2025屆北京市豐臺(tái)區(qū)第12中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析

2025屆北京市豐臺(tái)區(qū)第12中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線（為常數(shù)）與雙曲線在第一象限交于點(diǎn).若（為原點(diǎn)），則的離心率為（）A. B.C. D.52．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.3．某市要對(duì)兩千多名出租車(chē)司機(jī)的年齡進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出100名司機(jī)，已知抽到的司機(jī)年齡都在[20,45]歲之間，根據(jù)調(diào)查結(jié)果得出司機(jī)的年齡情況殘缺的頻率分布直方圖如圖所示，利用這個(gè)殘缺的頻率分布直方圖估計(jì)該市出租車(chē)司機(jī)年齡的中位數(shù)大約是()A.31.6歲 B.32.6歲C.33.6歲 D.36.6歲4．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.5．過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線方程為（）A. B.C. D.6．過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線方程為（）A. B.C D.7．命題“若，都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是A.若是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)B.若是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)C.若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)D.若不是偶數(shù)，則與都不是偶數(shù)8．已知的二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為32，則二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為A5 B.10C.20 D.409．在空間直角坐標(biāo)系中，為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，且，則（）A. B.C. D.10．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半.這條直線被后人稱為三角形的歐拉線，已知△的頂點(diǎn)，，且，則△的歐拉線的方程為（）A. B.C. D.11．在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C：的左焦點(diǎn)為F，過(guò)F且與x軸垂直的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若是正三角形，則C的離心率為（）A. B.C. D.12．雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為：如圖①，從雙曲線右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn).我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個(gè)光學(xué)性質(zhì).某“雙曲線新聞燈”的軸截面是雙曲線的一部分，如圖②，其方程為，為其左、右焦點(diǎn)，若從右焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)雙曲線上的點(diǎn)和點(diǎn)反射后，滿足，，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若，則=____________.14．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，則______.15．歐陽(yáng)修在《賣(mài)油翁》中寫(xiě)道：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢(qián)覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢(qián)孔入，而錢(qián)不濕，可見(jiàn)“行行出狀元”，賣(mài)油翁的技藝讓人嘆為觀止.若銅錢(qián)是直徑為4cm的圓，中間有邊長(zhǎng)為1cm的正方形孔，若你隨機(jī)地向銅錢(qián)上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計(jì)）正好落入孔中的概率是_______16．直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為，直線是線段AB的垂直平分線，若，D為垂足，則D點(diǎn)的軌跡方程是______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知直線l過(guò)點(diǎn)A（﹣3，1），且與直線4x﹣3y+t＝0垂直（1）求直線l的一般式方程；（2）若直線l與圓C：x2+y2＝m相交于點(diǎn)P，Q，且|PQ|＝8，求圓C的方程18．（12分）已知拋物線C：焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(guò)(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，判斷原點(diǎn)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.19．（12分）已知圓C：，直線l：.（1）當(dāng)a為何值時(shí)，直線l與圓C相切；（2）當(dāng)直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=時(shí)，求直線l的方程.20．（12分）如圖，在四棱柱中，平面，底面ABCD滿足∥BC，且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.21．（12分）如圖，在三棱錐中，，點(diǎn)為線段上的點(diǎn).（1）若平面，試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；（2）若，，，在（1）成立的前提下，求二面角的余弦值.22．（10分）如圖，在正四棱柱中，，，點(diǎn)在棱上，且平面（1）求的值；（2）若，求二面角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】取雙曲線的左焦點(diǎn)，連接,計(jì)算可得，即.設(shè)，則，，解得：，利用勾股定理計(jì)算可得，即可得出結(jié)果.【詳解】取雙曲線的左焦點(diǎn)，連接,,則因?yàn)?，所以，?,.設(shè)，則，，解得：.,,..故選：D2、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個(gè)數(shù)，由此能求出點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個(gè)，則點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B3、C【解析】先根據(jù)頻率分布直方圖中頻率之和為計(jì)算出數(shù)據(jù)位于的頻率，再利用頻率分布直方圖中求中位數(shù)的原則求出中位數(shù)【詳解】在頻率分布直方圖中，所有矩形面積之和為，所以，數(shù)據(jù)位于的頻率為，前兩個(gè)矩形的面積之和為，前三個(gè)矩形的面積之和為，所以，中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)中位數(shù)為，則有，解得（歲），故選C【點(diǎn)睛】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)和頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算，計(jì)算時(shí)要充分利用頻率分布直方圖中中位數(shù)的計(jì)算原理來(lái)計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于中等題4、C【解析】先由cosA的值求出，進(jìn)而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因?yàn)閏osA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C5、B【解析】求出直線l的斜率，再借助垂直關(guān)系的條件即可求解作答.【詳解】直線的斜率為，而所求直線垂直于直線l，則所求直線斜率為，于是有：，即，所以所求直線方程為.故選：B6、B【解析】利用點(diǎn)斜式可得出所求直線的方程.【詳解】由題意可知所求直線的方程為，即.故選：B.7、C【解析】命題的逆否命題是將條件和結(jié)論對(duì)換后分別否定，因此“若都是偶數(shù)，則也是偶數(shù)”的逆否命題是若不是偶數(shù)，則與不都是偶數(shù)考點(diǎn)：四種命題8、B【解析】首先根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，求得，再根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，求得，再求二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù).【詳解】因?yàn)槎?xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和，所以，又二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)為=，，所以二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為．答案選擇B【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)、通項(xiàng)等公式，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】由已知條件得出，結(jié)合空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得.故選：B.10、D【解析】由題設(shè)條件求出垂直平分線的方程，且△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，結(jié)合歐拉線的定義，即垂直平分線即為歐拉線.【詳解】由題設(shè)，可得，且中點(diǎn)為，∴垂直平分線的斜率，故垂直平分線方程為，∵，則△的外心、重心、垂心都在垂直平分線上，∴△的歐拉線的方程為.故選：D11、A【解析】設(shè)雙曲線半焦距為c，求出，由給定的正三角形建立等量關(guān)系，結(jié)合計(jì)算作答.【詳解】設(shè)雙曲線半焦距為c，則，而軸，由得，從而有，而是正三角形，即有，則，整理得，因此有，而，解得，所以C的離心率為.故選：A12、C【解析】連接，已知條件為，，設(shè)，由雙曲線定義表示出，用已知正切值求出，再由雙曲線定義得，這樣可由勾股定理求出（用表示），然后在中，應(yīng)用勾股定理得出的關(guān)系，求得離心率【詳解】易知共線，共線，如圖，設(shè)，，則，由得，，又，所以，，所以，所以，由得，因?yàn)?，故解得，則，在中，，即，所以故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用裂項(xiàng)相消法求和即可.【詳解】解：因?yàn)?，所?故答案為：.14、【解析】由題意寫(xiě)出直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，得出韋達(dá)定理，由弦長(zhǎng)公式可得答案.【詳解】設(shè)，則直線的方程為由，得所以所以故答案為：15、【解析】分別求出圓和正方形的面積，結(jié)合幾何概型的面積型計(jì)算公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)殂~錢(qián)的面積為，正方形孔的面積為，所以隨機(jī)地向銅錢(qián)上滴一滴油，則油（油滴的大小忽略不計(jì)）正好落入孔中的概率是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型計(jì)算公式，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)，然后根據(jù)M為線段AB的中點(diǎn)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系得到k,t間的關(guān)系，進(jìn)而寫(xiě)出線段AB的垂直平分線的直線方程，可以判斷它過(guò)定點(diǎn)E，再考慮直線l的斜率不存在的情況，根據(jù)題意可知，點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，最后求出點(diǎn)D的軌跡方程.【詳解】設(shè)直線l的方程為，代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得：，設(shè)，則，解得.因?yàn)橹本€是線段AB的垂直平分線，故直線：，即：令，此時(shí)，，于是直線過(guò)定點(diǎn)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，直線也過(guò)定點(diǎn)點(diǎn)D在以O(shè)E為直徑的圓上，則圓心為，半徑，所以點(diǎn)D軌跡方程為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）3x+4y+5＝0（2）x2+y2＝17【解析】（1）由垂直關(guān)系得過(guò)直線l斜率，由點(diǎn)斜式化簡(jiǎn)即可求解l的一般式方程；（2）結(jié)合勾股定理建立弦心距（由點(diǎn)到直線距離公式求解），半弦長(zhǎng)，圓半徑的基本關(guān)系，解出，即可求解圓C的方程【小問(wèn)1詳解】因?yàn)橹本€l與直線4x﹣3y+t＝0垂直，所以直線l的斜率為，故直線l的方程為，即3x+4y+5＝0，因此直線l的一般式方程為3x+4y+5＝0；【小問(wèn)2詳解】圓C：x2+y2＝m的圓心為（0，0），半徑為，圓心（0，0）到直線l的距離為，則半徑滿足m＝42+12＝17，即m＝17，所以圓C：x2+y2＝1718、（1）；（2）原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上，詳見(jiàn)解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進(jìn)而可求拋物線的焦點(diǎn)，即求；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問(wèn)1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問(wèn)2詳解】由題可設(shè)直線l的方程為，由，得，設(shè)，則，又，故，∴，∴，即，故原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由題設(shè)可得圓心為，半徑，根據(jù)直線與圓的相切關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)線距離公式列方程求參數(shù)a的值即可.（2）根據(jù)圓中弦長(zhǎng)、半徑與弦心距的幾何關(guān)系列方程求參數(shù)a，即可得直線方程.【小問(wèn)1詳解】由圓：，可得，其圓心為，半徑，若直線與圓相切，則圓心到直線距離，即，可得：.【小問(wèn)2詳解】由（1）知：圓心到直線的距離，因?yàn)?，即，解得：，所以，整理得：，解得：或，則直線為或.20、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ)【解析】(Ⅰ)證明，根據(jù)得到，得到證明.(Ⅱ)如圖所示，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量，，計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面，平面，故.，，故，故.，故平面.(Ⅱ)如圖所示：分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.設(shè)平面的法向量，則，即，取得到，，設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直，線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.21、（1）點(diǎn)為MC的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）由線面垂直得到線線垂直，進(jìn)而由三線合一得到點(diǎn)為MC的中點(diǎn)；（2）作出輔助線，找到二面角的平面角，利用勾股定理求出各邊長(zhǎng)，用余弦定理求出答案.【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)為MC的中點(diǎn)，理由如下：因?yàn)槠矫?，平面，所以，，又，由三線合一得：點(diǎn)為MC的中點(diǎn)【小問(wèn)2詳解】取AB的中點(diǎn)H，連接PH，CH，則由（1）知：，結(jié)合點(diǎn)為MC的中點(diǎn)，所以PA=PB，故由三線合一得：PH⊥AB，且CH⊥AB，所以∠CHP即為二面角的平面角，因?yàn)椋?，，所以，，，由勾股定理得：，，，在△PCH中