2023-2024學(xué)年湖南省張家界市高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.5 B.5.5 C.6 D.7〖答案〗A〖解析〗將從小到大排列為：，這9個數(shù)的中位數(shù)為5.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，得，解得，所以，又，所以，故選：D.3.已知圓柱的軸截面為正方形，表面積為，則其體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可設(shè)圓柱底面半徑為，由圓柱的軸截面為正方形可知圓柱的高，所以圓柱的表面積，所以，則體積，故選：A.4.已知函數(shù)，則“在上單調(diào)遞增”的充要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗“在上單調(diào)遞增”當且僅當，即當且僅當，換言之，“在上單調(diào)遞增”的充要條件是.故選：B.5.在中，，為線段的中點，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，則，又為線段的中點，所以，所以，即，，所以，故選：C.6.已知在中，，，且的面積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知的面積，則，又，且，所以，，由余弦定理可得，即，故選：D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，又，且，所以，又，所以，故選：B.8.若當時，函數(shù)與的圖象有且僅有4個交點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，畫出在的圖象，也畫出的草圖，函數(shù)與的圖象有且僅有4個交點，則將的第4個，第5個與x軸交點向處移動即可.滿足，解得．故選：C．二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限D(zhuǎn).是純虛數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗由，得，設(shè)，則，所以，所以，解得，即，A選項錯誤；則，B選項正確；且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標為，在第四象限，C選項正確；為純虛數(shù)，D選項正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值與最小值之差為1B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點中心對稱D.若將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則是偶函數(shù)〖答案〗AD〖解析〗.則函數(shù),，之差為，則A正確．，則區(qū)間上有增有減，則B錯誤.將代入〖解析〗式得，，則不是對稱中心，則C錯誤.將的圖象向左平移個單位長度得到.則,則是偶函數(shù)，則D正確.故選：AD11.已知三棱柱的底面是正三角形，是棱的中點，，，，是棱上的動點，，是棱上的動點，且，則（）A.平面B.C.該三棱柱的外接球的體積為D.三棱錐的體積恒為〖答案〗ABD〖解析〗如圖所示，由已知三棱柱的底面是正三角形，，且是棱的中點，則，又，，，，又，且，平面，平面，故A選項正確；又平面，所以，又由正三角形可知，，，平面,則平面，又平面，所以，B選項正確；所以該三棱柱為正三棱柱，則其外接球球心為中點，又，則，，所以，外接球體積，C選項錯誤；又正三棱柱可知平面，即平面，所以到平面的距離，且，所以三棱錐體積，D選項正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，，若，則實數(shù)__________.〖答案〗〖解析〗由已知，，則，又，所以，又，即所以，故〖答案〗為：.13.袋子中裝有6個質(zhì)地?大小均相同的球，其中有3個紅球?2個綠球和1個藍球，若從袋子中隨機一次取出2個球，則取出的2個球顏色不同的概率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)3個紅球分別為：，2個綠球分別為：，一個藍球為：，則從袋子中隨機一次取出2個球，樣本空間為：，共15個基本事件；事件“取出的2個球顏色不同”包含的基本事件有：，共11個基本事件；故所求概率為：.故〖答案〗為：.14.記為，，中最小的數(shù).已知，且，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)t=min{y-x,z-y,1-z},則t≤y-x,即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,三式累加可得：4t≤1+(y-2x)≤1,所以t≤.取顯然滿足且此時t=，所以，故〖答案〗為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.甲?乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，每人要射擊十次，他們前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)如下表所示：甲擊中的環(huán)數(shù)乙擊中的環(huán)數(shù)（1）求甲前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）用甲?乙前九次射擊擊中環(huán)數(shù)的頻率分布估計各自第十次射擊擊中環(huán)數(shù)的概率分布，且甲?乙每次射擊相互獨立，求甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等的概率.解：（1）由已知，；（2）由已知估計得甲第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；乙第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；又甲前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，乙前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，所以若甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等，則第十次射擊甲擊中的環(huán)數(shù)需比乙少環(huán)，概率.16.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項和滿足.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項和為，求.解：（1）當時，，解得，當時，，則，即，即又數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，故，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，則.17.如圖，在三棱錐中，和均為等腰直角三角形，為棱的中點，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）設(shè)，因為和均為等腰直角三角形，且，可得,如圖所示，取的中點，連接，因為為的中點，所以，且，又因為，所以，因為為等腰直角三角形，，所以且，所以是二面角的平面角，又由，所以，所以，所以平面平面.（2）由（1）知兩兩垂直，故以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由平面的一個法向量為，可得，設(shè)二面角的平面角的大小為，即，所以，即二面角的正弦值為.18.已知橢圓的離心率為，左?右頂點分別為，，且過點.（1）求的方程；（2）若，為上與點，均不重合的兩個動點，且直線，的斜率分別為和.（i）若（為坐標原點），判斷直線和的位置關(guān)系；（ii）證明：直線經(jīng)過軸上的定點.解：（1）由已知設(shè)橢圓方程為，又橢圓離心率為，即，所以橢圓方程為，又橢圓過點，所以，則，，所以橢圓方程為；（2）（i）設(shè)，則，又，，因為，所以，即，解得，則，即，，所以，即直線和垂直；（ii）由橢圓的對稱性可知當時，，不成立，所以直線與軸不平行，設(shè)，且，，聯(lián)立直線與橢圓，得，，則，，又，即，即，即，化簡可得，則或，又當時，，，又因為直線不過點，所以,所以，無解，綜上所述，，直線方程為，所以恒過軸上定點.19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點處的切線方程；（2）若的極大值為，求的取值范圍；（3）若，證明：當時，.解：（1）我們有.當時，.所以曲線在點處的切線斜率為，從而切線方程是.（2）若，則對有，對有.從而在上遞增，在上遞減，故的極大值為，滿足條件；若，則對有，對有.從而在和上遞增，在上遞減，故的極大值為，滿足條件；若，則對有，從而在上遞增，故沒有極大值，不滿足條件；若，則對有，對有.從而在和上遞增，在上遞減，故的極大值為，不滿足條件.綜上，的取值范圍是.（3）由于，，所以存在正數(shù)使得，從而.我們有.故命題等價于證明.由于和始終不異號，故，而，故只需證明.設(shè)，則.而對有，對有.故在上遞減，在上遞增.所以.這就得到了，證畢.湖南省張家界市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.5 B.5.5 C.6 D.7〖答案〗A〖解析〗將從小到大排列為：，這9個數(shù)的中位數(shù)為5.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗由不等式，得，解得，所以，又，所以，故選：D.3.已知圓柱的軸截面為正方形，表面積為，則其體積為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可設(shè)圓柱底面半徑為，由圓柱的軸截面為正方形可知圓柱的高，所以圓柱的表面積，所以，則體積，故選：A.4.已知函數(shù)，則“在上單調(diào)遞增”的充要條件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗“在上單調(diào)遞增”當且僅當，即當且僅當，換言之，“在上單調(diào)遞增”的充要條件是.故選：B.5.在中，，為線段的中點，若，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知，則，又為線段的中點，所以，所以，即，，所以，故選：C.6.已知在中，，，且的面積為，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知的面積，則，又，且，所以，，由余弦定理可得，即，故選：D.7.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，又，且，所以，又，所以，故選：B.8.若當時，函數(shù)與的圖象有且僅有4個交點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖所示，畫出在的圖象，也畫出的草圖，函數(shù)與的圖象有且僅有4個交點，則將的第4個，第5個與x軸交點向處移動即可.滿足，解得．故選：C．二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A.B.C.在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限D(zhuǎn).是純虛數(shù)〖答案〗BCD〖解析〗由，得，設(shè)，則，所以，所以，解得，即，A選項錯誤；則，B選項正確；且復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標為，在第四象限，C選項正確；為純虛數(shù)，D選項正確；故選：BCD.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的最大值與最小值之差為1B.在區(qū)間上單調(diào)遞增C.的圖象關(guān)于點中心對稱D.若將的圖象向左平移個單位長度得到的圖象，則是偶函數(shù)〖答案〗AD〖解析〗.則函數(shù),，之差為，則A正確．，則區(qū)間上有增有減，則B錯誤.將代入〖解析〗式得，，則不是對稱中心，則C錯誤.將的圖象向左平移個單位長度得到.則,則是偶函數(shù)，則D正確.故選：AD11.已知三棱柱的底面是正三角形，是棱的中點，，，，是棱上的動點，，是棱上的動點，且，則（）A.平面B.C.該三棱柱的外接球的體積為D.三棱錐的體積恒為〖答案〗ABD〖解析〗如圖所示，由已知三棱柱的底面是正三角形，，且是棱的中點，則，又，，，，又，且，平面，平面，故A選項正確；又平面，所以，又由正三角形可知，，，平面,則平面，又平面，所以，B選項正確；所以該三棱柱為正三棱柱，則其外接球球心為中點，又，則，，所以，外接球體積，C選項錯誤；又正三棱柱可知平面，即平面，所以到平面的距離，且，所以三棱錐體積，D選項正確；故選：ABD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知非零向量，，若，則實數(shù)__________.〖答案〗〖解析〗由已知，，則，又，所以，又，即所以，故〖答案〗為：.13.袋子中裝有6個質(zhì)地?大小均相同的球，其中有3個紅球?2個綠球和1個藍球，若從袋子中隨機一次取出2個球，則取出的2個球顏色不同的概率為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)3個紅球分別為：，2個綠球分別為：，一個藍球為：，則從袋子中隨機一次取出2個球，樣本空間為：，共15個基本事件；事件“取出的2個球顏色不同”包含的基本事件有：，共11個基本事件；故所求概率為：.故〖答案〗為：.14.記為，，中最小的數(shù).已知，且，則的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗設(shè)t=min{y-x,z-y,1-z},則t≤y-x,即2t≤2y-2x，t≤z-y，t≤1-z,三式累加可得：4t≤1+(y-2x)≤1,所以t≤.取顯然滿足且此時t=，所以，故〖答案〗為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.甲?乙兩名射擊運動員進行射擊比賽，每人要射擊十次，他們前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)如下表所示：甲擊中的環(huán)數(shù)乙擊中的環(huán)數(shù)（1）求甲前九次射擊擊中的環(huán)數(shù)的平均數(shù)和方差；（2）用甲?乙前九次射擊擊中環(huán)數(shù)的頻率分布估計各自第十次射擊擊中環(huán)數(shù)的概率分布，且甲?乙每次射擊相互獨立，求甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等的概率.解：（1）由已知，；（2）由已知估計得甲第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；乙第十次射擊擊中環(huán)數(shù)可能為，，，，且概率分別為，，，；又甲前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，乙前九次擊中總環(huán)數(shù)為環(huán)，所以若甲?乙兩人十次射擊擊中的環(huán)數(shù)之和相等，則第十次射擊甲擊中的環(huán)數(shù)需比乙少環(huán)，概率.16.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，其前項和滿足.（1）證明：是等差數(shù)列；（2）記，數(shù)列的前項和為，求.解：（1）當時，，解得，當時，，則，即，即又數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，故，即，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，則.17.如圖，在三棱錐中，和均為等腰直角三角形，為棱的中點，且．（1）求證：平面平面；（2）求二面角的正弦值．解：（1）設(shè)，因為和均為等腰直角三角形，且，可得,如圖所示，取的中點，連接，因為為的中點，所以，且，又因為，所以，因為為等腰直角三角形，，所以且，所以是二面角的平面角，又由，所以，所以，所以平面平面.（2）由（1）知兩兩垂直，故以為原點，以所在的直線分別為軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，所以，又由平面的一個法向量為，可得，設(shè)二面角