義的意義，本題第三問的關鍵是代入定義后轉化為不等式恒成立問題，利用參變分離后求的取值范圍，再根據，根據函數的單調性，討論的取值，求得的最小值.19、(1)；(2).【解析】（1）要使有意義，則即，要使有意義，則即求交集即可求函數的定義域；（2）實數，且，所以即可得出的取值范圍.試題解析：（1）要使有意義，則即要使有意義，則即所以的定義域.（2）由（1）可得：即所以，故的取值范圍是20、【解析】先計算正弦與正切，利用誘導公式化簡可得【詳解】若＝，是第四象限角，則原式=.21、（1）；（2）；（3）【解析】（1）由余弦函數的單調性，解不等式，，即可求出；（2）利用函數的性質，結合在時的單調性與最值，可得實數的取值范圍；（3）先求出的解析式，然后利用圖象關