2023-2024學(xué)年四川省瀘州市龍馬潭區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，所以，所以.故選：D.2.已知是第二象限角，（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.故選：A.3.在平行四邊形中，為邊的中點(diǎn)，記，，則（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，可得，所以.故選：D．4.如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，那么可以是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，解得，對比選項(xiàng)可知只有，符合題意.故選：D.5.在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由余弦定理可得：，由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A.6.已知，，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，解得或，又，則，，.故選：B.7.如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將四面體補(bǔ)形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.8.已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，，則由題意可知：，由勾股定理可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，綜上可得，的最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是（）A.若，則z為實(shí)數(shù) B.若，則C.若，則的最大值為2 D.若，則z為純虛數(shù)〖答案〗AC〖解析〗設(shè)，則，若，即，即，則z為實(shí)數(shù)，故A正確；若，即，化簡可得，即，即，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，故B錯(cuò)誤；若，即，所以，即表示以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)，且表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為2，故C正確；若，即，，即，化簡可得，則且，此時(shí)可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知a，b，c滿足，且，則下列選項(xiàng)中恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗∵，且，∴，而b與0的大小關(guān)系不確定，∴，，均恒成立，而與的大小關(guān)系不確定.故選：ABC.11.如圖，在中，，，，過中點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)．將沿直線翻折至，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點(diǎn)，是直線上異于的任意一點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗依題意，將沿直線翻折至，連接，由翻折性質(zhì)可知，關(guān)于所沿軸對稱的兩點(diǎn)連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面，平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角，對于A選項(xiàng)，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項(xiàng)，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項(xiàng)，如下圖所示，設(shè)，中，，，在中，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把〖答案〗直接填在答題卡中的橫線上.）12.一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為，腰和上底長均為的等腰梯形，則原平面圖形的面積為___________.〖答案〗〖解析〗在直觀圖等腰梯形，，且，如下圖所示：分別過點(diǎn)、作，，垂足分別為點(diǎn)、，由題意可知，所以，，同理可得，因?yàn)?，，，則四邊形為矩形，所以，故，將直觀圖還原為原圖形如下圖所示：由題意可知，梯形為直角梯形，，，，，，因此，梯形的面積為.故〖答案〗為：.13.已知，則______．〖答案〗或〖解析〗因?yàn)?，所以，所以或，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.故〖答案〗為：或.14.已知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則在上的值域?yàn)開________．〖答案〗〖解析〗，向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則，，，，則在上的值域?yàn)?故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，與的夾角為．（1）求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，．解：（1）因?yàn)椋?，與的夾角為，則，所以，.（2）因?yàn)?，則，解得.16.已知.（1）化簡；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因?yàn)?，所以，?17.已知函數(shù)的一段圖象過點(diǎn)，如圖所示．（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域；（3）若，求的值.解：（1）由圖知，，則，由圖可得，在處最大值，又因?yàn)閳D象經(jīng)過，故，所以，故，又因?yàn)椋?，函?shù)又經(jīng)過，故，得，所以函數(shù)的表達(dá)式為．（2）由題意得，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，由，所以，所以，所?18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個(gè)法向量為，又平面的一個(gè)法向量為，所以，解得，又點(diǎn)C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點(diǎn)G，作，垂足為點(diǎn)F，連結(jié)，則，因?yàn)槠矫?，所以平面，為二面角的平面角，因?yàn)?，所以，由已知得，故，又，所以，因?yàn)椋甗方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得，對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得，①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得，②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得，如圖可知，即有，根據(jù)三角形相似知，點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．19.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的伴隨向量，同時(shí)稱函數(shù)為向量的伴隨函數(shù).（1）設(shè)函數(shù)，試求的伴隨向量的坐標(biāo)；（2）記向量的伴隨函數(shù)為，當(dāng)且時(shí)，求的值；（3）設(shè)向量，的伴隨函數(shù)為，的伴隨函數(shù)為，記函數(shù)，求在上的最大值.解：（1），所以.（2）依題意，由得，因?yàn)?，所以，所?（3）由題知，，所以，因?yàn)?，，所以，令，所以，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，因?yàn)楹瘮?shù)的對稱軸為，所以，當(dāng)，即時(shí)，的最大值在處取得，為；當(dāng)，即時(shí)，的最大值在處取得，為；當(dāng)，即時(shí)，的最大值在處取得，為；綜上，在上的最大值為.四川省瀘州市龍馬潭區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，，所以，所以.故選：D.2.已知是第二象限角，（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗cosα＝±＝±，又∵α是第二象限角，∴cosα＝－.故選：A.3.在平行四邊形中，為邊的中點(diǎn)，記，，則（）A B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖所示，可得，所以.故選：D．4.如果函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，那么可以是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意，解得，對比選項(xiàng)可知只有，符合題意.故選：D.5.在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由余弦定理可得：，由條件及正弦定理可得：，所以，則．故選：A.6.已知，，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，，，解得或，又，則，，.故選：B.7.如圖，在四面體中，平面，則此四面體的外接球表面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗將四面體補(bǔ)形成長方體，長方體的長?寬?高分別為、、，四面體的外接球即為長方體的外接球，而長方體的外接球的直徑等于長方體的體對角線長，設(shè)外接球的半徑為，故，所以外接球表面積為.故選：B.8.已知的半徑為1，直線PA與相切于點(diǎn)A，直線PB與交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若，則的最大值為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗如圖所示，，則由題意可知：，由勾股定理可得，當(dāng)點(diǎn)位于直線異側(cè)時(shí)或PB為直徑時(shí)，設(shè)，則：，，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)點(diǎn)位于直線同側(cè)時(shí)，設(shè)，則：，，則，當(dāng)時(shí)，有最大值，綜上可得，的最大值為.故選：A.二、多項(xiàng)選擇題（每小題6分，共3小題，共18分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)z，下列說法正確的是（）A.若，則z為實(shí)數(shù) B.若，則C.若，則的最大值為2 D.若，則z為純虛數(shù)〖答案〗AC〖解析〗設(shè)，則，若，即，即，則z為實(shí)數(shù)，故A正確；若，即，化簡可得，即，即，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)不一定滿足，故B錯(cuò)誤；若，即，所以，即表示以為圓心，以為半徑的圓上的點(diǎn)，且表示圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以的最大值為2，故C正確；若，即，，即，化簡可得，則且，此時(shí)可能為實(shí)數(shù)也可能為純虛數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知a，b，c滿足，且，則下列選項(xiàng)中恒成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗∵，且，∴，而b與0的大小關(guān)系不確定，∴，，均恒成立，而與的大小關(guān)系不確定.故選：ABC.11.如圖，在中，，，，過中點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)．將沿直線翻折至，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在線段上，連接交于點(diǎn)，是直線上異于的任意一點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)的軌跡的長度為D.直線與平面所成角的余弦值的最小值為〖答案〗BCD〖解析〗依題意，將沿直線翻折至，連接，由翻折性質(zhì)可知，關(guān)于所沿軸對稱的兩點(diǎn)連線被該軸垂直平分，故，又在平面內(nèi)的射影在線段上，所以平面，平面，所以，，平面，平面所以平面，平面，平面，平面，，，且即為二面角的平面角，對于A選項(xiàng)，由題意可知，為與平面所成的線面角，故由線面角最小可知，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，即為二面角的平面角，故由二面角最大可知，故B正確；對于C選項(xiàng)，恒成立，故的軌跡為以為直徑的圓弧夾在內(nèi)的部分，易知其長度為，故C正確；對于D選項(xiàng)，如下圖所示，設(shè)，中，，，在中，，，所以，設(shè)直線與平面所成角為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D正確．故選：BCD．三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分，把〖答案〗直接填在答題卡中的橫線上.）12.一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖，它是底角為，腰和上底長均為的等腰梯形，則原平面圖形的面積為___________.〖答案〗〖解析〗在直觀圖等腰梯形，，且，如下圖所示：分別過點(diǎn)、作，，垂足分別為點(diǎn)、，由題意可知，所以，，同理可得，因?yàn)椋?，，則四邊形為矩形，所以，故，將直觀圖還原為原圖形如下圖所示：由題意可知，梯形為直角梯形，，，，，，因此，梯形的面積為.故〖答案〗為：.13.已知，則______．〖答案〗或〖解析〗因?yàn)椋?，所以或，?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，.故〖答案〗為：或.14.已知將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則在上的值域?yàn)開________．〖答案〗〖解析〗，向左平移個(gè)單位長度后得到的圖象，則，，，，則在上的值域?yàn)?故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，，與的夾角為．（1）求；（2）當(dāng)為何值時(shí)，．解：（1）因?yàn)椋?，與的夾角為，則，所以，.（2）因?yàn)?，則，解得.16.已知.（1）化簡；（2）已知，求的值.解：（1）.（2）因?yàn)?，所以，?17.已知函數(shù)的一段圖象過點(diǎn)，如圖所示．（1）求函數(shù)的表達(dá)式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，得函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域；（3）若，求的值.解：（1）由圖知，，則，由圖可得，在處最大值，又因?yàn)閳D象經(jīng)過，故，所以，故，又因?yàn)椋?，函?shù)又經(jīng)過，故，得，所以函數(shù)的表達(dá)式為．（2）由題意得，，因?yàn)?，所以，則，所以，所以在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，由，所以，所以，所?18.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點(diǎn).（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點(diǎn)在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.解：（1）因?yàn)?，O是中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫?，平面平面，且平面平面，所以平?/p>