2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州市高一下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，則.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下：7，9，6，9，10，7，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.極差為10 B.中位數(shù)為7.5 C.平均數(shù)為8.5 D.標(biāo)準(zhǔn)差為〖答案〗D〖解析〗某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)從小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，對(duì)A，極差為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，標(biāo)準(zhǔn)差，故D正確.故選：D.4.某科研單位對(duì)ChatGPT的使用情況進(jìn)行滿意度調(diào)查，在一批用戶的有效問卷（用戶打分在50分到100分之間的問卷）中隨機(jī)抽取了100份，按分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這批用戶問卷的得分的第百分位數(shù)為（）A.78.5 B.82.5 C.85 D.87.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以第百分位?shù)位于，設(shè)為，則，解得.故選：B.5.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理，則，又，所以，所以，所以.故選：C.6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，又，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則或，又，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，又，則與平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，則或，若，則在平面內(nèi)存在直線，使得，又，則，又，所以；若，又，所以；綜上可得，由，，，可得，故D正確.故選：D.7.在中，已知，則的形狀一定為（）A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理可得，所以為直角三角?故選：C8.長篇評(píng)彈《玉蜻蜓》在江南可謂家喻戶曉，是蘇州評(píng)彈的一顆明珠.為了讓更多年輕人走近評(píng)彈?愛上經(jīng)典，蘇州市評(píng)彈團(tuán)在保留原本精髓的基礎(chǔ)上，打造了《玉蜻蜓》精簡版，將長篇壓縮至三場，分別是《子歸》篇?《認(rèn)母》篇?《歸宗》篇.某班級(jí)開展對(duì)《玉蜻蜓》的研究，現(xiàn)有三位學(xué)生隨機(jī)從三篇中任意選一篇研究，記“三人都沒選擇《子歸》篇”為事件M，“至少有兩人選擇的篇目一樣”為事件N，則下列說法正確的是（）A.M與N互斥 B.C.M與N相互獨(dú)立 D.〖答案〗B〖解析〗三個(gè)人隨機(jī)選三篇文章研究，樣本空間共種，事件M：“三人都沒選擇《子歸》篇”共有：，所以，事件N：“至少有兩人選擇的篇目一樣”共有種，所以，，所以M與N不互斥，A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；事件MN共有種，所以，B正確；因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以的最小正周期，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，則，又在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)，，，則下列說法正確的有（）A B.若，則C.若，則 D.若且，則〖答案〗ACD〖解析〗由題意，設(shè)A項(xiàng)，，，∴，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，若兩復(fù)數(shù)是虛數(shù)，不能比較大小，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，，，當(dāng)時(shí)，，，∴，任取，或，任取，即至少有一個(gè)為0，∴（其中至少有兩項(xiàng)為0），C正確；D項(xiàng)，∵，∴，∵，∴，即，D正確.故選：ACD.11.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，，，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面C.點(diǎn)，到平面的距離相等D.平面截該正方體所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，則，，，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，又，所以、、、四點(diǎn)共面，同理可證，所以、、、四點(diǎn)共面，正六邊形為平面截該正方體所得截面，又，所以，故D正確；因?yàn)槠矫?，平面，所以，則，同理可證，又，平面，所以平面，即平面，故A正確；因?yàn)椋矫?，平面，所以平面，即平面，又，平面，平面平面，所以不平行平面，故B錯(cuò)誤；設(shè)為正方體的中心，即為的中點(diǎn)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，即交平面于點(diǎn)，所以點(diǎn)，到平面的距離相等，即點(diǎn)，到平面的距離相等，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為___________.〖答案〗〖解析〗由題意，，，，∴∵，∴，解得：.故〖答案〗為：.13.在直角三角形ABC中，已知CH為斜邊AB上的高，，，現(xiàn)將沿著CH折起，使得點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)，且平面平面ACH，則三棱錐的外接球的表面積為___________.〖答案〗〖解析〗直角三角形ABC中，，，則斜邊，，CH為斜邊AB上的高，則，，，平面平面，平面平面，，平面，則平面，又，所以兩兩垂直，，，，則三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球表面積為.故〖答案〗為：.14.在中，已知，則的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，所以，又，所以，則，所以，取為銳角，其中，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，BC，PB的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）求證：平面AFG.解：（1）底面為矩形，所以，底面，底面，則，，平面，則平面，平面，所以，又，為中點(diǎn)，則，平面，，所以平面.（2）連接交于點(diǎn)，連接，由四邊形為矩形，分別為中點(diǎn)，所以，則，即中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，有，平面，平面，所以平面.16.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地均相同的四個(gè)球，其中有兩個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），一個(gè)黑球（標(biāo)號(hào)為3），一個(gè)白球（標(biāo)號(hào)為4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球.設(shè)事件“第一次摸到紅球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的兩個(gè)球恰為一個(gè)紅球和一個(gè)白球”.（1）用數(shù)組表示可能的結(jié)果，是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，試用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）分別求事件A，B，C發(fā)生的概率；（3）求事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解：（1）樣本空間，共有12個(gè)基本事件.（2）事件A的基本事件為：共6個(gè)基本事件，所以，事件B的基本事件為：共3個(gè)基本事件，所以，事件C的基本事件為：共4個(gè)基本事件，所以.（3）事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生的基本事件為：共9個(gè)基本事件，所以.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AC與BD交于點(diǎn)E，且E是線段BD的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形.（1）若，求線段AE的長；（2）若且，求.解：（1）因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，又，所以，在中，，所以，由正弦定理得?（2），，在中，由余弦定理，，在中，由余弦定理，，兩式相加得，因?yàn)?，所以設(shè)，，則，在中，，由余弦定理得，，得，化簡得，由，解得或，當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以，，，在中，，，可得，在中，由余弦定理，，所以.18.如圖，在平行四邊形中，已知，，，為線段的中點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記.（1）若，求線段EF的長；（2）若，設(shè)，求實(shí)數(shù)和的值；（3）若與交于點(diǎn)，，求向量與的夾角的余弦值.解：（1）若，則，，所以，兩邊平方可得，所以.（2）若，則，所以，①，②，由①②可得.（3），，設(shè)，又，又，所以①，由，可得，所以，所以，所以，由，可得，，所以，又三點(diǎn)共線，所以②，聯(lián)立①②解，所以，所以，，，所以，又，所以，同理可得，所以.19.如圖，在四棱柱中，已知側(cè)面為矩形，，，，，，，.（1）求證：平面平面；（2）求證：平面平面；（3）若三棱錐的體積為，求平面與平面的夾角的余弦值.解：（1）因?yàn)?，，所以，又平面，平面，所以平面，，，可得，又，，所以是等邊三角形，所以，，又，所以，又平面，平面，平面，又，又平面，所以平面平?（2）由側(cè)面為矩形，可得，連接，可得是等邊三角形，所以，所以，又，，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.（3）延長交于，可得是等邊三角形，過作于，由（1）可知平面，所以三棱錐的體積即為三棱錐的體積，又三棱錐的體積等于三棱錐的體積，由（2）可知平面平面ABCD，且兩平面的交線為，所以平面，所以，解得，過作于，連接，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，，所以為平面與平面所成二面角的平面角，若，則點(diǎn)在線段上，且為中點(diǎn)，又，由勾股定理可得，所以，所以，所以由勾股定理可得，所以，所以平面與平面的夾角的余弦值為；若，則點(diǎn)在線段延長線上，此時(shí)，.江蘇省蘇州市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期學(xué)業(yè)質(zhì)量期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)為虛數(shù)單位，已知復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗，則.故選：B.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故選：A.3.某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)如下：7，9，6，9，10，7，則關(guān)于這組數(shù)據(jù)的說法正確的是（）A.極差為10 B.中位數(shù)為7.5 C.平均數(shù)為8.5 D.標(biāo)準(zhǔn)差為〖答案〗D〖解析〗某射擊運(yùn)動(dòng)員射擊6次，命中的環(huán)數(shù)從小到大排列如下：6，7，7，9，9，10，對(duì)A，極差為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，平均數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，標(biāo)準(zhǔn)差，故D正確.故選：D.4.某科研單位對(duì)ChatGPT的使用情況進(jìn)行滿意度調(diào)查，在一批用戶的有效問卷（用戶打分在50分到100分之間的問卷）中隨機(jī)抽取了100份，按分?jǐn)?shù)進(jìn)行分組（每組為左閉右開的區(qū)間），得到如圖所示的頻率分布直方圖，估計(jì)這批用戶問卷的得分的第百分位數(shù)為（）A.78.5 B.82.5 C.85 D.87.5〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，，所以第百分位?shù)位于，設(shè)為，則，解得.故選：B.5.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由正弦定理，則，又，所以，所以，所以.故選：C.6.已知，是兩條不同的直線，，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則B.若，，，則C.若，，，則D.若，，，則〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A：若，，則或，又，則或與相交，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，，則或，又，則或與相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若，，則，又，則與平行或異面，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，，則或，若，則在平面內(nèi)存在直線，使得，又，則，又，所以；若，又，所以；綜上可得，由，，，可得，故D正確.故選：D.7.在中，已知，則的形狀一定為（）A.等腰三角形 B.銳角三角形C.直角三角形 D.鈍角三角形〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，所以，所以，由正弦定理可得，所以為直角三角?故選：C8.長篇評(píng)彈《玉蜻蜓》在江南可謂家喻戶曉，是蘇州評(píng)彈的一顆明珠.為了讓更多年輕人走近評(píng)彈?愛上經(jīng)典，蘇州市評(píng)彈團(tuán)在保留原本精髓的基礎(chǔ)上，打造了《玉蜻蜓》精簡版，將長篇壓縮至三場，分別是《子歸》篇?《認(rèn)母》篇?《歸宗》篇.某班級(jí)開展對(duì)《玉蜻蜓》的研究，現(xiàn)有三位學(xué)生隨機(jī)從三篇中任意選一篇研究，記“三人都沒選擇《子歸》篇”為事件M，“至少有兩人選擇的篇目一樣”為事件N，則下列說法正確的是（）A.M與N互斥 B.C.M與N相互獨(dú)立 D.〖答案〗B〖解析〗三個(gè)人隨機(jī)選三篇文章研究，樣本空間共種，事件M：“三人都沒選擇《子歸》篇”共有：，所以，事件N：“至少有兩人選擇的篇目一樣”共有種，所以，，所以M與N不互斥，A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；事件MN共有種，所以，B正確；因?yàn)?，所以C錯(cuò)誤.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期為 B.C.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱 D.在區(qū)間上單調(diào)遞增〖答案〗BD〖解析〗因?yàn)?，所以的最小正周期，故A錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以，故B正確；因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于直線對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；當(dāng)，則，又在上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D正確.故選：BD.10.已知復(fù)數(shù)，，，則下列說法正確的有（）A B.若，則C.若，則 D.若且，則〖答案〗ACD〖解析〗由題意，設(shè)A項(xiàng)，，，∴，A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，若兩復(fù)數(shù)是虛數(shù)，不能比較大小，B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，，，，當(dāng)時(shí)，，，∴，任取，或，任取，即至少有一個(gè)為0，∴（其中至少有兩項(xiàng)為0），C正確；D項(xiàng)，∵，∴，∵，∴，即，D正確.故選：ACD.11.如圖，已知正方體的棱長為2，E，F(xiàn)，G，H分別為AB，，，的中點(diǎn)，則（）A.平面B.平面C.點(diǎn)，到平面的距離相等D.平面截該正方體所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗如圖，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接、、、、、、、、、，則，，，所以，所以、、、四點(diǎn)共面，又，所以、、、四點(diǎn)共面，同理可證，所以、、、四點(diǎn)共面，正六邊形為平面截該正方體所得截面，又，所以，故D正確；因?yàn)槠矫妫矫?，所以，則，同理可證，又，平面，所以平面，即平面，故A正確；因?yàn)?，平面，平面，所以平面，即平面，又，平面，平面平面，所以不平行平面，故B錯(cuò)誤；設(shè)為正方體的中心，即為的中點(diǎn)，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，即交平面于點(diǎn)，所以點(diǎn)，到平面的距離相等，即點(diǎn)，到平面的距離相等，故D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)向量，，，若，則實(shí)數(shù)λ的值為___________.〖答案〗〖解析〗由題意，，，，∴∵，∴，解得：.故〖答案〗為：.13.在直角三角形ABC中，已知CH為斜邊AB上的高，，，現(xiàn)將沿著CH折起，使得點(diǎn)B到達(dá)點(diǎn)，且平面平面ACH，則三棱錐的外接球的表面積為___________.〖答案〗〖解析〗直角三角形ABC中，，，則斜邊，，CH為斜邊AB上的高，則，，，平面平面，平面平面，，平面，則平面，又，所以兩兩垂直，，，，則三棱錐的外接球半徑，所以三棱錐的外接球表面積為.故〖答案〗為：.14.在中，已知，則的最大值為___________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?，所以，即，所以，所以，又，所以，則，所以，取為銳角，其中，，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)取得最大值，且最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，已知底面ABCD為矩形，底面ABCD，，E，F(xiàn)，G分別為線段AD，BC，PB的中點(diǎn).（1）求證：平面PBC；（2）求證：平面AFG.解：（1）底面為矩形，所以，底面，底面，則，，平面，則平面，平面，所以，又，為中點(diǎn)，則，平面，，所以平面.（2）連接交于點(diǎn)，連接，由四邊形為矩形，分別為中點(diǎn)，所以，則，即中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，有，平面，平面，所以平面.16.一個(gè)袋子中有大小和質(zhì)地均相同的四個(gè)球，其中有兩個(gè)紅球（標(biāo)號(hào)為1和2），一個(gè)黑球（標(biāo)號(hào)為3），一個(gè)白球（標(biāo)號(hào)為4），從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出兩個(gè)球.設(shè)事件“第一次摸到紅球”，“第二次摸到黑球”，“摸到的兩個(gè)球恰為一個(gè)紅球和一個(gè)白球”.（1）用數(shù)組表示可能的結(jié)果，是第一次摸到的球的標(biāo)號(hào)，是第二次摸到的球的標(biāo)號(hào)，試用集合的形式寫出試驗(yàn)的樣本空間；（2）分別求事件A，B，C發(fā)生的概率；（3）求事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生的概率.解：（1）樣本空間，共有12個(gè)基本事件.（2）事件A的基本事件為：共6個(gè)基本事件，所以，事件B的基本事件為：共3個(gè)基本事件，所以，事件C的基本事件為：共4個(gè)基本事件，所以.（3）事件A，B，C中至少有一個(gè)發(fā)生的基本事件為：共9個(gè)基本事件，所以.17.如圖，在平面四邊形ABCD中，已知AC與BD交于點(diǎn)E，且E是線段BD的中點(diǎn)，是邊長為1的等邊三角形.（1）若，求線段AE的長；（2）若且，求.解：（1）因?yàn)闉榈冗吶切危?，又，所以，在中，，所以，?/p>