湖南省邵陽(yáng)市邵東縣第三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

湖南省邵陽(yáng)市邵東縣第三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是的左頂點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為直徑的圓交的一條漸近線(xiàn)于、兩點(diǎn)，以為直徑的圓與軸交于兩點(diǎn)，且平分，則雙曲線(xiàn)的離心率為（）A. B.2C. D.32．與圓和圓都外切的圓的圓心在（）A.一個(gè)圓上 B.一個(gè)橢圓上C.雙曲線(xiàn)的一支上 D.一條拋物線(xiàn)上3．甲、乙兩名同學(xué)同時(shí)從教室出發(fā)去體育館打球（路程相等），甲一半時(shí)間步行，一半時(shí)間跑步；乙一半路程步行，一半路程跑步.如果兩人步行速度、跑步速度均相等，則（）A.甲先到體育館 B.乙先到體育館C.兩人同時(shí)到體育館 D.不確定誰(shuí)先到體育館4．已知橢圓的上下頂點(diǎn)分別為，一束光線(xiàn)從橢圓左焦點(diǎn)射出，經(jīng)過(guò)反射后與橢圓交于點(diǎn)，則直線(xiàn)的斜率為（）A. B.C. D.5．已知直線(xiàn)和圓相交于兩點(diǎn)．若，則的值為（）A. B.C. D.6．如圖，在三棱錐中，平面ABC，，，，則點(diǎn)A到平面PBC的距離為（）A.1 B.C. D.7．已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.2C.3 D.48．如圖，在長(zhǎng)方體中，是線(xiàn)段上一點(diǎn)，且，若，則（）A. B.C. D.9．下列關(guān)系中，正確的是（）A. B.C. D.10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（）A. B.C.16 D.3211．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知圓：，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是______14．用1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中個(gè)位小于百位且百位小于萬(wàn)位的五位數(shù)有n個(gè)，則的展開(kāi)式中，的系數(shù)是___________.（用數(shù)字作答）15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則__________.16．已知正四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是線(xiàn)段BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)G是線(xiàn)段CD上靠近D的四等分點(diǎn)，則直線(xiàn)EF與AG所成角的余弦值為_(kāi)_____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知雙曲線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)相同，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求雙曲線(xiàn)的方程；（2）已知雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，傾斜角為與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求的面積.18．（12分）如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，M是PB的中點(diǎn)，平面ABC，且，，.（1）求證:平面PAC；（2）求三棱錐M—ABC體積.19．（12分）已知橢圓的離心率為，以橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)l與橢圓C相切于點(diǎn)Q，且直線(xiàn)l斜率大于0，過(guò)線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)R作直線(xiàn)交橢圓于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A，B不在y軸上），連結(jié)PA，PB，分別與橢圓交于點(diǎn)M，N，試判斷直線(xiàn)MN的斜率是否為定值；若是，請(qǐng)求出該定值20．（12分）已知函數(shù).（I）當(dāng)時(shí)，求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程；（Ⅱ）若當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍.21．（12分）已知拋物線(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為（1）求拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若AB是過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的弦，以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)的位置關(guān)系是什么？先給出你的判斷結(jié)論，再給出你的證明，并作出必要的圖形22．（10分）已知橢圓的左焦點(diǎn)與拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)重合，橢圓的離心率為，過(guò)點(diǎn)作斜率不為0的直線(xiàn)，交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)，且為定值（1）求橢圓的方程；（2）求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由直徑所對(duì)圓周角是直角，結(jié)合雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)和角平分線(xiàn)定義可解.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，，，所以，因?yàn)?，所以又因?yàn)槠椒郑?，由，得，所以，即所以故選：B2、C【解析】設(shè)動(dòng)圓的半徑為，然后根據(jù)動(dòng)圓與兩圓都外切得，再兩式相減消去參數(shù)，則滿(mǎn)足雙曲線(xiàn)的定義，即可求解.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的圓心為，半徑為，而圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2依題意得，則，所以點(diǎn)的軌跡是雙曲線(xiàn)的一支故選：C3、A【解析】設(shè)出總路程與步行速度、跑步速度，表示出兩人所花時(shí)間后比較不等式大小【詳解】設(shè)總路程為，步行速度，跑步速度對(duì)于甲：，得對(duì)于乙：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，而，故，乙花時(shí)間多，甲先到體育館故選：A4、B【解析】根據(jù)給定條件借助橢圓的光學(xué)性質(zhì)求出直線(xiàn)AD的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)計(jì)算作答.【詳解】依題意，橢圓的上頂點(diǎn)，下頂點(diǎn)，左焦點(diǎn)，右焦點(diǎn)，由橢圓的光學(xué)性質(zhì)知，反射光線(xiàn)AD必過(guò)右焦點(diǎn)，于是得直線(xiàn)AD的方程為：，由得點(diǎn)，則有，所以直線(xiàn)的斜率為.故選：B5、C【解析】求出圓心到直線(xiàn)的距離，再利用，化簡(jiǎn)求值，即可得到答案.【詳解】圓的圓心為，圓心到直線(xiàn)的距離公式為，故故選：C.6、A【解析】設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，根據(jù)等體積法求解即可.【詳解】因?yàn)槠矫鍭BC，所以,因?yàn)椋?，所以又，，所?所以,設(shè)點(diǎn)A到平面PBC的距離為，則,即,，故選：A7、B【解析】利用拋物線(xiàn)的定義求解即可【詳解】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，因?yàn)閽佄锞€(xiàn)上一點(diǎn)M與焦點(diǎn)間的距離是3，所以，得，即點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2，故選：B8、A【解析】將利用、、表示，再利用空間向量的加法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式，進(jìn)而可求得的值.【詳解】連接、，因，因?yàn)槭蔷€(xiàn)段上一點(diǎn)，且，則，因此，因此，.故選：A.9、B【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷C，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式判斷D；【詳解】解：對(duì)于A：因?yàn)?，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：因?yàn)樵诙x域上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，又，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，因?yàn)椋?，又，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，又，所以，又，所以，故D錯(cuò)誤；故選：B10、C【解析】求的最大值即求的最大值，根據(jù)約束條件畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)看成直線(xiàn)，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)可行域內(nèi)的點(diǎn)，將目標(biāo)與直線(xiàn)的截距建立聯(lián)系，然后得到何時(shí)目標(biāo)值取得要求的最值，進(jìn)而求得的最大值，最后求出的最大值.【詳解】要求的最大值即求的最大值.根據(jù)實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足的條件作出可行域，如圖.將目標(biāo)函數(shù)化為.則表示直線(xiàn)在軸上的截距的相反數(shù).要求的最大值，即求直線(xiàn)在軸上的截距最小值.如圖當(dāng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)時(shí)，在軸上的截距最小值.由，解得所以的最大值為，則的最大值為16.故選：C.11、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)?，，所以，即，從?故選：A.12、A【解析】由函數(shù)在上單調(diào)遞增，可得，從而可求出實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】由，得，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上恒成立，即恒成立，因?yàn)?，所以，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、相交【解析】把兩個(gè)圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，分別找出兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出兩圓心的距離，與半徑和與差的關(guān)系比較即可知兩圓位置關(guān)系.【詳解】化為，化為，則兩圓圓心分別為：，，半徑分別為：，圓心距為，，所以?xún)蓤A相交.故答案為：相交.14、2022【解析】根據(jù)排列和組合計(jì)數(shù)公式求出，然后利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行求解即可【詳解】解：用1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)中，滿(mǎn)足個(gè)位小于百位且百位小于萬(wàn)位的五位數(shù)有個(gè)，即，當(dāng)時(shí)，，則系數(shù)是，故答案為：202215、【解析】根據(jù)題意求得，得到，利用等差數(shù)列的求和公式，求得，結(jié)合裂項(xiàng)法求和法，即可求解.【詳解】由，可得，即，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，可得，所以，所?故答案為：.16、【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長(zhǎng)為，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求出異面直線(xiàn)所成角的余弦值；【詳解】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，令正四面體的棱長(zhǎng)為，則，所以，所以，所以，，，，，設(shè)，因?yàn)椋?，所以，所以，，設(shè)直線(xiàn)與所成角為，則故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由兩條雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)，可令雙曲線(xiàn)方程為，求出即可得雙曲線(xiàn)的方程；（2）根據(jù)已知有直線(xiàn)為，由其與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線(xiàn)距離公式及三角形面積公式求的面積.【詳解】（1）設(shè)所求雙曲線(xiàn)方程為，代入點(diǎn)得：，即，∴雙曲線(xiàn)方程為，即.（2）由（1）知：，即直線(xiàn)方程為.設(shè)，聯(lián)立得，滿(mǎn)足且，，由弦長(zhǎng)公式得，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離.所以【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線(xiàn)，根據(jù)雙曲線(xiàn)共漸近線(xiàn)求雙曲線(xiàn)方程，由直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的相交位置關(guān)系求原點(diǎn)與交點(diǎn)構(gòu)成三角形的面積，綜合應(yīng)用了弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)線(xiàn)距離公式、三角形面積公式，屬于基礎(chǔ)題.18、（1）證明見(jiàn)解析（2）2【解析】（1）依題意可得，再由平面，得到，即可證明平面；（2）連接，可證，即可得到平面，為三棱錐的高，再根據(jù)錐體的體積公式計(jì)算可得；【詳解】（1）證明:因?yàn)槭前雸A的直徑，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，且所以平?（2）解:因?yàn)?，，所以?連接.因?yàn)?、分別是，的中點(diǎn)，所以，.又平面.所以平面.因此為三棱錐的高.所以.【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)面垂直的證明，錐體的體積的計(jì)算，屬于中檔題.19、（1）（2）是，【解析】（1）根據(jù)離心率以及橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積列出等式即可求解；（2）設(shè)出相關(guān)直線(xiàn)與相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，直線(xiàn)與橢圓聯(lián)立，點(diǎn)的坐標(biāo)配合斜率公式化簡(jiǎn)，再運(yùn)用韋達(dá)理化簡(jiǎn)可證明.【小問(wèn)1詳解】由題意得，解得，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問(wèn)2詳解】設(shè)切線(xiàn)PQ的方程為，，，，，由，消去y得①，則，解得或（舍去），將代入①得，，解得，則，所以，又R為PQ中點(diǎn)，則，因?yàn)镻A，PB斜率都存在，不妨設(shè)，，由①可得，所以，，同理，，則，又R，A，B三點(diǎn)共線(xiàn)，則，化簡(jiǎn)得，所以.20、（1）（2）【解析】（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式可求曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為（Ⅱ）構(gòu)造新函數(shù)，對(duì)實(shí)數(shù)分類(lèi)討論，用導(dǎo)數(shù)法求解.試題解析：（I）定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)方程為（II）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于設(shè)，則，（i）當(dāng)，時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，因此；（ii）當(dāng)時(shí)，令得.由和得，故當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因此.綜上，的取值范圍是【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性【名師點(diǎn)睛】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的方法：（1）確定函數(shù)y＝f（x）定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)y′＝f′（x）；（3）解不等式f′（x）>0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間；（4）解不等式f′（x）<0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞減區(qū)間21、（1）；（2）相切，證明過(guò)程、圖形見(jiàn)解析.【解析】（1）根據(jù)拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程，結(jié)合拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)出直線(xiàn)AB的方程與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合圓的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以設(shè)拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，因?yàn)樵搾佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，所以有，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)方程；小問(wèn)2詳解】以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)相切，理由如下：因?yàn)锳B是過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)F的弦，所以直線(xiàn)AB的斜率不為零，設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為：，則有，設(shè)，則有，因此，所以弦AB為直徑的圓的圓心的橫坐標(biāo)為：，以弦AB為直徑的圓的直徑為：所以弦AB為直徑的圓的半徑，以弦AB為直徑的圓的圓心到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為：，所以以弦AB為直徑的圓與直線(xiàn)相切.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵.22、(1)（2）【解析】（1）由拋物線(xiàn)焦點(diǎn)可得c，再根據(jù)離心率可得a，即得b；（2）先設(shè)直線(xiàn)方程x=ty+m，根據(jù)向量數(shù)量積表示，將直線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得為定值的條件，解出m；根據(jù)點(diǎn)到直線(xiàn)距離得三角形的高，利用弦公式可得底，根據(jù)面積公式可得關(guān)于t的函數(shù)，最后根據(jù)基本不等式求最值【詳解】試題解析：解：（1）設(shè)F1（﹣