2023-2024學年吉林省部分名校高一下學期聯合考試數學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1吉林省部分名校2023-2024學年高一下學期聯合考試數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的虛部為（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以的虛部為1.故選：A.2.某紡織廠4月份生產了三種類型紗線，分別為大卷紗線?中卷紗線和小卷紗線，其中大卷紗線有2000卷，中卷紗線有8000卷，小卷紗線有20000卷.為檢查該紡織廠4月份生產的這三種類型紗線的質量，按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽檢240卷，則被抽檢的小卷紗線有（）A.120卷 B.150卷 C.160卷 D.200卷〖答案〗C〖解析〗依題意，被抽檢小卷紗線有（卷）.故選：C.3.有一艘船以每小時25海里的速度向正東方向行駛，在處測得燈塔在該船的東北方向，該船行駛2小時后到達處，測得燈塔在該船的東偏北方向上，則（）A.海里 B.海里 C.50海里 D.海里〖答案〗A〖解析〗由題可知，海里，在中，由正弦定理可得，則海里.故選：A.4.小唐5月日每天的運動時長（單位：分鐘）統計數據如圖所示，則（）A.小唐這7天每天運動時長的平均數是72B.小唐這7天每天運動時長的極差是42C.小唐這7天每天運動時長的中位數是75D.小唐這7天每天運動時長的第80百分位數是92〖答案〗D〖解析〗，A錯誤；B選項，小唐這7天每天運動時長的極差是，B錯誤；C選項，將小唐這7天每天運動時長從小到大排列為，則小唐這7天每天運動時長的中位數是70，錯誤；D選項，因為，所以第80百分位數是第6個數，即92，D正確.故選：D.5.若某圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為4，該圓臺的體積不小于，則該圓臺的高的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設該圓臺的高為，則該圓臺的體積，因為該圓臺的體積不小于，所以，解得.故選：B.6.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系.在如圖所示的正五角星中，是該正五角星的中心，則（）A. B. C.12 D.18〖答案〗A〖解析〗如圖，交于點，則是中點且，由題意可得.故選：A．7.如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗連接，因為在直三棱柱中，，分別是棱，的中點，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補角；直三棱柱中，所有棱長都相等，設其棱長2，連接，則，而平面，故平面，平面，故，是棱的中點，故，則，而，又，故在中，，由于異面直線所成角的范圍為大于，小于等于，故異面直線與所成角的余弦值是.故選：D.8.如圖，在平面四邊形中，為鈍角三角形，，則四邊形的面積的最大值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗（方法一）設，則，在中，，因為，所以，四邊形的面積為，當，即時，四邊形的面積取得最大值，最大值為.（方法二）四邊形的面積.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若復數，則（）A. B.C.為實數 D.〖答案〗BC〖解析〗由，得，A錯誤；，B正確；因為，所以為實數，C正確；D錯誤.故選：BC.10.在正三棱錐中，，則下列結論正確的是（）A.若，則二面角B.若二面角是，則正三棱錐的體積是C.荅，則正三棱錐內切球的半徑是.D.若，則正三梭錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗如圖，取的中點，連接，則是二面角的平面角，作平面，垂足為，點在上，且，對于A，由，得，則，從而，故A正確；對于B，二面角是，即，得，則3，從而三棱錐的體積，故B正確；由，得，對于，設三棱錐內切球的半徑為，則，所以，故C錯誤；設三棱錐外接球的半徑為，球心為，且在上，連接，則，即，解得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.歐拉線定理指出三角形的外心?垂心?重心都在同一條直線士，且重心與外心之間的距離是重心與垂心之間的距離的一半.設分別是的外心?垂心和重心，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，連接并延長，交于點，則是的中點，，于是，當時，不共線，即，A錯誤；對于B，由歐拉線定理得，有，則，B正確；對于C，是的垂心，即，則，于是，即，C正確；對于D，由歐拉線定理知，則，即，D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.已知復數在復平面內對應的點分別為，若，則實數__________；若，則實數__________.〖答案〗〖解析〗依題意得，則，若，則，解得；若，則，解得.故〖答案〗為：.13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次數學測驗中，男生成績的平均數為100，方差為11，女生成績的平均數為95，方差為16，則這次測驗中班級總體成績的方差為__________.〖答案〗20〖解析〗依題意得這次測驗中班級總體成績的平均數為，方差.故〖答案〗為：.14.在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，點為側面的中心，則的周長的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖①，設側面的中心為，根據正方體的結構特征可得，則周長的最小值即的最小值，將側面繞著旋轉至與平面在同一平面上，將平面繞著旋轉至與平面在同一平面上，過點作⊥于點，則，其中，如圖②，則，故的周長的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點.（1）證明：平面.（2）求點到平面的距離.解：（1）連接，因為，，故四邊形為平行四邊形，設與交于點，則為的中點，連接，因為為的中點，所以為的中位線，則，因為平面平面，所以平面.（2）延長交于點，連接，取的中點，連接，則，而，故四邊形為平行四邊形，故，因為四邊形為菱形，故，故，故為等邊三角形，所以且，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，因為平面，則點到平面的距離為，，因為，所以，設點到平面的距離為，則，由，得，解得，故點到平面的距離為.16.在中，角的對邊分別是，已知，且.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.解：（1）因為，所以，因為，所以，所以，解得或，因為，所以，則.（2）因為，所以，即，則，因為，所以，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即，則的面積，故面積的最大值為.17.近年來，由于互聯網的普及，直播帶貨已經成為推動消費的一種營銷形式.某直播平臺工作人員在問詢了解了本平臺600個直播商家的利潤狀況后，隨機抽取了100個商家的平均日利潤（單位：百元）進行了統計，所得的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求m的值，并估計該直播平臺商家平均日利潤的中位數與平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）.（2）以樣本估計總體，該直播平臺為了鼓勵直播帶貨，提出了兩種獎勵方案，一是對平均日利潤超過78百元的商家進行獎勵，二是對平均日利潤排名在前的商家進行獎勵，兩種獎勵方案只選擇一種，你覺得哪種方案受到獎勵的商家更多?并說明理由.解：（1）由題意可知，解得，設中位數為，則，解得，所以中位數為74，平均數為（2）由題意可知，方案一受到獎勵的商家的個數為，方案二受到獎勵的商家的個數為，因為240>200，所以方案一受到獎勵的商家更多.18.對任意兩個非零向量，，定義：（1）若向量，，求的值；（2）若單位向量，滿足，求向量與的夾角的余弦值；（3）若非零向量，滿足，向量與的夾角是銳角，且是整數，求的取值范圍．解：（1）因為，，所以，所以，故的值為.（2）因為向量、是單位向量，所以，，由，可得，解得，由，可得，，故向量與的夾角的余弦值為.（3）設向量與的夾角為，由題意可知，則，因為，所以，，因為，所以，，因為是整數，所以，所以，，而，即，所以，因為，，所以，即，故的取值范圍為.19.如圖，在四棱錐中，在線段上（不含端點），底面.（1）證明：平面平面.（2）設，請寫出三棱錐的體積關于的函數表達式，并求出的最大值.解：（1）因為底面底面，所以，又因為，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）過點作，交于，連接，由，得，因為，所以，則，所以，則，，因為底面，平面，所以，又，平面，所以平面，而平面，所以，中由余弦定理得，所以，則，所以，因為，所以，所以當時，取得最大值，最大值為.吉林省部分名校2023-2024學年高一下學期聯合考試數學試題一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.復數的虛部為（）A.1 B. C.3 D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以的虛部為1.故選：A.2.某紡織廠4月份生產了三種類型紗線，分別為大卷紗線?中卷紗線和小卷紗線，其中大卷紗線有2000卷，中卷紗線有8000卷，小卷紗線有20000卷.為檢查該紡織廠4月份生產的這三種類型紗線的質量，按比例用分層隨機抽樣的方法從中抽檢240卷，則被抽檢的小卷紗線有（）A.120卷 B.150卷 C.160卷 D.200卷〖答案〗C〖解析〗依題意，被抽檢小卷紗線有（卷）.故選：C.3.有一艘船以每小時25海里的速度向正東方向行駛，在處測得燈塔在該船的東北方向，該船行駛2小時后到達處，測得燈塔在該船的東偏北方向上，則（）A.海里 B.海里 C.50海里 D.海里〖答案〗A〖解析〗由題可知，海里，在中，由正弦定理可得，則海里.故選：A.4.小唐5月日每天的運動時長（單位：分鐘）統計數據如圖所示，則（）A.小唐這7天每天運動時長的平均數是72B.小唐這7天每天運動時長的極差是42C.小唐這7天每天運動時長的中位數是75D.小唐這7天每天運動時長的第80百分位數是92〖答案〗D〖解析〗，A錯誤；B選項，小唐這7天每天運動時長的極差是，B錯誤；C選項，將小唐這7天每天運動時長從小到大排列為，則小唐這7天每天運動時長的中位數是70，錯誤；D選項，因為，所以第80百分位數是第6個數，即92，D正確.故選：D.5.若某圓臺的上底面半徑為1，下底面半徑為4，該圓臺的體積不小于，則該圓臺的高的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設該圓臺的高為，則該圓臺的體積，因為該圓臺的體積不小于，所以，解得.故選：B.6.正五角星是一個非常優(yōu)美的幾何圖形，且與黃金分割有著密切的聯系.在如圖所示的正五角星中，是該正五角星的中心，則（）A. B. C.12 D.18〖答案〗A〖解析〗如圖，交于點，則是中點且，由題意可得.故選：A．7.如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，，，分別是棱，，的中點，則異面直線與所成角的余弦值是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗連接，因為在直三棱柱中，，分別是棱，的中點，故，即四邊形為平行四邊形，所以，則即為異面直線與所成角或其補角；直三棱柱中，所有棱長都相等，設其棱長2，連接，則，而平面，故平面，平面，故，是棱的中點，故，則，而，又，故在中，，由于異面直線所成角的范圍為大于，小于等于，故異面直線與所成角的余弦值是.故選：D.8.如圖，在平面四邊形中，為鈍角三角形，，則四邊形的面積的最大值為（）A.1 B. C. D.〖答案〗B〖解析〗（方法一）設，則，在中，，因為，所以，四邊形的面積為，當，即時，四邊形的面積取得最大值，最大值為.（方法二）四邊形的面積.故選：B.二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.若復數，則（）A. B.C.為實數 D.〖答案〗BC〖解析〗由，得，A錯誤；，B正確；因為，所以為實數，C正確；D錯誤.故選：BC.10.在正三棱錐中，，則下列結論正確的是（）A.若，則二面角B.若二面角是，則正三棱錐的體積是C.荅，則正三棱錐內切球的半徑是.D.若，則正三梭錐外接球的表面積為〖答案〗ABD〖解析〗如圖，取的中點，連接，則是二面角的平面角，作平面，垂足為，點在上，且，對于A，由，得，則，從而，故A正確；對于B，二面角是，即，得，則3，從而三棱錐的體積，故B正確；由，得，對于，設三棱錐內切球的半徑為，則，所以，故C錯誤；設三棱錐外接球的半徑為，球心為，且在上，連接，則，即，解得，所以，所以，故D正確.故選：ABD.11.歐拉線定理指出三角形的外心?垂心?重心都在同一條直線士，且重心與外心之間的距離是重心與垂心之間的距離的一半.設分別是的外心?垂心和重心，則（）A. B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗對于A，連接并延長，交于點，則是的中點，，于是，當時，不共線，即，A錯誤；對于B，由歐拉線定理得，有，則，B正確；對于C，是的垂心，即，則，于是，即，C正確；對于D，由歐拉線定理知，則，即，D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把〖答案〗填在答題卡中的橫線上.12.已知復數在復平面內對應的點分別為，若，則實數__________；若，則實數__________.〖答案〗〖解析〗依題意得，則，若，則，解得；若，則，解得.故〖答案〗為：.13.某校高一（1）班有男生20人，女生30人.已知某次數學測驗中，男生成績的平均數為100，方差為11，女生成績的平均數為95，方差為16，則這次測驗中班級總體成績的方差為__________.〖答案〗20〖解析〗依題意得這次測驗中班級總體成績的平均數為，方差.故〖答案〗為：.14.在棱長為4的正方體中，分別為線段上的動點，點為側面的中心，則的周長的最小值為__________.〖答案〗〖解析〗如圖①，設側面的中心為，根據正方體的結構特征可得，則周長的最小值即的最小值，將側面繞著旋轉至與平面在同一平面上，將平面繞著旋轉至與平面在同一平面上，過點作⊥于點，則，其中，如圖②，則，故的周長的最小值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在直四棱柱中，底面為菱形，為的中點.（1）證明：平面.（2）求點到平面的距離.解：（1）連接，因為，，故四邊形為平行四邊形，設與交于點，則為的中點，連接，因為為的中點，所以為的中位線，則，因為平面平面，所以平面.（2）延長交于點，連接，取的中點，連接，則，而，故四邊形為平行四邊形，故，因為四邊形為菱形，故，故，故為等邊三角形，所以且，因為平面，平面，所以，而平面，所以平面，因為平面，則點到平面的距離為，，因為，所以，設點到平面的距離為，則，由，得，解得，故點到平面的距離為.16.在中，角的對邊分別是，已知，且.（1）求角的大??；（2）若，求面積的最大值.解：（1）因為，所以，因為，所以，所以，解得或，因為，所以，則.（2）因為，所以，即，則，因為，所以，因為，當且僅當時，等號成立，所以，即，則的面積，故面積的最大值為.17.近年來，由于互聯網的普及，直播帶貨已經成為推動消費的一種營銷形式.某直播平臺工作人員在問詢了解了本平臺600個直播商家的利潤狀況后，隨機抽取了100個商家的