云浮市重點中學2025屆數學高二上期末質量檢測試題含解析

云浮市重點中學2025屆數學高二上期末質量檢測試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在等差數列中，，，則數列的公差為（）A.1 B.2C.3 D.42．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數）與氣溫（單位：℃）存在著較強的線性相關關系.某地觀測人員根據如表的觀測數據，建立了關于的線性回歸方程，則下列說法不正確的是（）（次數/分鐘）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.變量，呈正相關關系C.若的值增加1，則的值約增加0.25D.當蟋蟀52次/分鳴叫時，該地當時的氣溫預報值為33.5℃3．若存在過點（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實數a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－24．已知橢圓(a>b>0)的離心率為，則＝（）A. B.C. D.5．如圖，在平行六面體中，，則與向量相等的是（）A. B.C. D.6．函數的定義域為開區(qū)間，導函數在內的圖像如圖所示，則函數在開區(qū)間內有極小值點（）A.個 B.個C.個 D.個7．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，的面積為10，則的值為（）A. B.C. D.8．在下列函數中，最小值為2的是（）A. B.C. D.9．青少年視力被社會普遍關注，為了解他們的視力狀況，經統(tǒng)計得到圖中右下角名青少年的視力測量值（五分記錄法）的莖葉圖，其中莖表示個位數，葉表示十分位數．如果執(zhí)行如圖所示的算法程序，那么輸出的結果是（）A. B.C. D.10．南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數列與一般等差數列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數之差或者高次差相等.對這類高階等差數列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有一個高階等差數列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數列的第7項為（）A.101 B.99C.95 D.9111．某校高二年級統(tǒng)計了參加課外興趣小組的學生人數，每人只參加一類，數據如下表：學科類別文學新聞經濟政治人數400300100200若從參加課外興趣小組的學生中采用分層抽樣的方法抽取50名參加學習需求的問卷調查，則從文學、新聞、經濟、政治四類興趣小組中抽取的學生人數分別為（）A.15，20，10，5 B.15，20，5，10C.20，15，10，5 D.20，15，5，1012．過點且與原點距離最大的直線方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設是橢圓上一點，分別是橢圓的左、右焦點，若，則的大小_____.14．過拋物線焦點的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB中點的縱坐標為4，則線段AB的長度為___________.15．已知點，，點P在x軸上，且，則點P的坐標為______16．已知為拋物線上的動點，，，則的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程18．（12分）已知函數，記f（x）的導數為f′（x）．若曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為﹣3，且x＝2時y＝f（x）有極值，（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；（Ⅱ）求函數f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值19．（12分）如圖，在四棱錐中中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，.（1）求證：平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.20．（12分）已知.（1）當，時，求中含項的系數；（2）用、表示，寫出推理過程21．（12分）如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA?PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點．求證：（1）EF//平面PCD；（2）平面PAB?平面PCD22．（10分）已知命題p：實數x滿足；命題q：實數x滿足．若p是q的必要條件，求實數a的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】將已知條件轉化為的形式，由此求得.【詳解】在等差數列中，設公差為d，由，，得，解得.故選：B2、D【解析】根據樣本中心過經過線性回歸方程、正相關的性質和線性回歸方程的意義進行判斷即可.【詳解】由題意，得，，則，故A正確；由線性回歸方程可知，，變量，呈正相關關系，故B正確；若的值增加1，則的值約增加0.25，故C正確；當時，，故D錯誤.故選：D.3、A【解析】在兩曲線上設切點，得到切線，又因為（0，－2）在兩條切線上,列方程即可.【詳解】的導函數為，的導函數為，若直線與和的切點分別為（，），，∴過（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.4、D【解析】由離心率得，再由轉化為【詳解】因為，所以8a2＝9b2，所以故選：D.5、A【解析】根據空間向量的線性運算法則——三角形法，準確運算，即可求解.【詳解】由題意，在平行六面體中，，可得.故選：A.6、A【解析】利用極小值的定義判斷可得出結論.【詳解】由導函數在區(qū)間內的圖象可知，函數在內的圖象與軸有四個公共點，在從左到右第一個點處導數左正右負，在從左到右第二個點處導數左負右正，在從左到右第三個點處導數左正右正，在從左到右第四個點處導數左正右負，所以函數在開區(qū)間內的極小值點有個，故選：A.7、A【解析】由同角公式求出，根據三角形面積公式求出，根據余弦定理求出，根據正弦定理求出.【詳解】因為，所以，因為，的面積為10，所以，故，從而，解得，由正弦定理得：.故選：A.【點睛】本題考查了同角公式，考查了三角形的面積公式，考查了余弦定理，考查了正弦定理，屬于基礎題.8、C【解析】結合基本不等式的知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】對于A選項，時，為負數，A錯誤.對于B選項，，，，但不存在使成立，所以B錯誤.對于C選項，，當且僅當時等號成立，C正確.對于D選項，，，，但不存在使成立，所以D錯誤.故選：C9、B【解析】依題意該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數，結合莖葉圖判斷可得；【詳解】解：根據程序框圖可知，該程序框圖是統(tǒng)計這12名青少年視力小于等于的人數，由莖葉圖可知視力小于等于的有5人，故選：B10、C【解析】根據所給數列找到規(guī)律：兩次后項減前項所得數列為公差為2的數列，進而反向確定原數列的第7項.【詳解】根據所給定義，用數列的后一項減去前一項得到一個數列，得到的數列也用后一項減去前一項得到一個數列，即得到了一個等差數列，如圖：故選：C.11、D【解析】利用分層抽樣的等比例性質求抽取的樣本中所含各小組的人數.【詳解】根據分層抽樣的等比例性質知：文學小組抽取人數為人；新聞小組抽取人數為人；經濟小組抽取人數為人；政治小組抽取人數為人；故選：D.12、A【解析】過點且與原點O距離最遠的直線垂直于直線，再由點斜式求解即可【詳解】過點且與原點O距離最遠的直垂直于直線，，∴過點且與原點O距離最遠的直線的斜率為，∴過點且與原點O距離最遠的直線方程為：，即.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】，，利用橢圓的定義、結合余弦定理、已知條件，可得，解得，從而可得結果【詳解】橢圓，可得，設，，可得，化簡可得：，，故答案為【點睛】本題主要考查橢圓的定義以及余弦定理的應用，屬于中檔題．對余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時還要熟練掌握運用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數有關的問題時，還需要記住等特殊角的三角函數值，以便在解題中直接應用.14、9【解析】由焦點弦公式和中點坐標公式可得.詳解】設，則，即，.故答案為：915、【解析】設，由，可得，求解即可【詳解】設，由故解得：則點P的坐標為故答案為：16、6【解析】根據拋物線的定義把的長轉化為到準線的距離為，進而數形結合求出最小值.【詳解】易知為拋物線的焦點，設到準線的距離為，則，而的最小值為到準線的距離，故的最小值為.故答案為：6三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標準方程，求得，進而求得離心率；（2）設直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達定理及弦長公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設直線，，聯(lián)立，化簡得，則，解得，，由弦長公式知，，解得，故直線或18、（Ⅰ）f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）最大值為1，最小值為﹣3【解析】（Ⅰ）求導可得f′（x）的解析式，根據導數的幾何意義，可得k=f′（1）=-3，又在x＝2處有極值，所以f′（2）＝0，即可求得a，b的值，即可得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f′（x）的解析式，令f′（x）=0，解得x＝0或x＝2，討論f（x）在﹣1＜x＜0，0＜x＜1上的單調性，即可求得f（x）的極值，檢驗邊界值，即可得答案.【詳解】（Ⅰ）由題意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，解得a＝﹣3，b＝0，所以f（x）＝x3﹣3x2+1；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函數，當0＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是減函數，所以f（x）的極大值為f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值為1，最小值為﹣319、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據平面得到，結合得到證明。（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，計算平面的法向量，根據向量的夾角公式得到答案?！拘?詳解】由于平面，平面，所以，由于，又，所以平面【小問2詳解】兩兩垂直，建立如圖所示空間直角坐標系，，，，，，設平面的一個法向量為設平面的一個法向量為，由，得，故可取所以所以二面角的平面角的余弦值20、（1）（2），過程見解析【解析】（1）寫出函數的解析式，利用二項式定理可求得函數中含項的系數；（2）利用錯位相減法化簡函數的解析式，求出解析式中含項的系數，再結合組合數公式化簡可得結果.【小問1詳解】解：當，時，，的展開式通項為，此時，函數中含項的系數之和為.【小問2詳解】解：因為，①則，②①②得，所以，，而為中含項的系數，而函數中含項的系數也可視為中含項的系數，故，且，故.21、（1）見解析；（2）見解析【解析】（1）取BC中點G，連結EG，F(xiàn)G，推導出，，從而平面平面，由此能得出結論；（2）推導出，從而平面PAD，即得，結合得出平面PCD，由此能證明結論成立.【詳解】（1）取BC中點G，連結EG，F(xiàn)G，∵E，F(xiàn)分別是AD，PB的中點，∴，，∴面，面，∵，∴平面平面，∵平面，∴平面.（2）因為底面ABCD為矩形，所以，又因為平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD，所以平面PAD因為平面PAD，所以.又