北京市順義區(qū)第九中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

北京市順義區(qū)第九中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線(xiàn)的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.2．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.413．經(jīng)過(guò)點(diǎn)作圓的弦,使點(diǎn)為弦的中點(diǎn)，則弦所在直線(xiàn)的方程為A. B.C. D.4．已知正三棱柱中，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)與所成角的余弦值為（）A. B.C. D.5．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題6．某班對(duì)期中成績(jī)進(jìn)行分析，利用隨機(jī)數(shù)表法抽取樣本時(shí)，先將60個(gè)同學(xué)的成績(jī)按01，02，03，……，60進(jìn)行編號(hào)，然后從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開(kāi)始向右讀，則選出的第6個(gè)個(gè)體是（）（注：如下為隨機(jī)數(shù)表的第8行和第9行）6301637859169555671998105071751286735833211234297864560782524507443815510013A.07 B.25C.42 D.527．設(shè)雙曲線(xiàn)的左、右頂點(diǎn)分別為、，點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，若的三個(gè)內(nèi)角分別為、、且，則雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為（）A. B.C. D.8．已知橢圓的離心率為，則（）A. B.C. D.9．已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與圓相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．已知拋物線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，點(diǎn)為切點(diǎn).若的面積不大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.11．已知下列四個(gè)命題，其中正確的是（）A. B.C. D.12．方程表示的曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．與雙曲線(xiàn)有共同漸近線(xiàn)，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線(xiàn)方程是______14．已知為拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，，，則的最小值為_(kāi)_______.15．已知點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________.16．如圖所示，直線(xiàn)是曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)，則__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，，離心率，短軸長(zhǎng)為21求橢圓的方程；2如圖，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)非長(zhǎng)軸端點(diǎn)，的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓交于B點(diǎn)，AO的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓交于C點(diǎn)，求面積的最大值18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）某校從高三年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績(jī)，將其成績(jī)分成，，，，的組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（3）若成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中男生占.現(xiàn)從成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析，求人中恰有名女生的概率.20．（12分）某市為加強(qiáng)市民對(duì)新冠肺炎的知識(shí)了解，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），共5人，第2組[25，30），共35人，第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)宣傳活動(dòng)，且該市決定在第3，4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第3組至少有-名志愿者被抽中的概率.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和為.22．（10分）已知直線(xiàn).（1）若，求直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，求a的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)?，則，解得.故選：B.2、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.3、A【解析】由題知為弦AB的中點(diǎn)，可得直線(xiàn)與過(guò)圓心和點(diǎn)的直線(xiàn)垂直，可求的斜率，然后用點(diǎn)斜式求出的方程【詳解】由題意知圓的圓心為，，由，得，∴弦所在直線(xiàn)的方程為，整理得.選A.【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，直線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，屬于基礎(chǔ)題4、A【解析】根據(jù)異面直線(xiàn)所成角的定義，取中點(diǎn)為，則為異面直線(xiàn)和所成角或其補(bǔ)角，再解三角形即可求出【詳解】如圖所示：設(shè)中點(diǎn)為，則在三角形中，為中點(diǎn)，為中位線(xiàn)，所以有，，所以為異面直線(xiàn)和所成角或其補(bǔ)角，在三角形中，，所以由余弦定理有，故選：A.5、A【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真假表即可得出結(jié)果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個(gè)真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A6、D【解析】從指定位置起依次讀兩位數(shù)碼，超出編號(hào)的數(shù)刪除.【詳解】根據(jù)題意，從隨機(jī)數(shù)表第9行第5列的數(shù)1開(kāi)始向右讀，依次選出的號(hào)碼數(shù)是：12，34，29，56，07，52；所以第6個(gè)個(gè)體是52.故選：D.7、B【解析】設(shè)點(diǎn)，其中，，求得，且有，，利用兩角和的正切公式可求得的值，進(jìn)而可求得的值，即可得出該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程.【詳解】易知點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，其中，，且，，且，，，所以，，，因?yàn)?，所以，，則，因此，該雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程為.故選：B.8、D【解析】由離心率及橢圓參數(shù)關(guān)系可得，進(jìn)而可得.【詳解】因?yàn)?，則，所以.故選：D9、D【解析】經(jīng)判斷點(diǎn)在圓內(nèi)，與半徑相連，所以與垂直時(shí)弦長(zhǎng)最短，最長(zhǎng)為直徑【詳解】將代入圓方程得：，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，連接，當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)最短，，所以弦長(zhǎng)，當(dāng)過(guò)圓心時(shí)，最長(zhǎng)等于直徑8，所以的取值范圍是故選：D10、C【解析】由題意，設(shè)，直線(xiàn)方程為，則由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，再聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程，由韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求出，進(jìn)而可得，結(jié)合即可得答案.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的性質(zhì)：在拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，設(shè)，所以在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，在點(diǎn)B處的切線(xiàn)方程為，因?yàn)閮蓷l切線(xiàn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，，所以直線(xiàn)的方程為，即，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，聯(lián)立直線(xiàn)與拋物線(xiàn)方程有，消去得，由得，，由韋達(dá)定理得，所以弦長(zhǎng)，所以，整理得，即，解得，又所以.故選：C.11、B【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式和求導(dǎo)法則即可求解判斷.【詳解】，故A錯(cuò)誤；，故B正確；，故C錯(cuò)誤；，故D錯(cuò)誤.故選：B.12、C【解析】當(dāng)時(shí)可得，可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)可得所以方程表示的曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)的一點(diǎn)是，且其它點(diǎn)都不滿(mǎn)足方程，故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，將點(diǎn)代入方程可求的值，從而可得結(jié)果【詳解】設(shè)與雙曲線(xiàn)有共同的漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)的方程為，該雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所求的雙曲線(xiàn)方程為：，整理得故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程與簡(jiǎn)單性質(zhì)，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于中檔題．與共漸近線(xiàn)的雙曲線(xiàn)方程可設(shè)為，只需根據(jù)已知條件求出即可.14、6【解析】根據(jù)拋物線(xiàn)的定義把的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】易知為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，設(shè)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，則，而的最小值為到準(zhǔn)線(xiàn)的距離，故的最小值為.故答案為：615、【解析】設(shè)，表示出，消去y，利用二次函數(shù)求最值即可.【詳解】設(shè)，則.所以當(dāng)x=1時(shí)，最小.故答案為：.16、##【解析】利用直線(xiàn)所過(guò)點(diǎn)求得直線(xiàn)的斜率，從而求得.【詳解】由圖象可知直線(xiàn)過(guò)，所以直線(xiàn)的斜率為，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）面積的最大值為【解析】（1）由題意得，再由，標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）①當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，不妨??；②當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，又直線(xiàn)的距離點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為面積的最大值為.試題解析：（1）由題意得，解得，∵，∴，，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）①當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，不妨取，故；②當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)得，設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離因?yàn)槭蔷€(xiàn)段的中點(diǎn)，所以點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，∴綜上，面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離、弦長(zhǎng)公式和三角形面積公式等知識(shí)，涉及函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想分類(lèi)與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想，并考查運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于較難題型.第一小題由題意由方程思想建立方程組求得標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）利用分類(lèi)與整合思想分當(dāng)?shù)男甭什淮嬖谂c存在兩種情況求解，在斜率存在時(shí)，由舍而不求法求得，再求得點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為面積的最大值為.18、（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，，得到；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗(yàn)證時(shí)滿(mǎn)足條件，故.【小問(wèn)2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.19、（1）（2）77（3）【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合頻率分布直方圖中各小矩形面積和為1的特點(diǎn)列式計(jì)算即得.(2)利用頻率分布直方圖求平均數(shù)的方法直接列式計(jì)算即得.(3)求出成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生及男女生人數(shù)，再用列舉法即可求出概率.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖得，解得，所以圖中值是0.020.【小問(wèn)2詳解】由頻率分布直方圖得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)：，所以這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為77.【小問(wèn)3詳解】數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趦?nèi)的人數(shù)為(人)，其中男生人數(shù)為(人)，則女生人數(shù)為人，記名男生分別為，，名女生分別為，，，從數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)趦?nèi)的人中隨機(jī)抽取人進(jìn)行分析的基本事件為：，共個(gè)不同結(jié)果，它們等可能，其中人中恰有名女生的基本事件為，共種結(jié)果，所以人中恰有名女生的概率為為.20、（1）0.04；（2）.【解析】（1）根據(jù)頻率的計(jì)算公式，結(jié)合概率之和為1，即可求得參數(shù)；（2）根據(jù)題意求得抽樣比以及第三組和第四組各抽取的人數(shù)，再列舉所有可能抽取的情況，找出滿(mǎn)足題意的情況，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】第一組頻率為，第二組的頻率為，則第一組與第二組的頻率之和為，又，故.【小問(wèn)2詳解】第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為，因?yàn)榈?，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志題者中抽收6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組：；第4組：；第5組：.記第3組的3名志愿者為，第4組的2名志愿者為，則從5名志愿者中抽取2名志愿者有：，，共有10種其