2025屆黑龍江省尚志中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題含解析

2025屆黑龍江省尚志中學高二數(shù)學第一學期期末學業(yè)水平測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知F為橢圓的右焦點，A為C的右頂點，B為C上的點，且垂直于x軸．若直線AB的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.2．直線與直線平行，則兩直線間的距離為（）A. B.C. D.3．已知集合，從集合A中任取一點P，則點P滿足約束條件的概率為（）A. B.C. D.4．設橢圓（）的左焦點為F，O為坐標原點．過點F且斜率為的直線與C的一個交點為Q（點Q在x軸上方），且，則C的離心率為（）A. B.C. D.5．已知，是橢圓的兩焦點，是橢圓上任一點，從引外角平分線的垂線，垂足為，則點的軌跡為（）A.圓 B.兩個圓C.橢圓 D.兩個橢圓6．如下圖，面與面所成二面角的大小為，且A，B為其棱上兩點．直線AC，BD分別在這個二面角的兩個半平面中，且都垂直于AB，已知，，，則（）A. B.C. D.7．已知動圓過定點，并且與定圓外切，則動圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支8．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.789．某校開學“迎新”活動中要把3名男生，2名女生安排在5個崗位，每人安排一個崗位，每個崗位安排一人，其中甲崗位不能安排女生，則安排方法的種數(shù)為（）A.72 B.56C.48 D.3610．已知函數(shù)為偶函數(shù)，且當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.11．我國古代的數(shù)學名著《九章算術》中有“衰分問題”：今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問次日織幾問?其意為：一女子每天織布的尺數(shù)是前一天的2倍，5天共織布5尺，請問第二天織布的尺數(shù)是（）A. B.C. D.12．“”是“方程為雙曲線方程”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．4與16的等比中項是________.14．設，分別是橢圓C：左、右焦點，點M為橢圓C上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則M的坐標為___________15．動直線，恒過的定點是________16．不等式是的解集為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線l：2mx－y－8m－3＝0和圓C：x2＋y2－6x＋12y＋20＝0.（1）m∈R時，證明l與C總相交；（2）m取何值時，l被C截得的弦長最短？求此弦長18．（12分）如圖，在長方體中，，點E在棱上運動（1）證明：；（2）當E為棱的中點時，求直線與平面所成角的正弦值；（3）等于何值時，二面角的大小為？19．（12分）已知等差數(shù)列滿足（1）求的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前n項和20．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形，（1）證明：是的中點；（2）求二面角的大小21．（12分）已知圓C的圓心在y軸上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）已知圓C上存在點M，使得三角形MAB的面積為，求點M的坐標22．（10分）某工廠為了解甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量，分別從甲、乙兩條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取了1000件產(chǎn)品，并對所抽取產(chǎn)品的某一質量指數(shù)進行檢測，根據(jù)檢測結果按分組，得到如圖所示的頻率分布直方圖，若該工廠認定產(chǎn)品的質量指數(shù)不低于6為優(yōu)良級產(chǎn)品，產(chǎn)品的質量指數(shù)在內時為優(yōu)等品.（1）用統(tǒng)計有關知識判斷甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量哪一條更好，并說明理由（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）用分層抽樣的方法從該工廠樣品的優(yōu)等品中抽取6件產(chǎn)品，在這6件產(chǎn)品中隨機抽取2件，求抽取到的2件產(chǎn)品都是甲生產(chǎn)線生產(chǎn)的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)題意表示出點的坐標，再由直線AB的斜率為，列方程可求出橢圓的離心率【詳解】由題意得，，當時，，得，由題意可得點在第一象限，所以，因為直線AB的斜率為，所以，化簡得，所以，，得（舍去），或，所以離心率，故選：D2、B【解析】先根據(jù)直線平行求得，再根據(jù)公式可求平行線之間的距離.【詳解】由兩直線平行，得，故，當時，，，此時，故兩直線平行時又之間的距離為，故選：B.3、C【解析】根據(jù)圓的性質，結合兩條直線的位置關系、幾何概型計算公式進行求解即可.【詳解】，圓心坐標為，半徑為，直線互相垂直，且交點為，由圓的性質可知：點P滿足約束條件的概率為，故選：C4、D【解析】連接Q和右焦點，可知|OQ|＝，可得∠FQ＝90°，由得，寫出兩直線方程，聯(lián)立可得Q點坐標，Q點坐標代入橢圓標準方程可得a、b、c關系﹒【詳解】設橢圓右焦點為，連接Q，∵，，∴|OQ|＝，∴∠FQ＝90°，∵，∴，F(xiàn)Q過F(－c，0)，Q過(c，0)，則，由，∵Q在橢圓上，∴，又，解得，∴離心率故選：D5、A【解析】設的延長線交的延長線于點，由橢圓性質推導出，由題意知是△的中位線，從而得到點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓【詳解】是焦點為、的橢圓上一點為的外角平分線，，設的延長線交的延長線于點，如圖，，，，由題意知是△的中位線，，點的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓故選：A6、B【解析】根據(jù)題意，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，進一步判斷出該四邊形為矩形，然后確定出為二面角的平面角，進而通過余弦定理和勾股定理求得答案.【詳解】如圖，作，且，則四邊形ABDE為平行四邊形，所以.因為，所以，又，所以是該二面角的一個平面角，即，由余弦定理.因為，，所以，易得四邊形ABDE為矩形，則，而，所以平面ACE，則，于是.故選：B.7、D【解析】結合雙曲線定義的有關知識確定正確選項.【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D8、D【解析】由等比數(shù)列的性質直接求得.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D9、A【解析】以位置優(yōu)先法去安排即可解決.【詳解】第一步：安排甲崗位，由3名男生中任選1人，有3種方法;第二步：安排余下的4個崗位，由2名女生和余下的2名男生任意安排即可，有種方法故安排方法的種數(shù)為故選：A10、D【解析】結合導數(shù)以及函數(shù)的奇偶性判斷出的單調性，由此化簡不等式來求得不等式的解集.【詳解】當時，單調遞增，，所以單調遞增.因為是偶函數(shù)，所以當時，單調遞減.，，，或.即不等式的解集為.故選：D11、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列求和公式求出首項即可得解.【詳解】由題可得該女子每天織布的尺數(shù)成等比數(shù)列，設其首項為，公比為，則，解得所以第二天織布的尺數(shù)為.故選：C12、C【解析】先求出方程表示雙曲線時滿足的條件，然后根據(jù)“小推大”原則進行判斷即可.【詳解】因為方程為雙曲線方程，所以，所以“”是“方程為雙曲線方程”的充要條件.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、±8【解析】解析由G2＝4×16＝64得G＝±8.答案±814、【解析】先計算出,所以,利用余弦定理求出，即可求出,即得到M的橫坐標為，代入橢圓C：求出.【詳解】橢圓C：,所以.因為M在橢圓上,.因為M在第一象限,故.為等腰三角形,則,所以,由余弦定理可得.過M作MA⊥x軸于A,則所以,即M的橫坐標為.因為M為橢圓C：上一點且在第一象限，所以，解得：所以M的坐標為.故答案為：15、【解析】將直線方程轉化為，從而可得，即可得到結果.【詳解】∵，∴∴，解得：x＝2，y＝2．即方程（a∈R）所表示的直線恒過定點（2，2）故答案為：16、【解析】由可得，結合分式不等式的解法即可求解.【詳解】由可得，整理可得：，則，解可得：.所以不等式是的解集為:.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.【解析】（1）求出直線l的定點，進而判斷定點和圓C的位置關系，最后得到答案；（2）當圓心C到直線l的距離最大時，弦長最短，進而求出m，然后根據(jù)勾股定理求出弦長.【詳解】（1）直線l的方程可化為y＋3＝2m(x－4)，則l過定點P(4，－3)，由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0，所以點P在圓內，故直線l與圓C總相交（2）圓的C方程可化為：(x－3)2＋(y＋6)2＝25，如圖所示，當圓心C(3，－6)到直線l的距離最大時，弦AB的長度最短，此時PC⊥l，又，所以直線l的斜率為，則，在直角中，|PC|＝，|AC|＝5，所以|AB|＝.故當時，l被C截得的弦長最短，最短弦長為.18、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，長方體、線面垂直的性質有、，再根據(jù)線面垂直的判定、性質即可證結論.（2）連接，由已知條件及勾股定理可得、，即可求、，等體積法求到面的距離，又直線與面所成角即為與面所成角，即可求線面角的正弦值.（3）由題設易知二面角為，過作于，連接，可得二面角平面角為，令，由長方體的性質及勾股定理構造方程求即可.【小問1詳解】由題設，連接、，又長方體中，∴為正方形，即，又面，面，即，∵，面，∴面，而面，即.【小問2詳解】連接，由E為棱的中點，則，∴，又，故，∴，又，，故，則，由，若到面的距離為，又，，∴，可得，又，∴直線與面所成角即為與面所成角為，故.【小問3詳解】二面角大小為，即二面角為，由長方體性質知：面，面，則，過作于，連接，又，∴面，則二面角平面角為，∴，令，則，故，而，，∴，∴，整理得，解得.∴時，二面角的大小為.19、（1）（2）【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數(shù)列的定義，可證數(shù)列為等比數(shù)列，結合前n項和公式，即可得答案.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為d，由題意得，解得，所以通項公式【小問2詳解】由（1）可得，，又，所以數(shù)列是以4為首項，4為公比的等比數(shù)列，所以20、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)正棱柱的性質，結合線面垂直的判定定理、直角三角形的性質、正三角形的性質進行證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質，結合二面角的定義進行求解即可.【小問1詳解】證明：在正三棱柱中，平面，平面，則,又是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，且，平面，故平面，而平面，所以，又為正三角形，所以為的中點；【小問2詳解】在正中，取的中點為，則，又平面，則，且，平面，故平面，取的中點為，且的中點為，則，故平面，而平面，所以，在等腰直角中，取的中點為，則，，平面，所以平面，而平面，所以，故為二面角平面角，又，則，，所以在中，，即：，故二面角的大小為.：21、（1）；（2）或.【解析】（1）兩點式求AB所在直線的斜率，結合點坐標求AB的垂直平分線，根據(jù)已知確定圓心、半徑即可得圓C的方程；（2）求AB所在直線方程，幾何關系求弦長，由三角形面積求點線距離，設M所在直線為，由點線距離公式列方程求參數(shù)，進而聯(lián)立直線與圓C求M的坐標【小問1詳解】由題意知，AB所在直線的斜率為，又，中點為，所以線段AB的垂直平分線為，即，聯(lián)立，得，半徑，所以圓C的方程為.【小問2詳解】由題意，AB所在直線方程為，即，圓心到直線AB的距離為，故，因為三角形MAB的面積為，則點M到直線AB的距離為，設點M所在直線方程為，所以，所以或，當時，聯(lián)立得：或，當時，聯(lián)立，無解；所以或22、（1）甲更好，詳細見解析（2）【解析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖計算甲、乙兩條生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)，比較大小即可得答案；（2）由題意可知，甲、乙生產(chǎn)線的樣品中優(yōu)等品件數(shù)，利用分層抽樣可得從甲生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件件，記為，從乙生產(chǎn)線的樣品中抽取的優(yōu)等品有件，記為；列出抽取到的2件產(chǎn)品的所有基本事件，根據(jù)古典概型計算即可.【小問1詳解】解：甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.05×2+5×0.15×2+7×0.2×2+9×0.1×2＝6.4；乙生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)品的質量指數(shù)的平均數(shù)為：＝3×0.15×2+5×0.1×2+7×0.2×2+9×0.05×2＝5.6因為，所以甲生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質量的平均水平高于乙生產(chǎn)線生產(chǎn)產(chǎn)品質量的平均水平，故甲生產(chǎn)線所生產(chǎn)產(chǎn)