2023-2024學年四川省成都蓉城聯(lián)考高一下學期期末考試數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1四川省成都蓉城聯(lián)考2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)平面向量減法運算可得.故選：A.3.在中，，則（）A. B.16 C.32 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，，所以，，所以.故選：B.4.一個水平放置的平面圖形按斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示.知，則平面圖形的面積為（）A.3 B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出梯形的原圖，如圖所示：在直觀圖中，，得，則在原圖中，，，四邊形是直角梯形，所以.故選：C.5.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，下列關于函數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為〖答案〗B〖解析〗圖像向左平移個單位長度得函數(shù)，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）得到函數(shù)，其最小正周期為，A選項錯誤；由，得，在上單調(diào)遞減，B選項正確；，為偶函數(shù)，C選項錯誤；當時，，所以單調(diào)遞減，最大值為，D選項錯誤.故選：B.6.某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)?滲透?流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）.24小時降雨量的等級劃分如下：24小時降雨量（精確到）降雨等級小雨中雨大雨暴雨在一次降雨過程中，用一個側棱的三棱柱容器收集的24小時的雨水如圖所示，當側面水平放置時，水面恰好過的中點.則這24小時的降雨量的等級是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨〖答案〗D〖解析〗設的面積為，底面水平放置時，液面高為，側面水平放置時，水的體積為，當?shù)酌嫠椒胖脮r，水的體積為，于是，解得，所以當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為，故降雨量等級為暴雨.故選：D.7.如圖，圓錐的底面直徑和高均為，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，我們稱該圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱.則該圓錐的內(nèi)接圓柱側面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓錐軸截面如圖所示，設圓柱的底面半徑為，，由可知，，即，所以，故被挖去的圓柱的側面積為，當且僅當時取等號，即時，被挖去的圓柱的側面積最大值為．故選：C.8.在中，，點滿足，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，易知為等腰直角三角形且，取中點為，則，又點滿足，則點在直線上，所以，由，則，結合圖知，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是平面，若，則的關系可能為（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.異面〖答案〗ABD〖解析〗如圖，在正方體中，若是平面，為，為，此時與平行，故A正確；在正方體中，若是平面，為，為，此時，故B正確；若，不可能與垂直和相交，故C錯誤；在正方體中，若是平面，為，為，此時與異面，故D正確.故選：ABD.10.的內(nèi)角的對邊分別為，下列結論正確的是（）A.若，則角B.存在，使成立C.若，則為等腰或直角三角形D.若，則有兩解〖答案〗ACD〖解析〗選項A：由正弦定理得：又余弦定理得故又故故選項A正確；選項B：因在中，故故選項B錯誤；選項C：當時，或即或故為等腰或直角三角形，故選項C正確；選項D：又則若，則有兩解正確，故選項D正確.故選：ACD.11.如圖，在正方體中，為棱上的動點，平面為垂足，下列結論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.D.與所成的角為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，在正方體中，連接，交于點，連接，則，又平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，因為為的中點，所以在的中垂線上，所以，故A正確；對于B，在正方體中，平面，為棱上的動點，所以點到平面的距離即為到平面的距離，即為正方體的棱長，為定值，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，又，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C，連接，則，又在正方體中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故C正確；對于D，連接，在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為與所成的角，又是正三角形，所以與所成的角為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為共線向量，且，則__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)為共線向量，且，則，解得.故〖答案〗為：.13.在中，分別為的中點，交于點.若，，則__________.〖答案〗〖解析〗因為在中，、分別為、的中點，交于點，則為的重心，所以，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故，，，又，由余弦定理可得．故〖答案〗為：．14.降維類比和升維類比主要應用于立體幾何的學習，將空間三維問題降為平面二維或者直線一維問題就是降維類比.平面幾何中多邊形的外接圓，即找到一點，使得它到多邊形各個頂點的距離相等.這個點就是外接圓的圓心，距離就是外接圓的半徑.若這樣的點存在，則這個多邊形有外接圓，若這樣的點不存在，則這個多邊形沒有外接圓.事實上我們知道，三角形一定有外接圓，如果只求外接圓的半徑，我們可通過正弦定理來求，我們也可以關注九年義教初中《幾何》第三冊第94頁例2.的結論：三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商.借助求三角形外接圓的方法解決問題：若等腰梯形的上下底邊長分別為6和8，高為1，這個等腰梯形的外接圓半徑為__________；軸截面是旋轉體的重要載體，圓臺的軸截面中包含了旋轉體中的所有元素：高?母線長?底面圓的半徑，通過研究其軸截面，可將空間問題轉化為平面問題.觀察圖象，通過類比，我們可以找到一般圓臺的外接球問題的研究方法，正棱臺可以看作由圓臺切割得到.研究問題：如圖，正三棱臺的高為1，上?下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的體積為__________.〖答案〗5〖解析〗連接，由于且梯形的高，所以，因此，因此，，因此的外接圓半徑為，故，因此的外接圓半徑為，故，因此存在一點到四點距離相等，且距離為，即腰梯形的外接圓半徑為5，設棱臺上下兩個三角形的外接圓半徑分別為，由于上?下底面邊長分別為和，由正弦定理可得，因此圓臺的軸截面為等腰梯形，且其上下底邊長分別為6和8，高為1，根據(jù)第一問的結論可知，該圓臺的外接球半徑為5，故外接球的體積為.故〖答案〗為：5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是棱長為2的正方體.（1）求三棱錐的體積；（2）若是的中點，是的中點，證明：平面.解：（1）三棱錐由正方體截去四個全等的三棱錐而得，故.（2）因為為和的中點，在中，，平面，平面，所以平面.16.已知向量滿足，，且在上的投影向量為.（1）求及的值；（2）若，求的值.解：（1）因為，，且在上的投影向量為，所以，所以，所以，因為，所以.（2）因為，所以，即，得，解得．17.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且.（1）求及；（2）若點在邊上，且，求的面積.解：（1）由得：，，，，故，由于，所以，由正弦定理以及可得，所以.（2），，，，由于，，所以，解得或（舍去），所以.18.在平行四邊形中，分別為中點，將三角形沿翻折，使得二面角為直二面角后，得到四棱錐.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點，連接和，因為，分別為，的中點，所以，且，又，且，所以，且，所以四邊形是平行四邊形，所以．平面，平面，故平面.（2）由于在平行四邊形中，分別為的中點，所以，則，因此，又，故，由于二面角為直二面角，所以平面平面且兩平面的交線為，又平面，故平面，平面，故平面平面.（3）由于平面平面且兩平面的交線為，，平面，故平面，由（2）知平面，平面，故，設點到平面的距離為，則，故，設與平面所成角為，則.19.“費馬點”是由十七世紀法國數(shù)學家費馬提出并征解的一個問題，該問題是：“在一個三角形內(nèi)求作一點，使其與此三角形的三個頂點的距離之和最小”.如圖1，三個內(nèi)角都小于的內(nèi)部有一點，連接，求的最小值.我們稱三角形內(nèi)到三角形三個頂點距離之和最小的點為費馬點.要解決這個問題，首先應想辦法將這三條端點重合于一點的線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個端點為定點，這樣依據(jù)“兩點之間，線段最短”，就可求出這三條線段和的最小值.某數(shù)學研究小組先后嘗試了翻折?旋轉?平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉可以解決這個問題，具體的做法如圖2，將繞點順時針旋轉，得到，連接，則的長即為所求，此時與三個頂點連線恰好三等分費馬點的周角.同時小組成員研究教材發(fā)現(xiàn)：已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量.（1）已知平面內(nèi)點，把點繞點沿順時針方向旋轉后得到點，求點的坐標；（2）在中，，借助研究成果，直接寫出的最小值；（3）已知點，求的費馬點的坐標.解：（1），繞著點順時針旋轉，即逆時針旋轉，代入公式，，所以，則點的坐標為.（2）由費馬點的求法知：繞著點順時針旋轉，與重合，，所以為等邊三角形，連接，的最小值為，由勾股定理得.（3）通過材料可以知道，內(nèi)部有一點，連接，將繞點順時針旋轉，得到，連接，則的長即為所求，此時與三個頂點連線恰好三等分費馬點的周角，即此時點滿足，又由題設，可知為等腰三角形，且，根據(jù)費馬點求法知：點在中垂線上，且是頂角為的等腰三角形，所以，故，則.四川省成都蓉城聯(lián)考2023-2024學年高一下學期期末考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故選：D.2.（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)平面向量減法運算可得.故選：A.3.在中，，則（）A. B.16 C.32 D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意，，所以，，所以.故選：B.4.一個水平放置的平面圖形按斜二測畫法得到的直觀圖如圖所示.知，則平面圖形的面積為（）A.3 B.6 C. D.〖答案〗C〖解析〗畫出梯形的原圖，如圖所示：在直觀圖中，，得，則在原圖中，，，四邊形是直角梯形，所以.故選：C.5.把函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變），得到函數(shù)的圖象，下列關于函數(shù)的說法正確的是（）A.函數(shù)的最小正周期B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減C.函數(shù)是奇函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間上的最大值為〖答案〗B〖解析〗圖像向左平移個單位長度得函數(shù)，再把橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）得到函數(shù)，其最小正周期為，A選項錯誤；由，得，在上單調(diào)遞減，B選項正確；，為偶函數(shù)，C選項錯誤；當時，，所以單調(diào)遞減，最大值為，D選項錯誤.故選：B.6.某一時段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)?滲透?流失而在水平面上積聚的深度，稱為這個時段的降雨量（單位：）.24小時降雨量的等級劃分如下：24小時降雨量（精確到）降雨等級小雨中雨大雨暴雨在一次降雨過程中，用一個側棱的三棱柱容器收集的24小時的雨水如圖所示，當側面水平放置時，水面恰好過的中點.則這24小時的降雨量的等級是（）A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨〖答案〗D〖解析〗設的面積為，底面水平放置時，液面高為，側面水平放置時，水的體積為，當?shù)酌嫠椒胖脮r，水的體積為，于是，解得，所以當?shù)酌嫠椒胖脮r，液面高為，故降雨量等級為暴雨.故選：D.7.如圖，圓錐的底面直徑和高均為，過上一點作平行于底面的截面，以該截面為底面挖去一個圓柱，我們稱該圓柱為圓錐的內(nèi)接圓柱.則該圓錐的內(nèi)接圓柱側面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗圓錐軸截面如圖所示，設圓柱的底面半徑為，，由可知，，即，所以，故被挖去的圓柱的側面積為，當且僅當時取等號，即時，被挖去的圓柱的側面積最大值為．故選：C.8.在中，，點滿足，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，易知為等腰直角三角形且，取中點為，則，又點滿足，則點在直線上，所以，由，則，結合圖知，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求；全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知是兩條不同的直線，是平面，若，則的關系可能為（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.異面〖答案〗ABD〖解析〗如圖，在正方體中，若是平面，為，為，此時與平行，故A正確；在正方體中，若是平面，為，為，此時，故B正確；若，不可能與垂直和相交，故C錯誤；在正方體中，若是平面，為，為，此時與異面，故D正確.故選：ABD.10.的內(nèi)角的對邊分別為，下列結論正確的是（）A.若，則角B.存在，使成立C.若，則為等腰或直角三角形D.若，則有兩解〖答案〗ACD〖解析〗選項A：由正弦定理得：又余弦定理得故又故故選項A正確；選項B：因在中，故故選項B錯誤；選項C：當時，或即或故為等腰或直角三角形，故選項C正確；選項D：又則若，則有兩解正確，故選項D正確.故選：ACD.11.如圖，在正方體中，為棱上的動點，平面為垂足，下列結論正確的是（）A.B.三棱錐的體積為定值C.D.與所成的角為〖答案〗ABC〖解析〗對于A，在正方體中，連接，交于點，連接，則，又平面，平面，所以，因為平面，所以平面，又平面，所以，因為為的中點，所以在的中垂線上，所以，故A正確；對于B，在正方體中，平面，為棱上的動點，所以點到平面的距離即為到平面的距離，即為正方體的棱長，為定值，的面積為定值，所以三棱錐的體積為定值，又，所以三棱錐的體積為定值，故B正確；對于C，連接，則，又在正方體中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，故C正確；對于D，連接，在正方體中，且，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以即為與所成的角，又是正三角形，所以與所成的角為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知為共線向量，且，則__________.〖答案〗〖解析〗根據(jù)為共線向量，且，則，解得.故〖答案〗為：.13.在中，分別為的中點，交于點.若，，則__________.〖答案〗〖解析〗因為在中，、分別為、的中點，交于點，則為的重心，所以，由平面向量數(shù)量積的定義可得，故，，，又，由余弦定理可得．故〖答案〗為：．14.降維類比和升維類比主要應用于立體幾何的學習，將空間三維問題降為平面二維或者直線一維問題就是降維類比.平面幾何中多邊形的外接圓，即找到一點，使得它到多邊形各個頂點的距離相等.這個點就是外接圓的圓心，距離就是外接圓的半徑.若這樣的點存在，則這個多邊形有外接圓，若這樣的點不存在，則這個多邊形沒有外接圓.事實上我們知道，三角形一定有外接圓，如果只求外接圓的半徑，我們可通過正弦定理來求，我們也可以關注九年義教初中《幾何》第三冊第94頁例2.的結論：三角形外接圓的直徑等于兩邊的乘積除以第三邊上的高所得的商.借助求三角形外接圓的方法解決問題：若等腰梯形的上下底邊長分別為6和8，高為1，這個等腰梯形的外接圓半徑為__________；軸截面是旋轉體的重要載體，圓臺的軸截面中包含了旋轉體中的所有元素：高?母線長?底面圓的半徑，通過研究其軸截面，可將空間問題轉化為平面問題.觀察圖象，通過類比，我們可以找到一般圓臺的外接球問題的研究方法，正棱臺可以看作由圓臺切割得到.研究問題：如圖，正三棱臺的高為1，上?下底面邊長分別為和，其頂點都在同一球面上，則該球的體積為__________.〖答案〗5〖解析〗連接，由于且梯形的高，所以，因此，因此，，因此的外接圓半徑為，故，因此的外接圓半徑為，故，因此存在一點到四點距離相等，且距離為，即腰梯形的外接圓半徑為5，設棱臺上下兩個三角形的外接圓半徑分別為，由于上?下底面邊長分別為和，由正弦定理可得，因此圓臺的軸截面為等腰梯形，且其上下底邊長分別為6和8，高為1，根據(jù)第一問的結論可知，該圓臺的外接球半徑為5，故外接球的體積為.故〖答案〗為：5.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知是棱長為2的正方體.（1）求三棱錐的體積；（2）若是的中點，是的中點，證明：平面.解：（1）三棱錐由正方體截去四個全等的三棱錐而得，故.（2）因為為和的中點，在中，，平面，平面，所以平面.16.已知向量滿足，，且在上的投影向量為.（1）求及的值；（2）若，求的值.解：（1）因為，，且在上的投影向量為，所以，所以，所以，因為，所以.（2）因為，所以，即，得，解得．17.記的內(nèi)角的對邊分別為，若，且.（1）求及；（2）若點在邊上，且，求的面積.解：（1）由得：，，，，故，由于，所以，由正弦定理以及可得，所以.（2），，，，由于，，所以，解得或（舍去），所以.18.在平行四邊形中，分別為中點，將三角形沿翻折，使得二面角為直二面角后，得到四棱錐.（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）求與平面所成角的正弦值.解：（1）取中點，連接和，因