2023-2024學(xué)年遼寧省沈陽市五校協(xié)作體高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求.1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B.-1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題得，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選：B.2.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，則，所以在方向上的投影向量為.故選：A.3.已知是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題中，不正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，因為，所以，因為，所以，所以A正確；對于B，過作平面，因為，所以，因為，，所以，因為，，所以，所以，所以B正確；對于C，當(dāng)時，或，所以C錯誤；對于D，因為，所以，因，所以，所以D正確.故選：C.4.機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，，得，則萊洛三角形的周長是.故選：A．5.已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得圓錐母線是球半徑，設(shè)球半徑為，圓錐底面圓半徑為，由圓錐高為，得，由圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓得：，聯(lián)立方程組，解得，所以球表面積為.故選：C.6.已知函數(shù)的定義域為，在定義域內(nèi)存在唯一，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，在定義域內(nèi)存在唯一，使得，所以在上有唯一解，令，所以在上有唯一解，則由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)可知.故選：D.7.如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是弧（包括端點）上一點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗方法一：如圖1，以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．因為，所以，由題意知，圓O的半徑，因為點P在弧（包括端點）上，所以，所以的取值范圍是．方法二：如圖2，連接，易知，設(shè)，則，由已知可得，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是.故選：C．8.已知單調(diào)函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)，所以，所以關(guān)于點中心對稱，因為，，且為單調(diào)函數(shù)，所以，，則.故選：.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對得6分，部分選對得部份分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.若對于任意，都有成立，實數(shù)的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，函數(shù)周期，，解得，A正確；對于B，由，得，而，則，即，由，解得，函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線，B正確；對于C，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，，即，由，顯然，，因此，D正確.故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)均為虛數(shù)，且，則（）A.B.C.為純虛數(shù)D.存在某個實系數(shù)二次方程，它的兩個根為〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，，，為純虛數(shù)，故C正確；對于D，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以實系數(shù)二次方程，要么，要么，不可能既有實數(shù)根，又有虛數(shù)根，故D錯誤.故選：BC.11.在棱長為2的正方體中，M為中點，N為四邊形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.三棱錐的體積為C.點N的軌跡長度為 D.的取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗在棱長為2的正方體中，為中點，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），平面，取、中點分別為、，連接、、、，，如圖：為正方體，為中點，為中點，，，，，、平面，、平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），且平面，點在線段上（含端點），對于A：當(dāng)在時，則與夾角為，此時，則與不垂直，故A不正確；對于B為四邊形內(nèi)一點（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對于C：由于點在線段上（含端點），而，點的軌跡長度為，故C不正確；對于D為正方體，平面，平面，，△為直角三角形，且直角為，，點在線段上（含端點），則當(dāng)最大時，即點為點時，此時，此時最小，為，當(dāng)最小時，即，此時，此時最大，最大為，則的取值范圍，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.已知銳角，且滿足.則__________.〖答案〗〖解析〗，且為銳角，得，由為銳角，得，而，得，則.故〖答案〗為：.13.已知PC是三棱錐外接球的直徑，且，，三棱錐體積的最大值為8，則其外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，因為是三棱錐外接球的直徑，所以，又，故平面，因平面，則，又，所以面，因平面，故．于是，三棱錐的體積為．因（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以體積的最大值為，依題意，解得，因，故，所以三棱錐的外接球的表面積為：．故〖答案〗為：.14.已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，若，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得：，又，即，可得，又是銳角三角形，可得，即，解得，令，則，則，開口向上，對稱軸，即在上單調(diào)遞增，所以，即即的取值范圍是故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出必要的文字、證明過程和步驟.15.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點，求的長.解：（1）因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得，因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.解：（1）連接交于點，連接，由底面是正方形，故為中點，又點為線段的中點，故，又平面，平面，故平面.（2）由點為線段的中點，，易知，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，而?平面，，故平面，又平面，故，又?平面，，故平面.（3）由點為線段的中點，故點與點到平面距離相等，故.17.已知，對任意都有，（1）求的值：（2）若當(dāng)時方程有唯一實根，求的范圍.（3）已知，若對任意都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）對任意都有，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，而，則，所以.（2），當(dāng)時，設(shè)，在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，所以方程有唯一實根，等價于與的圖象有一個交點，由圖象可知或，所以或，所以的范圍是.（3）由（1）知，，則，，，當(dāng)時，，，令，顯然，不等式，依題意，，不等式恒成立，顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則，所以實數(shù)的取值范圍是.18.如圖，正三棱柱中，，點為的中點.（1）證明：平面平面（2）在棱上是否存在點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.（3）求二面角平面角的正切值.解：（1）在正三棱柱中，因為點為的中點，則，又平面，平面，則有，而，平面，所以平面，因為平面，所以平面平面.（2）在平面內(nèi)過點作交于點，因為平面平面，平面，所以平面，則點即為所要找的點，如下圖所示，因為，，所以與相似，因此，即有，于是，，所以.（3）在平面上，過點作垂直垂足為，因為點為的中點，所以為的四等分點，即，過點作的垂線垂足為，連接，平面平面，平面平面，因此平面，所以有，由二面角定義可得為二面角的平面角，為直角三角形，邊上的高為，則有，所以.19.在中，，點為的外心.（1）若，求的值；（2）若，求的最大值；（3）求證：.解：（1）由，由余弦定理得，取的中點，連接，則，所以，同理可得，所以的值為22.（2）不妨設(shè)，因，同理可得，則由可得，即得：①，又由可得，即得：②，聯(lián)立①，②，解得：則，因，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，即當(dāng)時，取得最大值.（3）由，則，由圖知，則，設(shè)的外接圓半徑為，則，即，又，而，則，而，故，不妨設(shè)與的夾角為，則，因，故，即，故，得證.遼寧省沈陽市五校協(xié)作體2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求.1.已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的虛部是（）A.1 B.-1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題得，所以，所以復(fù)數(shù)的虛部是.故選：B.2.已知向量，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，則，所以在方向上的投影向量為.故選：A.3.已知是不同的直線，是不重合的平面，則下列命題中，不正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗對于A，因為，所以，因為，所以，所以A正確；對于B，過作平面，因為，所以，因為，，所以，因為，，所以，所以，所以B正確；對于C，當(dāng)時，或，所以C錯誤；對于D，因為，所以，因，所以，所以D正確.故選：C.4.機(jī)械學(xué)家萊洛發(fā)現(xiàn)的萊洛三角形給人以對稱的美感．萊洛三角形的畫法：先畫等邊三角形ABC，再分別以點A，B，C為圓心，線段AB長為半徑畫圓弧，便得到萊洛三角形．若線段AB長為1，則萊洛三角形的周長是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知，，得，則萊洛三角形的周長是.故選：A．5.已知圓錐的底面圓周在球的球面上，頂點為球心，圓錐的高為，且圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓，則球的表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由已知得圓錐母線是球半徑，設(shè)球半徑為，圓錐底面圓半徑為，由圓錐高為，得，由圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓得：，聯(lián)立方程組，解得，所以球表面積為.故選：C.6.已知函數(shù)的定義域為，在定義域內(nèi)存在唯一，使得，則的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，在定義域內(nèi)存在唯一，使得，所以在上有唯一解，令，所以在上有唯一解，則由正弦函數(shù)圖像性質(zhì)可知.故選：D.7.如圖，圓O內(nèi)接邊長為1的正方形是?。òǘ它c）上一點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗方法一：如圖1，以A為坐標(biāo)原點，所在直線分別為x軸、y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則．因為，所以，由題意知，圓O的半徑，因為點P在?。òǘ它c）上，所以，所以的取值范圍是．方法二：如圖2，連接，易知，設(shè)，則，由已知可得，所以，所以，因為，所以，所以，所以，即的取值范圍是.故選：C．8.已知單調(diào)函數(shù)，若實數(shù)滿足，且，則（）A.0 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為函數(shù)，所以，所以關(guān)于點中心對稱，因為，，且為單調(diào)函數(shù)，所以，，則.故選：.二、多選題：本題共3小題，每題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合要求.全部選對得6分，部分選對得部份分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線C.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為D.若對于任意，都有成立，實數(shù)的取值范圍為〖答案〗ABD〖解析〗對于A，函數(shù)周期，，解得，A正確；對于B，由，得，而，則，即，由，解得，函數(shù)的圖象的對稱軸方程為直線，B正確；對于C，由，得，因此函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，C錯誤；對于D，當(dāng)時，，，即，由，顯然，，因此，D正確.故選：ABD.10.已知復(fù)數(shù)均為虛數(shù)，且，則（）A.B.C.為純虛數(shù)D.存在某個實系數(shù)二次方程，它的兩個根為〖答案〗BC〖解析〗設(shè)，，，對于A，，故A錯誤；對于B，，，所以，故B正確；對于C，，，為純虛數(shù)，故C正確；對于D，因為為虛數(shù)，為實數(shù)，所以實系數(shù)二次方程，要么，要么，不可能既有實數(shù)根，又有虛數(shù)根，故D錯誤.故選：BC.11.在棱長為2的正方體中，M為中點，N為四邊形內(nèi)一點（含邊界），若平面，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.三棱錐的體積為C.點N的軌跡長度為 D.的取值范圍為〖答案〗BD〖解析〗在棱長為2的正方體中，為中點，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），平面，取、中點分別為、，連接、、、，，如圖：為正方體，為中點，為中點，，，，，、平面，、平面，且，，平面平面，為四邊形內(nèi)一點（含邊界），且平面，點在線段上（含端點），對于A：當(dāng)在時，則與夾角為，此時，則與不垂直，故A不正確；對于B為四邊形內(nèi)一點（含邊界），到平面的距離為2，三棱錐的體積為，故B正確；對于C：由于點在線段上（含端點），而，點的軌跡長度為，故C不正確；對于D為正方體，平面，平面，，△為直角三角形，且直角為，，點在線段上（含端點），則當(dāng)最大時，即點為點時，此時，此時最小，為，當(dāng)最小時，即，此時，此時最大，最大為，則的取值范圍，故D正確．故選：BD．三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分.12.已知銳角，且滿足.則__________.〖答案〗〖解析〗，且為銳角，得，由為銳角，得，而，得，則.故〖答案〗為：.13.已知PC是三棱錐外接球的直徑，且，，三棱錐體積的最大值為8，則其外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗如圖，因為是三棱錐外接球的直徑，所以，又，故平面，因平面，則，又，所以面，因平面，故．于是，三棱錐的體積為．因（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立），所以體積的最大值為，依題意，解得，因，故，所以三棱錐的外接球的表面積為：．故〖答案〗為：.14.已知是銳角三角形，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為a，b，若，則的取值范圍是______.〖答案〗〖解析〗由正弦定理得：，又，即，可得，又是銳角三角形，可得，即，解得，令，則，則，開口向上，對稱軸，即在上單調(diào)遞增，所以，即即的取值范圍是故〖答案〗為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答題應(yīng)寫出必要的文字、證明過程和步驟.15.在中，角的對邊分別為，已知.（1）求；（2）若為邊的中點，求的長.解：（1）因為，根據(jù)正弦定理，得，化簡得，因為，所以，因為，所以.（2）在中，由余弦定理得，所以，解得，因為為的中線，所以，所以，因為，所以，解得.16.如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面，且，點為線段的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求三棱錐的體積.解：（1）連接交于點，連接，由底面是正方形，故為中點，又點為線段的中點，故，又平面，平面，故平面.（2）由點為線段的中點，，易知，由平面，平面，故，又底面是正方形，故，而?平面，，故平面，又平面，故，又?平面，，故平面.（3）由點為線段的中點，故點與點到平面距離相等，故.17.已知，對任意都有，（1）求的值：（2）若當(dāng)時方程有唯一實根，求的范圍.（3）已