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高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意,.故選:D.2.已知,則的值為()A. B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗,.故選:B.3.已知圓錐的底面半徑是1,高為,則圓錐的側(cè)面積是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閳A錐的底面半徑是1,高為,所以圓錐的母線長為,所以圓錐的側(cè)面積為.故選:D.4.下列四個(gè)函數(shù)中,以為最小正周期,且為奇函數(shù)的是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對A,,其定義域?yàn)?,設(shè),因?yàn)?,故其為偶函?shù),故A錯(cuò)誤;對B,,其定義域?yàn)椋O(shè),則,則其為奇函數(shù),且最小正周期為,故B正確;對C,,其最小正周期為,故C錯(cuò)誤;對D,,其最小正周期為,故D錯(cuò)誤.故選:B.5.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,則圖象的一條對稱軸為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意,,令,得,當(dāng)時(shí),.故選:A.6.設(shè),是兩個(gè)不重合平面,,是兩條不重合直線,則()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則〖答案〗C〖解析〗對A,若,,則或與異面,故A錯(cuò)誤;對B,若,,則與可能相交、平行或,故B錯(cuò)誤;對C,若,,則,又因?yàn)椋瑒t,故C正確;對D,若,,,當(dāng)都與的交線平行時(shí),滿足題設(shè)條件,此時(shí),故D錯(cuò)誤.故選:C.7.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn),為原點(diǎn),線段繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫骄€段,若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)在第二象限,而,則有點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)在角的終邊上,則點(diǎn)在角的終邊上,,,所以.故選:A.8.已知中,,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),,則的最小值為()A. B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗在中,,由,得,則,即,以點(diǎn)為原點(diǎn),射線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),,,由,得,解得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以的最小值為.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.)9.已知復(fù)數(shù),,則下列說法正確的是()A.若,則的共軛復(fù)數(shù)為B.若為純虛數(shù),則C.若,則D.〖答案〗ABD〖解析〗對A,根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念知的共軛復(fù)數(shù)為,故A正確;對B,若為純虛數(shù),則,解得,故B正確;對C,舉例,滿足,但,故C錯(cuò)誤;對D,設(shè),,其中,則,則,,所以.故選:ABD.10.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊落在軸的正半軸上,如果是角終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn),記,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),稱為角的正割,記作.則下列說法正確的是()A.B.函數(shù)的最小正周期為,其圖象的對稱軸為C.(其中和的取值使各項(xiàng)都有意義)D.在銳角中,角,,的對邊分別為,,,則〖答案〗AC〖解析〗依題意,,當(dāng)時(shí),,對于A,,A正確;對于B,函數(shù),的最小正周期為,其圖象的對稱軸為,B錯(cuò)誤;對于C,,C正確;對于D,由余弦定理得,D錯(cuò)誤.故選:AC.11.如圖,正三棱臺的上、下底面邊長分別為1和3,側(cè)棱長為2,則下列說法正確的是()A.該三棱臺的體積為B.若過點(diǎn)的平面與平面平行,則平面截該三棱臺所得的截面面積為C.若點(diǎn)在棱上,則的最小值為D.該三棱臺內(nèi)半徑最大球的體積為〖答案〗BC〖解析〗對于A,正三棱臺中,取上、下底面的中心,連接,則,高,三棱臺的體積,A錯(cuò)誤;對于B,在上分別取點(diǎn),使,連接,而,則四邊形均為平行四邊形,即,,而平平面,平面,則平面,同理平面,又,因此為平面截該三棱臺所得的截面,而,又,則為正三角形,,截面面積,B正確;對于C,把等腰梯形與展開置于同一平面,連接,由選項(xiàng)B知,等腰底邊,而邊的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離,因此當(dāng)點(diǎn)為線段與的交點(diǎn)時(shí),的最小值為,C正確;對于D,體積為的球半徑,,解得,該球的直徑,則此球不可能在正三棱臺內(nèi),D錯(cuò)誤.故選:BC.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.)12.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)____.〖答案〗3〖解析〗由題意得,解得.故〖答案〗為:3.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的最大值為____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋瑒t,由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,可得,求得,則,故的最大值為.故〖答案〗為:.14.已知矩形中,,,將沿折至,得到三棱錐,則該三棱錐體積的最大值為____;該三棱錐外接球的表面積為____.〖答案〗〖解析〗過作于,過在平面內(nèi)作,則平面,又平面,于是平面平面,平面平面,因此在平面內(nèi)的射影為,而,點(diǎn)到平面的距離,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,三棱錐的體積;取的中點(diǎn),連接,由,得,因此三棱錐的外接球的球心為,半徑為,所以三棱錐的外接球的表面積.故〖答案〗為:.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知,角,,的對邊分別為,,,滿足.(1)求角的大小;(2)若,,求的面積.解:(1)在中,由及正弦定理,得,而,即,因此,即有,又,所以.(2)由余弦定理,得,又,則,所以的面積.16.如圖,在直三棱柱中,,.(1)求證:平面平面;(2)求證:.解:(1)在直三棱柱中,因?yàn)槠矫嫫矫妫裕忠驗(yàn)槠矫嫫矫?,所以平面,又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?(2)連接,由(1)可知平面,因?yàn)槠矫妫?,因?yàn)?,所以,又因?yàn)樵谡叫沃?,平面,,所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以,?17.如圖,某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通,兩地,地位于岸邊東西方向的直線上,地位于海上一個(gè)燈塔處,在地用測角器測得的大小,設(shè),已知.在地正東方向的點(diǎn)處,用測角器測得.在直線上選一點(diǎn),設(shè),且,先沿線段在地下鋪設(shè)電纜,再沿線段在水下鋪設(shè)電纜.已知地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為3萬元,6萬元.(1)求,兩點(diǎn)間距離;(2)設(shè)鋪設(shè)電纜總費(fèi)用為.①求的表達(dá)式;②求鋪設(shè)電纜總費(fèi)用的最小值,并確定此時(shí)的長度.解:(1)在中,由,得,解得,則,由正弦定理,得,所以,兩點(diǎn)間的距離.(2)①在中,由正弦定理得,解得,,所以.②令,則,則,其中銳角由確定,于是,則有,而,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,即當(dāng)時(shí),有最小值,所以總費(fèi)用的最小值為萬元,此時(shí)的長度為.18.如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,,為中點(diǎn).(1)證明:平面;(2)若,.①求二面角的余弦值;②求直線與平面所成角的正弦值.解:(1)連接,交于點(diǎn),連接,因?yàn)榈酌鏋榱庑?,所以為的中點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,又因?yàn)槠矫?,平面,所以平?(2)①因?yàn)?,所以為等邊三角形,取的中點(diǎn),連接,則,在中,作交于點(diǎn),所以為二面角的平面角,在中,因?yàn)椋?,所以,在中,,所以,在中,,由余弦定理得,在中,由余弦定理,所以二面角的余弦值?②設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn),則為直線與平面所成的角,因?yàn)?,所以,所以,所以,又因?yàn)槠矫?,平面,,所以平面,又因?yàn)槠矫?,平面,所以平面,且,所以,所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知函數(shù),,若對于任意實(shí)數(shù),,,都能構(gòu)成三角形的三條邊長,則稱函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”.(1)試判斷函數(shù)是否為上的“完美三角形函數(shù)”,并說明理由;(2)設(shè)向量,,若函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍;(3)已知函數(shù)為(為常數(shù))上的“完美三角形函數(shù)”.函數(shù)的圖象上,是否存在不同的三個(gè)點(diǎn),滿足,?若存在,求的值;若不存在,說明理由.解:(1)是R上的“完美三角形函數(shù)”,,因?yàn)椋?,所以,因?yàn)椤啊笔恰盀樯系摹巴昝廊切魏瘮?shù)”的充要條件,所以函數(shù)是R上的“完美三角形函數(shù)”.(2)因?yàn)?,所以,且,因?yàn)?,所以,所以的最大值?,最小值為,①當(dāng)時(shí),,由,得;②當(dāng)時(shí),,滿足題意;③當(dāng)時(shí),,由,得,綜上,實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)因?yàn)?,則,所以,由,得,則,又因?yàn)?,故,假設(shè)存在滿足題意的三個(gè)點(diǎn),則,且,所以,所以,即,因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)?,所以,所以,與矛盾,故不存在點(diǎn)滿足題意.遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗根據(jù)題意,.故選:D.2.已知,則的值為()A. B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗,.故選:B.3.已知圓錐的底面半徑是1,高為,則圓錐的側(cè)面積是()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)閳A錐的底面半徑是1,高為,所以圓錐的母線長為,所以圓錐的側(cè)面積為.故選:D.4.下列四個(gè)函數(shù)中,以為最小正周期,且為奇函數(shù)的是()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗對A,,其定義域?yàn)?,設(shè),因?yàn)?,故其為偶函?shù),故A錯(cuò)誤;對B,,其定義域?yàn)?,設(shè),則,則其為奇函數(shù),且最小正周期為,故B正確;對C,,其最小正周期為,故C錯(cuò)誤;對D,,其最小正周期為,故D錯(cuò)誤.故選:B.5.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,則圖象的一條對稱軸為()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意,,令,得,當(dāng)時(shí),.故選:A.6.設(shè),是兩個(gè)不重合平面,,是兩條不重合直線,則()A.若,,則 B.若,,則C.若,,,則 D.若,,,則〖答案〗C〖解析〗對A,若,,則或與異面,故A錯(cuò)誤;對B,若,,則與可能相交、平行或,故B錯(cuò)誤;對C,若,,則,又因?yàn)?,則,故C正確;對D,若,,,當(dāng)都與的交線平行時(shí),滿足題設(shè)條件,此時(shí),故D錯(cuò)誤.故選:C.7.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn),為原點(diǎn),線段繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋且長度變?yōu)樵瓉淼囊话耄玫骄€段,若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為,則()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為,則點(diǎn)在第二象限,而,則有點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,點(diǎn)在角的終邊上,則點(diǎn)在角的終邊上,,,所以.故選:A.8.已知中,,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),,則的最小值為()A. B. C.0 D.〖答案〗D〖解析〗在中,,由,得,則,即,以點(diǎn)為原點(diǎn),射線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系,則,設(shè),,,由,得,解得,,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,所以的最小值為.故選:D.二、多項(xiàng)選擇題(本大題共3小題,每小題6分,共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求,全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.)9.已知復(fù)數(shù),,則下列說法正確的是()A.若,則的共軛復(fù)數(shù)為B.若為純虛數(shù),則C.若,則D.〖答案〗ABD〖解析〗對A,根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念知的共軛復(fù)數(shù)為,故A正確;對B,若為純虛數(shù),則,解得,故B正確;對C,舉例,滿足,但,故C錯(cuò)誤;對D,設(shè),,其中,則,則,,所以.故選:ABD.10.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合,角的始邊落在軸的正半軸上,如果是角終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn),記,當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí),稱為角的正割,記作.則下列說法正確的是()A.B.函數(shù)的最小正周期為,其圖象的對稱軸為C.(其中和的取值使各項(xiàng)都有意義)D.在銳角中,角,,的對邊分別為,,,則〖答案〗AC〖解析〗依題意,,當(dāng)時(shí),,對于A,,A正確;對于B,函數(shù),的最小正周期為,其圖象的對稱軸為,B錯(cuò)誤;對于C,,C正確;對于D,由余弦定理得,D錯(cuò)誤.故選:AC.11.如圖,正三棱臺的上、下底面邊長分別為1和3,側(cè)棱長為2,則下列說法正確的是()A.該三棱臺的體積為B.若過點(diǎn)的平面與平面平行,則平面截該三棱臺所得的截面面積為C.若點(diǎn)在棱上,則的最小值為D.該三棱臺內(nèi)半徑最大球的體積為〖答案〗BC〖解析〗對于A,正三棱臺中,取上、下底面的中心,連接,則,高,三棱臺的體積,A錯(cuò)誤;對于B,在上分別取點(diǎn),使,連接,而,則四邊形均為平行四邊形,即,,而平平面,平面,則平面,同理平面,又,因此為平面截該三棱臺所得的截面,而,又,則為正三角形,,截面面積,B正確;對于C,把等腰梯形與展開置于同一平面,連接,由選項(xiàng)B知,等腰底邊,而邊的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離,因此當(dāng)點(diǎn)為線段與的交點(diǎn)時(shí),的最小值為,C正確;對于D,體積為的球半徑,,解得,該球的直徑,則此球不可能在正三棱臺內(nèi),D錯(cuò)誤.故選:BC.三、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共15分.其中第14題第一空2分,第二空3分.)12.已知向量,,若,則實(shí)數(shù)____.〖答案〗3〖解析〗由題意得,解得.故〖答案〗為:3.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,則的最大值為____.〖答案〗〖解析〗因?yàn)?,則,由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,可得,求得,則,故的最大值為.故〖答案〗為:.14.已知矩形中,,,將沿折至,得到三棱錐,則該三棱錐體積的最大值為____;該三棱錐外接球的表面積為____.〖答案〗〖解析〗過作于,過在平面內(nèi)作,則平面,又平面,于是平面平面,平面平面,因此在平面內(nèi)的射影為,而,點(diǎn)到平面的距離,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,三棱錐的體積;取的中點(diǎn),連接,由,得,因此三棱錐的外接球的球心為,半徑為,所以三棱錐的外接球的表面積.故〖答案〗為:.四、解答題(本大題共5小題,共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)15.已知,角,,的對邊分別為,,,滿足.(1)求角的大?。唬?)若,,求的面積.解:(1)在中,由及正弦定理,得,而,即,因此,即有,又,所以.(2)由余弦定理,得,又,則,所以的面積.16.如圖,在直三棱柱中,,.(1)求證:平面平面;(2)求證:.解:(1)在直三棱柱中,因?yàn)槠矫嫫矫?,所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?,所以平面,又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?(2)連接,由(1)可知平面,因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,所以,又因?yàn)樵谡叫沃校矫?,,所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以,?17.如圖,某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通,兩地,地位于岸邊東西方向的直線上,地位于海上一個(gè)燈塔處,在地用測角器測得的大小,設(shè),已知.在地正東方向的點(diǎn)處,用測角器測得.在直線上選一點(diǎn),設(shè),且,先沿線段在地下鋪設(shè)電纜,再沿線段在水下鋪設(shè)電纜.已知地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為3萬元,6萬元.(1)求,兩點(diǎn)間距離;(2)設(shè)鋪設(shè)電纜總費(fèi)用為.①求的表達(dá)式;②求鋪設(shè)電纜總費(fèi)用的最小值,并確定此時(shí)的長度.解:(1)在中,由,得,解得,則,由正弦定理,得,所以,兩點(diǎn)間的距離.(2)①在中,由正弦定理得,解得,,所以.②令,則,則,其中銳角由確定,于是,則有,而,解得,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,即當(dāng)時(shí),有最小值,所以總費(fèi)用的最小值為萬元,此時(shí)的長度為.18.
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