2025屆北京市西城區(qū)第三十九中學數學高一上期末考試試題含解析

2025屆北京市西城區(qū)第三十九中學數學高一上期末考試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則（）A. B.C. D.2．如圖來自古希臘數學家希波克拉底所研究的幾何圖形．此圖由三個半圓構成，三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC．△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II，其余部分記為III．在整個圖形中隨機取一點，此點取自I，II，III的概率分別記為p1，p2，p3，則A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2+p33．函數的最小值和最小正周期為（）A.1和2π B.0和2πC.1和π D.0和π4．函數且的圖象恒過定點（）A.(－2，0) B.(－1，0)C.(0，－1) D.(－1，－2)5．如果全集，，則A. B.C. D.6．函數，的最小值是（）A. B.C. D.7．已知,則的值是A.0 B.–1C.1 D.28．下列各組函數與的圖象相同的是（）A. B.C. D.9．已知集合，集合，則（）A. B.C. D.10．如圖所示的時鐘顯示的時刻為3：30，此時時針與分針的夾角為.若一個扇形的圓心角為a，弧長為10，則該扇形的面積為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設b＞0，二次函數y＝ax2＋bx＋a2－1的圖象為下列之一，則a的值為______________12．若直線：與直線：互相垂直，則實數的值為__________13．已知向量，若，則實數的值為______14．若函數，，則_________；當時，方程的所有實數根的和為__________.15．函數的最小值為________16．已知函數（且）過定點P，且P點在冪函數的圖象上，則的值為_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，（1）當且x是第四象限角時，求的值；（2）若關于x的方程有實數根，求a的最小值18．已知冪函數的圖象經過點（1）求的解析式；（2）設，（i）利用定義證明函數在區(qū)間上單調遞增（ii）若在上恒成立，求t的取值范圍19．節(jié)約資源和保護環(huán)境是中國的基本國策.某化工企業(yè)，積極響應國家要求，探索改良工藝，使排放的廢氣中含有的污染物數量逐漸減少.已知改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數量為，首次改良后所排放的廢氣中含有的污染物數量為.設改良工藝前所排放的廢氣中含有的污染物數量為，首次改良工藝后所排放的廢氣中含有的污染物數量為，則第次改良后所排放的廢氣中的污染物數量，可由函數模型給出，其中是指改良工藝的次數.（1）試求改良后所排放的廢氣中含有的污染物數量的函數模型；（2）依據國家環(huán)保要求，企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數量不能超過，試問至少進行多少次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數量達標.（參考數據：?。?0．已知是定義在上的奇函數，當時，（1）求的解析式；（2）求不等式的解集.21．已知對數函數f（x）＝logax（a＞0，且a≠1）的圖象經過點（4，2）（1）求實數a的值；（2）如果f（x+1）＜0，求實數x的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】應用輔助角公式將條件化為，再應用誘導公式求.【詳解】由題設，，則，又.故選：A2、A【解析】首先設出直角三角形三條邊的長度，根據其為直角三角形，從而得到三邊的關系，然后應用相應的面積公式求得各個區(qū)域的面積，根據其數值大小，確定其關系，再利用面積型幾何概型的概率公式確定出p1，p2，p3的關系，從而求得結果.【詳解】設，則有，從而可以求得的面積為，黑色部分的面積為，其余部分的面積為，所以有，根據面積型幾何概型的概率公式，可以得到，故選A.點睛：該題考查的是面積型幾何概型的有關問題，題中需要解決的是概率的大小，根據面積型幾何概型的概率公式，將比較概率的大小問題轉化為比較區(qū)域的面積的大小，利用相關圖形的面積公式求得結果.3、D【解析】由正弦函數的性質即可求得的最小值和最小正周期【詳解】解：∵，∴當＝﹣1時，f（x）取得最小值，即f（x）min；又其最小正周期Tπ，∴f（x）的最小值和最小正周期分別是：，π故選D【點睛】本題考查正弦函數的周期性與最值，熟練掌握正弦函數的圖象與性質是解題關鍵，屬于中檔題4、A【解析】根據指數函數的圖象恒過定點，即求得的圖象所過的定點，得到答案【詳解】由題意，函數且，令，解得，，的圖象過定點故選：A5、C【解析】首先確定集合U，然后求解補集即可.【詳解】由題意可得：，結合補集的定義可知.本題選擇C選項.【點睛】本題主要考查集合的表示方法，補集的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.6、D【解析】利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數的最小值為.故選：D.7、A【解析】利用函數解析式，直接求出的值.【詳解】依題意.故選A.【點睛】本小題主要考查函數值的計算，考查函數的對應法則，屬于基礎題.8、B【解析】根據相等函數的定義即可得出結果.【詳解】若函數與的圖象相同則與表示同一個函數，則與的定義域和解析式相同.A：的定義域為R，的定義域為，故排除A；B：，與的定義域、解析式相同，故B正確；C：的定義域為R，的定義域為，故排除C；D：與的解析式不相同，故排除D.故選：B9、C【解析】解不等式求出集合A中的x的范圍，然后求出A的補集，再與集合B求交集即可.【詳解】集合，則集合，，故選：C.【點睛】本題考查了集合的基本運算，屬于基礎題.10、D【解析】先求出，再由弧長公式求出扇形半徑，代入扇形面積公式計算即可.【詳解】由圖可知，，則該扇形的半徑，故面積.故選：D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-1【解析】根據題中條件可先排除①,②兩個圖象，然后根據③，④兩個圖象都經過原點可求出a的兩個值，再根據二次函數圖象的開口方向就可確定a的值.【詳解】∵b＞0∴二次函數的對稱軸不能為y軸，∴可排除掉①,②兩個圖象∵③，④兩個圖象都經過原點，∴a2﹣1＝0，∴a＝±1∵當a＝1時，二次函數圖象的開口向上，對稱軸在y軸左方，∴第四個圖象也不對，∴a＝﹣1，故答案為：-1【點睛】本題考查了二次函數的圖象和性質，做題時注意題中條件的利用，合理地利用排除法解決選擇題12、-2【解析】由于兩條直線垂直，故.13、；【解析】由題意得14、①.0②.4【解析】直接計算，可以判斷的圖象和的圖象都關于點中心對稱，所以所以兩個函數圖象的交點都關于點對稱，數形結合即可求解.【詳解】因為，所以，分別作出函數與的圖象，圖象的對稱中心為，令，可得，當時，，所以的對稱中心為，所以兩個函數圖象的交點都關于點對稱，當時，兩個函數圖象有個交點，設個交點的橫坐標分別為，，，，且，則，，所以，所以方程的所有實數根的和為，故答案為：，【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是判斷出的圖象和的圖象都關于點中心對稱，作出函數圖象可知兩個函數圖象有個交點，設個交點的橫坐標分別為，，，，且，則和關于中心對稱，和關于中心對稱，所以，，即可求解.15、##【解析】用輔助角公式將函數整理成的形式，即可求出最小值【詳解】，，所以最小值為故答案為：16、9【解析】由指數函數的性質易得函數過定點，再由冪函數過該定點求解析式，進而可求.【詳解】由知：函數過定點，若，則，即，∴，故.故答案為：9.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）1【解析】（1）根據立方差公式可知，要計算及的值就可以求解問題；（2）將方程轉化為，再分類討論即可求解.【小問1詳解】，即，則，即，所以因為x是第四像限角，所以，所以，所以【小問2詳解】由，可得，則方程可化為，①當時，，顯然方程無解；②當時，方程等價于又（當且僅當時取“=”），所以要使得關于x的方程有實數根，則．故a的最小值是118、（1）（2）（i）證明見解析；（ii）【解析】（1）設，然后代點求解即可；（2）利用定義證明函數在區(qū)間上單調遞增即可，然后可得在上，，然后可求出t的取值范圍【小問1詳解】設，則，得，所以【小問2詳解】（i）由（1）得任取，，且，則因為，所以，，所以，即所以函數在上單調遞增（ii）由（i）知在單調遞增，所以在上，因為在上恒成立，所以，解得19、（1）；（2）至少進行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數量達標.【解析】（1）由題設可得方程，求出，進而寫出函數模型；（2）由（1）所得模型，結合題設，并應用對數的運算性質求解不等式，即可知要使該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數量達標至少要改良的次數.【詳解】（1）由題意得：，，∴當時，，即，解得，∴，故改良后所排放的廢氣中含有的污染物數量的函數模型為.（2）由題意得，，整理得：，即，兩邊同時取常用對數，得：，整理得：，將代入，得，又，∴，綜上，至少進行6次改良工藝后才能使得該企業(yè)所排放的廢氣中含有的污染物數量達標.20、（1）（2）.【解析】（1）當時，，利用，結合條件及可得解；（2）分析可得在上遞增，進而得，從而得解.【詳解】（1）當時，，則，為上的奇函數，且，；（2）因為當時，，所以在上遞增，當時，，所以在上遞增，所以在上遞增，因為，所以由可得，所以不等式的解集為21、(1)a＝2．