2025屆廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

2025屆廣東省東莞市第四高級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，；②的圖象關(guān)于軸對(duì)稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.2．已知向量，，且與互相垂直，則k的值是（）.A.1 B.C. D.3．等差數(shù)列中，，，則（）A.1 B.2C.3 D.44．已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在雙曲線的左支上，點(diǎn)Q為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.6 B.7C. D.55．如圖，在四面體OABC中，，，，點(diǎn)在線段上，且，為的中點(diǎn)，則等于（）A. B.C. D.6．函數(shù)f(x)＝－1＋lnx，對(duì)?x0，f(x)≥0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A(－∞，2] B.[2，＋∞)C.(－∞，1] D.[1，＋∞)7．在的展開式中，只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則（）A.5 B.6C.7 D.88．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.（±4，0） B.（0，±4）C.（±5，0） D.（0，±5）9．已知是公差為3的等差數(shù)列.若，，成等比數(shù)列，則的前10項(xiàng)和（）A.165 B.138C.60 D.3010．已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分又不必要條件11．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且對(duì)任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.202212．直線的方向向量為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知離心率為，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的雙曲線C過(guò)點(diǎn)，過(guò)雙曲線C上任意一點(diǎn)P，向雙曲線C的兩條漸近線分別引垂線，垂足分別是A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAPB的面積為______14．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為______.15．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右頂點(diǎn)，是雙曲線上不同于、的動(dòng)點(diǎn)，直線、與軸分別交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，則________16．命題“若實(shí)數(shù)a，b滿足，則且”是_______命題(填“真”或“假”).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖所示，在四棱錐中，平面，底面是等腰梯形，．且（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值18．（12分）曲線與曲線在第一象限的交點(diǎn)為.曲線是()和()組成的封閉圖形.曲線與軸的左交點(diǎn)為、右交點(diǎn)為.（1）設(shè)曲線與曲線具有相同的一個(gè)焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）在（1）的條件下，曲線上存在多少個(gè)點(diǎn)，使得，請(qǐng)說(shuō)明理由.（3）設(shè)過(guò)原點(diǎn)的直線與以為圓心的圓相切，其中圓的半徑小于1，切點(diǎn)為.直線與曲線在第一象限的兩個(gè)交點(diǎn)為..當(dāng)對(duì)任意直線恒成立，求的值.19．（12分）已知直線.（1）若，求直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若直線與直線垂直，求a的值.20．（12分）如圖，在棱長(zhǎng)為3的正方體中，分別是上的點(diǎn)且（1）求證：；（2）求平面與平面的夾角的余弦值21．（12分）已知橢圓C：，斜率為的直線l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)且（1）求橢圓C的離心率；（2）求直線l的方程22．（10分）2021年7月25日，在東京奧運(yùn)會(huì)自行車公路賽中，奧地利數(shù)學(xué)女博士安娜·基秣崔天以3小時(shí)52分45秒的成績(jī)獲得冠軍，震驚了世界！廣大網(wǎng)友驚呼“學(xué)好數(shù)理化，走遍天下都不怕”．某市對(duì)中學(xué)生的體能測(cè)試成績(jī)與數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行分析，并從中隨機(jī)抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計(jì)數(shù)學(xué)一般5050100數(shù)學(xué)優(yōu)秀4060100合計(jì)90110200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.10的前提下認(rèn)為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數(shù)學(xué)成績(jī)有關(guān)？（結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進(jìn)行分層抽樣抽取10人，然后，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計(jì)總體，從該市中學(xué)生中隨機(jī)抽取10人參加座談會(huì)，記其中“體能優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望和方差參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，則，故，，又因?yàn)椋加?，所以，，所以，，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)?，則，故.故選：A.2、D【解析】利用向量的數(shù)量積為0可求的值.【詳解】因與互相垂直，故，故即，故.故選：D.3、B【解析】根據(jù)給定條件利用等差數(shù)列性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】在等差數(shù)列中，因，，而，于是得，解得，所以.故選：B4、A【解析】由雙曲線的定義及三角形的幾何性質(zhì)可求解.【詳解】如圖，圓的圓心為，半徑為1，，，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，最小值為，而，所以故選：A5、D【解析】利用空間向量的加法與減法可得出關(guān)于、、的表達(dá)式.【詳解】.故選：D.6、B【解析】由導(dǎo)數(shù)求得的最小值，由最小值非負(fù)可得的范圍【詳解】定義域是，，若，則在上恒成立，單調(diào)遞增，，不合題意；若，則時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，所以時(shí)，取得極小值也是最小值，由題意，解得故選：B7、B【解析】當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，展開式中第項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，展開式中第和項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大.【詳解】因?yàn)橹挥幸豁?xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得.故選：B8、A【解析】根據(jù)橢圓的方程求得的值，進(jìn)而求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】由橢圓，可得，則，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為和.故選：A.9、A【解析】由等差數(shù)列的定義與等比數(shù)列的性質(zhì)求得首項(xiàng)，然后由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式計(jì)算【詳解】因?yàn)?，，成等比?shù)列，所以，所以，解得，所以故選：A10、B【解析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】由可得或，所以由得不出，故充分性不成立，由可得，故必要性成立，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.11、C【解析】先令代入中，求得，再根據(jù)遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而確定，求得答案.【詳解】因?yàn)?，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.12、D【解析】根據(jù)直線方程，求得斜率k，分析即可得直線的方向向量.【詳解】直線變形可得，所以直線的斜率，所以向量為直線的一個(gè)方向向量，因?yàn)椋韵蛄繛橹本€的方向向量，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，可得雙曲線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，從而可求四邊形的面積【詳解】由離心率為，∴雙曲線為等軸雙曲線，設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，，∴，故雙曲線方程為，∴漸近線方程為，設(shè)，則到兩漸近線的距離為，，且，∵漸近線方程為，∴四邊形為矩形，∴四邊形的面積為故答案為：214、【解析】根據(jù)三視圖還原幾何體，由此計(jì)算出幾何體的體積.【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體為如圖所示三棱錐，所以該幾何體的體積為.故答案為：15、3【解析】求得坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線的方程，由此求得兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，設(shè)，則，直線的方程為，則，直線的方程為，則，所以.故答案為：16、假【解析】列舉特殊值，判斷真假命題.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，命題“若實(shí)數(shù)a，b滿足，則且”是假命題.故答案為：假三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由線面垂直的判定定理可得平面，再由面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系．求出平面的一個(gè)法向量、平面的法向量，由二面角的空間向量求法可得答案.【小問1詳解】因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危?，所以，所以，即因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面【小?詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為，軸，以過(guò)點(diǎn)垂直于平面的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，所以，，，由（1）可知平面的一個(gè)法向量為設(shè)平面的法向量為，因?yàn)?，，所以得令，則，，所以，則，所以平面與平面的夾角的余弦值為.18、（1）或；（2）一共2個(gè)，理由見解析；（3）答案見解析.【解析】（1）先求曲線的焦點(diǎn)，再求點(diǎn)的坐標(biāo)，分焦點(diǎn)為左焦點(diǎn)或右焦點(diǎn)，求線段的方程；（2）分點(diǎn)在雙曲線或是橢圓的曲線上，結(jié)合條件，說(shuō)明點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）首先設(shè)出直線和圓的方程，利用直線與圓相切，以及直線與曲線相交，分別表示，并計(jì)算得到的值.【詳解】（1）兩個(gè)曲線相同的焦點(diǎn)，，解得：，即雙曲線方程是，橢圓方程是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是,聯(lián)立兩個(gè)曲線，得，，即，當(dāng)焦點(diǎn)是右焦點(diǎn)時(shí)，線段的方程當(dāng)焦點(diǎn)時(shí)左焦點(diǎn)時(shí)，，，線段的方程（2），假設(shè)點(diǎn)在曲線上單調(diào)遞增∴所以點(diǎn)不可能在曲線上所以點(diǎn)只可能在曲線上，根據(jù)得可以得到當(dāng)左焦點(diǎn)，，同樣這樣的使得不存在所以這樣的點(diǎn)一共2個(gè)（3）設(shè)直線方程，圓方程為直線與圓相切，所以，，根據(jù)得到補(bǔ)充說(shuō)明：由于直線的曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，受參數(shù)的影響，蘊(yùn)含著如下關(guān)系，∵，當(dāng)，存在，否則不存在這里可以不需討論，因?yàn)轭}目前假定直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)的大前提，當(dāng)共焦點(diǎn)時(shí)存在不存在.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓和雙曲線相交的綜合應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是曲線由橢圓和雙曲線構(gòu)成，所以研究曲線上的點(diǎn)時(shí)，需分兩種情況研究問題.19、（1）（2）【解析】（1）聯(lián)立兩直線方程，解方程組即可得解；（2）根據(jù)兩直線垂直列出方程，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，直線，聯(lián)立，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為；【小問2詳解】解：直線與直線垂直，則，解得.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系后得到相關(guān)向量，再運(yùn)用數(shù)量積證明；（2）求出相關(guān)平面的法向量，再運(yùn)用夾角公式計(jì)算即可.【小問1詳解】建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系：，，，，，∴，故.【小問2詳解】，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，由，令，則，取平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面與平面夾角為，易知：為銳角，故，即平面與平面夾角的余弦值為.21、（1）（2）或【解析】（1）將橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得，進(jìn)而求得離心率；（2）設(shè)直線，，，與橢圓聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得，從而求得直線方程.【小問1詳解】由題知，橢圓C：，則，離心率【小問2詳解】設(shè)直線，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，則，解得，，由弦長(zhǎng)公式知，，解得，故直線或22、（1）不能，理由見解析；（2）①，②，【解析】（1）運(yùn)用公式求出，比較得出結(jié)論.（2）①先用分層抽樣得到“體能