2024屆江蘇省宿遷市高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省宿遷市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榛?，所以或，所以，又，且，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.2.已知拋物線，點(diǎn)，則“”是“過(guò)且與僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條”的（）A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗過(guò)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，則當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)符合題意，此時(shí)直線為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，則，消去整理得，即有兩個(gè)不同的解，所以即，解得或，所以“”是“過(guò)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條”的充分條件.故選：A.3.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，因?yàn)闉樯掀婧瘮?shù)，所以.故選：A.4.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B.是的一個(gè)對(duì)稱中心C.在上值域?yàn)镈.將的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)〖解析〗式為〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)，對(duì)于A中，當(dāng)，可得，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得，所以，所以，即，所以C正確；對(duì)于D中，將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)〖解析〗式為，所以D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，．若，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，，所以在上的投影向量?故選：B.6.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.7.甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相鄰，且乙丙不相鄰，則不同排法共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種〖答案〗B〖解析〗甲乙捆綁在一起看成一個(gè)整體，與丙以外的2人全排列，有種，又因?yàn)橐冶幌噜?，所以把乙放入一共?種，所以一共有種，故選：B.8.若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，因是正三角形，則，又是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，則，，，平面，則平面，又平面，所以，而，則，顯然，由球的對(duì)稱性和正四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切，分別于，，有四邊形為正方形，設(shè)，又，，則球的半徑，又四棱錐的表面積為，由，解得，，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5對(duì)樣本數(shù)據(jù)（見(jiàn)表格），若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）123451A.B.當(dāng)時(shí)的殘差為C.樣本數(shù)據(jù)y的40百分位數(shù)為1D.去掉樣本點(diǎn)后，y與x的相關(guān)系數(shù)不會(huì)改變〖答案〗BD〖解析〗由，，所以樣本中心點(diǎn)為，對(duì)于A，將它代入，得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為，故B正確；對(duì)于C，樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由相關(guān)系數(shù)公式可知，，所以5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為：，去掉樣本中心點(diǎn)后相關(guān)系數(shù)為：，所以去掉樣本點(diǎn)后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不會(huì)改變，故D正確.故選：BD.10.在中，角所對(duì)的邊分別為．若，且邊上的中線長(zhǎng)為，則（）A. B.取值范圍為C.面積的最大值為 D.周長(zhǎng)的最大值為〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由，所以,所以，由正弦定理可得，因?yàn)椋?可得，化簡(jiǎn)得，又，.故A正確；對(duì)于B，設(shè)，，，根據(jù)題意，，，，化簡(jiǎn)得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，，，，即，故B正確；對(duì)于C，由B，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由前面選項(xiàng)，可得，且，，，即，令，由，得，解得，所以三角形周長(zhǎng)，則，令，解得，又，所以在上單調(diào)遞減，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知定義在上不為常數(shù)的函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，令，則，即，又函數(shù)不為常數(shù)，，即，故A正確；對(duì)于B，令，則，令，則，得，令，則，得，故B正確；對(duì)于C，令，則，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)，若，且，則______．〖答案〗1024〖解析〗根據(jù)題意，是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則，令，得，.13.表示不小于x的最小整數(shù)，例如，．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．記，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和______．〖答案〗〖解析〗由，可得，解得，又，得，解得，所以數(shù)列的公差為，，又，，同理，，，，，所以數(shù)列的前10項(xiàng)的和為.14.若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，的內(nèi)切圓的半徑為1，則的值為_(kāi)_____．〖答案〗4〖解析〗如圖，，所以，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某批零件一級(jí)品的比例約為，其余均為二級(jí)品．每次使用一級(jí)品零件時(shí)肯定不會(huì)發(fā)生故障，而在每次使用二級(jí)品零件時(shí)發(fā)生故障的概率為．某項(xiàng)任務(wù)需要使用該零件次（若使用期間出現(xiàn)故障則換一件使用）．（1）某零件在連續(xù)使用3次沒(méi)有發(fā)生故障的條件下，求該零件為一級(jí)品的概率；（2）當(dāng)時(shí)，求發(fā)生故障次數(shù)的分布列及期望．解：（1）記事件

“從這批產(chǎn)品中任取一件為一級(jí)品”，則，記事件

“使用零件次，沒(méi)有發(fā)生故障”，則，．則，所以．（2）依題意的可能取值為，，．所以，，，所以的分布列如下012所以．16.如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1）證明：連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，為半個(gè)圓柱上底面的直徑知，由，，知，，則，又四點(diǎn)共面，所以，由為直三棱柱的側(cè)面知，即，則，由為的中點(diǎn)得，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，，則平面，因?yàn)?，分別為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：（法一）以為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)，則，由平面平面知直線與平面所成角即為直線與平面所成角，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，則時(shí)，的最大值為．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．（法二）在直三棱柱中，底面，因?yàn)榈酌妫?，由?）知，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，過(guò)作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面平面，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，因?yàn)椤祝艺叫蔚倪呴L(zhǎng)為2，所以，則，又，要使值最大，則最小，在中，過(guò)作交于，由等面積可求出，此時(shí)．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．17.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的傾斜角是直線的傾斜角的2倍．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，是雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且恒有，是否存在定圓與直線相切？若存在，求出定圓的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)橹本€的傾斜角是直線的傾斜角的2倍，可得，所以，因?yàn)椋傻?，且，所以，解得或（舍去），又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，聯(lián)立方程組得或（舍去），所以雙曲線方程為：．（2）（ⅰ）若直線的斜率不存在，設(shè)方程為，因?yàn)?，再設(shè)，則，可得，由，聯(lián)立方程組，解得，可得原點(diǎn)到直線的距離為．（ⅱ）若直線的斜率存在，設(shè)方程為，又，設(shè)，則，即，則，（*）聯(lián)立方程組，整理得當(dāng)且，即且時(shí)，，代入（*）得，即（其中），原點(diǎn)到直線的距離為，綜合（?。áⅲ嬖谝栽c(diǎn)為圓心，半徑為的圓與直線相切，所求定圓的方程為．18.在數(shù)列中，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列滿足；①求證：數(shù)列是等差數(shù)列；②若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：．（1）解：因?yàn)?，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以n=1時(shí)，，所以數(shù)列是各項(xiàng)為0的常數(shù)列，即，所以．（2）①證明：由得所以(i)所以(ii)(i)-(ii)得：(iii)所以(iv)(iv)-(iii)得，所以即所以數(shù)列是等差數(shù)列．②解：當(dāng)時(shí)，由得，所以，又，故的公差為1，所以，所以，即．19.已知函數(shù)．（1）若曲線在處的切線的方程為，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)恒成立，求的取值范圍．解：（1）因?yàn)椋瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，由曲線在處的切線的方程為，得，所以，設(shè)，，所以函數(shù)是上的遞增函數(shù)，又，所以方程有唯一解，所以，，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，代入直線方程得．（2），定義域?yàn)?，，設(shè)，所以，所以在上遞減，又，，所以當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)遞減，所以函數(shù)的最大值，又，所以，所以，因?yàn)楹愠闪?，即恒成立，設(shè)，則，所以遞增，所以，即恒成立，因?yàn)樵谏线f減，且，所以只需恒成立，即，又，所以．江蘇省宿遷市2024屆高三下學(xué)期三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)榛颍曰?，所以，又，且，所以，所以?shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D.2.已知拋物線，點(diǎn)，則“”是“過(guò)且與僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條”的（）A.充分條件 B.必要條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗過(guò)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條，則當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)符合題意，此時(shí)直線為；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線為，則，消去整理得，即有兩個(gè)不同的解，所以即，解得或，所以“”是“過(guò)且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有3條”的充分條件.故選：A.3.已知函數(shù)為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，因?yàn)闉樯掀婧瘮?shù)，所以.故選：A.4.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間B.是的一個(gè)對(duì)稱中心C.在上值域?yàn)镈.將的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)〖解析〗式為〖答案〗C〖解析〗由函數(shù)，對(duì)于A中，當(dāng)，可得，此時(shí)函數(shù)不是單調(diào)函數(shù)，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，由，所以函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，所以B不正確；對(duì)于C中，由，可得，所以，所以，即，所以C正確；對(duì)于D中，將的圖象向右平移個(gè)單位，得到，再向下平移一個(gè)單位后所得圖象的函數(shù)〖解析〗式為，所以D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的向量分別為，．若，，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因?yàn)椋?，所以，，所以，所以，，所以在上的投影向量?故選：B.6.在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，其坐標(biāo)為，則（）A.函數(shù)的最大值為1B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1D.函數(shù)的最小值為1〖答案〗C〖解析〗AB選項(xiàng)，由題意可知，兩個(gè)函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個(gè)為導(dǎo)函數(shù)，則另外一個(gè)函數(shù)應(yīng)該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實(shí)線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯(cuò)誤，對(duì)于C，D，，由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯(cuò)誤.故選：C.7.甲、乙、丙等5人站成一排，甲乙相鄰，且乙丙不相鄰，則不同排法共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種〖答案〗B〖解析〗甲乙捆綁在一起看成一個(gè)整體，與丙以外的2人全排列，有種，又因?yàn)橐冶幌噜?，所以把乙放入一共?種，所以一共有種，故選：B.8.若一個(gè)多面體的各面都與一個(gè)球的球面相切，則稱這個(gè)球是這個(gè)多面體的內(nèi)切球．在四棱錐中，側(cè)面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，底面為矩形，且平面平面．若四棱錐存在一個(gè)內(nèi)切球，設(shè)球的體積為，該四棱錐的體積為，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，，，因是正三角形，則，又是矩形，有，而平面平面，平面平面，平面，平面，因此平面，平面，又，則平面，平面，則，，，平面，則平面，又平面，所以，而，則，顯然，由球的對(duì)稱性和正四棱錐的特征知，平面截四棱錐的內(nèi)切球得截面大圓，此圓是的內(nèi)切圓，切，分別于，，有四邊形為正方形，設(shè)，又，，則球的半徑，又四棱錐的表面積為，由，解得，，，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5對(duì)樣本數(shù)據(jù)（見(jiàn)表格），若已求得一元線性回歸方程為，則下列選項(xiàng)中正確的是（）123451A.B.當(dāng)時(shí)的殘差為C.樣本數(shù)據(jù)y的40百分位數(shù)為1D.去掉樣本點(diǎn)后，y與x的相關(guān)系數(shù)不會(huì)改變〖答案〗BD〖解析〗由，，所以樣本中心點(diǎn)為，對(duì)于A，將它代入，得，解得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，所以殘差為，故B正確；對(duì)于C，樣本數(shù)據(jù)的第40百分位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由相關(guān)系數(shù)公式可知，，所以5組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為：，去掉樣本中心點(diǎn)后相關(guān)系數(shù)為：，所以去掉樣本點(diǎn)后，與的樣本相關(guān)系數(shù)不會(huì)改變，故D正確.故選：BD.10.在中，角所對(duì)的邊分別為．若，且邊上的中線長(zhǎng)為，則（）A. B.取值范圍為C.面積的最大值為 D.周長(zhǎng)的最大值為〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由，所以,所以，由正弦定理可得，因?yàn)椋?可得，化簡(jiǎn)得，又，.故A正確；對(duì)于B，設(shè)，，，根據(jù)題意，，，，化簡(jiǎn)得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，，，，即，故B正確；對(duì)于C，由B，可得，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由前面選項(xiàng)，可得，且，，，即，令，由，得，解得，所以三角形周長(zhǎng)，則，令，解得，又，所以在上單調(diào)遞減，所以，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知定義在上不為常數(shù)的函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.〖答案〗ABD〖解析〗對(duì)于A，令，則，即，又函數(shù)不為常數(shù)，，即，故A正確；對(duì)于B，令，則，令，則，得，令，則，得，故B正確；對(duì)于C，令，則，所以，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，所以，則，又，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設(shè)，若，且，則______．〖答案〗1024〖解析〗根據(jù)題意，是二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則，令，得，.13.表示不小于x的最小整數(shù)，例如，．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．記，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和______．〖答案〗〖解析〗由，可得，解得，又，得，解得，所以數(shù)列的公差為，，又，，同理，，，，，所以數(shù)列的前10項(xiàng)的和為.14.若橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，的內(nèi)切圓的半徑為1，則的值為_(kāi)_____．〖答案〗4〖解析〗如圖，，所以，.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某批零件一級(jí)品的比例約為，其余均為二級(jí)品．每次使用一級(jí)品零件時(shí)肯定不會(huì)發(fā)生故障，而在每次使用二級(jí)品零件時(shí)發(fā)生故障的概率為．某項(xiàng)任務(wù)需要使用該零件次（若使用期間出現(xiàn)故障則換一件使用）．（1）某零件在連續(xù)使用3次沒(méi)有發(fā)生故障的條件下，求該零件為一級(jí)品的概率；（2）當(dāng)時(shí)，求發(fā)生故障次數(shù)的分布列及期望．解：（1）記事件

“從這批產(chǎn)品中任取一件為一級(jí)品”，則，記事件

“使用零件次，沒(méi)有發(fā)生故障”，則，．則，所以．（2）依題意的可能取值為，，．所以，，，所以的分布列如下012所以．16.如圖所示的幾何體是由等高的直三棱柱和半個(gè)圓柱組合而成，為半個(gè)圓柱上底面的直徑，，，點(diǎn)，分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）證明：平面平面；（2）若是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值的最大值．（1）證明：連接，由點(diǎn)為的中點(diǎn)，為半個(gè)圓柱上底面的直徑知，由，，知，，則，又四點(diǎn)共面，所以，由為直三棱柱的側(cè)面知，即，則，由為的中點(diǎn)得，所以四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，，則平面，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：（法一）以為一組空間正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，設(shè)，則，由平面平面知直線與平面所成角即為直線與平面所成角，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，則平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成角為，則，又，則時(shí)，的最大值為．所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為．（法二）在直三棱柱中，底面，因?yàn)榈酌?，所以，由?）知，，所以，又平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?，過(guò)作交于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又平面平面，則直線與平面所成角即為直線與平面所成角，因?yàn)椤?，且正方形的邊長(zhǎng)為2，所以，則，又，要使值最大，則最小，在中，過(guò)作交于，由等面積可求出，此時(shí)．所以直線