【易錯專訓】12 三角形相似的性質(zhì)（解析版）

【突破易錯·沖刺滿分】2021-2022學年九年級數(shù)學上冊期末突破易錯挑戰(zhàn)滿分（北師大版）易錯12三角形相似的性質(zhì)【易錯1例題】三角形相似的性質(zhì)1-1．（2021·上海交通大學附屬第二中學九年級月考）已知兩個相似三角形的面積之比是1：16，那么這兩個三角形的周長之比是______．【答案】1：4【分析】由兩個相似三角形的面積比是1：16，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，相似三角形的周長比等于相似比，即可求得答案．【詳解】兩個相似三角形的面積比是1：16，這兩個三角形的相似比是1：4，這兩個三角形的周長之比是1：4，故答案為：1：4【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．1-2．（2021·沈陽市第七中學九年級月考）如圖，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面積是1，則四邊形DBCE的面積是___．【答案】3【分析】根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方，求出△ADE與△ABC的面積比，計算得到答案．【詳解】解：∵△ADE與△ABC的相似比為1：2，∴△ADE與△ABC的面積比為1：4．∴△ADE與四邊形DBCE的面積比為1：3．∵△ADE的面積是1，∴四邊形DBCE的面積是3．故答案為：3．【點睛】本題考查的是相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．1-3．（2021·福建永春·九年級學業(yè)考試）如圖，在平行四邊形中，的平分線交AC于點E，交AD于點F，交CD的延長線于點G，若，則的值為____．【答案】【分析】由，可以假設(shè)，則，，證明，，再利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】解：設(shè)，∵，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)．【易錯2例題】三角形相似測高2．（2021·陜西碑林·交大附中分校九年級模擬預(yù)測）已知不等臂蹺蹺板AB長為3米，當AB的一端點A碰到地面時，（如圖1）點B離地高1.5米；當AB的另一端點B碰到地面時，（如圖2）點A離地高1米，求蹺蹺板AB的支撐點O到地面的距離為多少米？【答案】蹺蹺板AB的支撐點O到地面的距離為0.6米．【分析】過點B作BN⊥AH于點N，AM⊥BH于點M，直接利用相似三角形的判定與性質(zhì)分別得出，，即可得出答案．【詳解】解：如圖所示：過點B作BN⊥AH于點N，AM⊥BH于點M，可得HO∥BN，則△AOH∽△ABN，故，∵AB長為3米，BN長為1.5米，∴，∴同理可得：△BOH∽△BAM，則，∵AB長為3米，AM長為1米，∴，即∴OH＝0.6，答：蹺蹺板AB的支撐點O到地面的距離為0.6米．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，正確得出比例式，建立方程是解題關(guān)鍵．【專題訓練】選擇題1．（2021·鄭州中原一中實驗學校九年級月考）已知△ABC和△DEF滿足==，且∠A=70°，∠B=60°，則∠F=（）A．60° B．50° C．70° D．60或50°【答案】B【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求得的大小，根據(jù)題意==，可得△ABC△DEF，進而可得，即可求得的大?。驹斀狻俊螦=70°，∠B=60°，，==，△ABC△DEF，故選B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2021·上海市金山初級中學九年級月考）已知兩個相似三角形的相似比為1：4，則它們的對應(yīng)高的比為（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【答案】B【分析】直接利用相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：因為兩個相似三角形的相似比為，所以則這兩個三角形的對應(yīng)高的比為．故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)：相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等．相似三角形（多邊形）的周長的比等于相似比；相似三角形的對應(yīng)線段（對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、對應(yīng)邊上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面積的比等于相似比的平方．3．（2021·上海市金山初級中學九年級月考）已知小麗同學身高1.5米，經(jīng)太陽光照射，在地面的影長為2米，她此時測得一建筑物在同一地面的影長為40米，那么這個建筑物的高為（）A．30米 B．40米 C．50米 D．60米【答案】A【分析】在同一時刻物高和影長成正比，即在同一時刻的兩個物體，影子，經(jīng)過物體頂部的太陽光線三者構(gòu)成的兩個直角三角形相似．【詳解】解：根據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，設(shè)建筑物的高度為米，則可列比例為：，解得：，故選：A．【點睛】此題主要考查了相似三角形的應(yīng)用，利用同一時刻物高和影長成正比得出是解題關(guān)鍵．4．（2021·大連市第三十四中學九年級月考）如圖，在平行四邊形中，點在邊上，，交于點，若，則（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】通過平行四邊形的性質(zhì)可以得到且，進而得到，再通過，得到，最后由相似三角形的面積比等于相似比的平方得出答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴且，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故選D．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟記相似三角形的面積比等于相似比的平方．5．（2021·山東省濟南第二十中學九年級月考）如圖，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一邊在BC上，點E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AD交EF于點N，則AN的長為（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【分析】設(shè)正方形EFGH的邊長EF=EH=x，證明四邊形EHDN是矩形，則DN=x，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出EFBC，推出△AEF∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可得解．【詳解】解：設(shè)正方形EFGH的邊長EF=EH=x，∵四邊EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°，EFBC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四邊形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∵△AEF∽△ABC，∴，∵BC=120，AD=60，∴AN=60-x，∴，解得：x=40，∴AN=60-x=60-40=20．故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．二、填空題6．（2021·上海市金山初級中學九年級月考）如圖，在△ABC中，點D、E分別在△ABC的邊AB、AC上，DE∥BC，AD＝5，DB＝4，則DE：BC＝___．【答案】5：9【分析】首先根據(jù)DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出，進而得即可求解．【詳解】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，∴∵AD＝5，DB＝4，∴則DE：BC＝5：9．故答案為：5：9．【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出△ADE∽△ABC是解題關(guān)鍵．7．（2021·江蘇江陰·南閘實驗學校九年級月考）若三角形三邊之比為3：6：7，與它相似的三角形的最長邊為14cm，則此三角形周長為____．【答案】32cm【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，依題意設(shè)這個三角形三邊為3x，6x，7x，可求其他兩邊分別是6cm，12cm，可求與它相似的三角形周長．【詳解】解：∵三角形三邊之比為3：6：7，∴與他相似的三角形的三邊之比也為3：6：7，設(shè)這個三角形三邊為3x，6x，7x，∵與它相似的三角形的最長邊為14cm，∴7x=14，則x=2，與它相似的三角形最長邊為14cm，那么其他兩邊分別是6cm，12cm，那么與它相似的三角形周長為6+12+14=32cm,故此三角形周長為32cm．故答案為：32cm．【點睛】本題考查相似三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是設(shè)出與它相似的三角形的三邊，利用最長邊構(gòu)造方程．8．（2021·全國九年級單元測試）如圖，與相交于點，點在上，且，若，，則的長為________.【答案】【分析】證明、，得到，代入計算得到答案．【詳解】解：，，，，，，，，解得，，故答案為：6．【點睛】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理．9．（2021·上海市金山初級中學九年級月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E是DC中點，BE與AC相交于點O，如果△EOC的面積是2cm2，那么△ABC的面積是___cm2．【答案】12【分析】首先證明，，利用等高模型解決問題即可．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，∴，，，，的面積是2，的面積為4，的面積為8，的面積為．故答案為12．【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．10．（2021·溫州市實驗中學九年級月考）如圖，在△ABC中，中線AD，BE相交于點F．EG∥BC交AD于點G，若△BDF的面積為2，則△AGE的面積為____________．【答案】1.5．【分析】根據(jù)中線，相交于點，可得，，再根據(jù)，得，，，可得，即有，，再根據(jù)的面積為2，可知的面積為4，即有的面積為6，根據(jù)，得，計算即可得到結(jié)果．【詳解】解：中線，相交于點，∴，，∵∴，，，，∴，∴，即有，∴∵的面積為2，∴的面積為4，∴的面積為6，即有的面積為6，∵∴∴故答案：1.5．【點睛】本題考查了三角形中位線定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積關(guān)系等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題11．（2021·江蘇宜興·九年級月考）如圖，△ADE∽△ABC，AD＝3cm，AE＝2cm，CE＝4cm，BC＝9cm(1)求BD、DE的長；(2)求△ADE與△ABC的周長比．【答案】（1）BD=6，DE=3；（2）．【分析】（1）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，然后代入求解即可；（2）根據(jù)相似三角形周長比等于相似比求解即可．【詳解】解：（1）∵AE＝2cm，CE＝4cm，∴AC=AE+CE=2+4=6cm，∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AB=9，DE=3，∴BD=AB-AD=9-3=6；（2）∵△ADE∽△ABC，相似比=，∴△ADE與△ABC的周長比為．【點睛】此題考查了相似三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的性質(zhì)．相似三角形對應(yīng)邊成比例，相似三角形的周長比等于相似比．12．（2021·陜西新城·西安市西光中學九年級月考）晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長來測量一路燈D的高度．如圖，當李明走到點A處時，張龍測得李明直立時身高AM與其影子長AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點B處時，李明直立時身高BN的影子恰好是線段AB，并測得．已知李明直立時的身高為，求路燈的高CD的長．【答案】6.4m，過程見解析【分析】根據(jù)AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC得到MA∥CD∥BN，從而得到△ABN∽△ACD，根據(jù)EA=MA得到∠E=45°，進而得到△ECD為等腰直角三角形，得到EC=CD，利用相似三角形對應(yīng)邊的比相等列出比例式求解即可．【詳解】解：設(shè)CD長為x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，且△AME為等腰直角三角形，∴∠E=45°，∴△ECD為等腰直角三角形，∴EC=CD=x米，AC=EC-AE=EC-AM=x-1.6，∵BN∥CD，∴∠ANB=∠ADC，∠ABN=∠ACD=90°，∴△ABN∽△ACD，∴，代入數(shù)據(jù)：，解得：，答：路燈的高CD的長為6.4m．【點睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得到平行線，從而得到△ABN∽△ACD，同時根據(jù)EA=MA得到∠E=45°，進而得到EC=CD．13．（2021·鄭州中原一中實驗學校九年級月考）已知在△ABC中，D是邊AC上一點，∠CBD的角平分線交AC于點E，且AE=AB．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若AD=6，CD=4，求DE的長．【答案】（1）見解析；（2）DE=【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和外角等于不相鄰兩內(nèi)角和即可求得∠ABD＝∠C，可證明△ABD∽△ABC，即可得證；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，列出比例式代值求解即可．【詳解】（1）證明：是∠CBD的角平分線∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠C+∠CBE，∴∠ABD=∠C，∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；，（2）△ABD∽△ACB；，，AD=6，CD=4，解得（負值舍去）【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．14．（2021·安慶市石化第一中學九年級月考）如圖，AC、BD交于點E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．（1）求證：△AEB∽△CED；（2）若BC＝6，EC＝3，AE＝2，求AB的長．【答案】（1）見解析；（2）4．【分析】（1）證得∠D＝∠DBA，則結(jié)論得證；（2）由（1）可得，則AB的長可求出．【詳解】（1）證明：∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠D，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBA，∴∠D＝∠DBA，又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED；（2）解：∵△AEB∽△CED，∴，又∵BC＝CD＝6，EC＝3，AE＝2，∴，∴AB＝4．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．（2021·上海市實驗學校西校九年級月考）已知：如圖，點D、F在ABC的邊AB上，點E在邊AC上，且DEBC．（1）若AB＝6，BC＝4，BD＝2，求DE的長；（2）若，求證：EFDC．【答案】（1）；（2）見解析【分析】（1）根據(jù)，可得，根據(jù)比例式代入求值，進而可得；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論可得，結(jié)合已知條件即可證明，進而可得，進而判斷．【詳解】，，，，即，解得；（2），，，，又，，，．【