第19講銳角三角函數(shù)

第19講銳角三角函數(shù)考法一：銳角三角函數(shù)的概念1．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考中考真題）在中，，分別為的對邊，若，則的值為__________．【答案】【詳解】解：如圖所示：在中，由勾股定理可知：，，，，，，，即：，求出或（舍去），在中：，故答案為：．2．（2020·江蘇揚州·中考真題）如圖，工人師傅用扳手擰形狀為正六邊形的螺帽，現(xiàn)測得扳手的開口寬度，則螺帽邊長________cm．【答案】【詳解】解：如圖：作BD⊥AC于D由正六邊形，得∠ABC=120°，AB=BC=a，∠BCD=∠BAC=30°．由AC=3，得CD=．cos∠BCD==，即，解得a=，故答案為：．3．（2019·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)的圖像分別交、軸于點、，將直線繞點按順時針方向旋轉，交軸于點，則直線的函數(shù)表達式是__________．【答案】【詳解】因為一次函數(shù)的圖像分別交、軸于點、，則，，則．過作于點，因為，所以由勾股定理得，設，則，根據(jù)等面積可得：，即，解得．則，即，所以直線的函數(shù)表達式是．4．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值為1；（2）【詳解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過點D作于H．∵，∴．∴．5．（2021·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，中，，以點C為圓心，為半徑作，D為上一點，連接、，，平分．（1）求證：是的切線；（2）延長、相交于點E，若，求的值．【答案】（1）見解析；（2）【詳解】（1）∵平分，∴．∵，，∴．∴．∴，∴是的切線．（2）由（1）可知，，又，∴．∵，且，∴，∴．∵，∴．∵∴如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．

1．（2022·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D，在的網(wǎng)格中，A、B均為格點，以點A為圓心，以的長為半徑作弧，圖中的點C是該弧與網(wǎng)格線的交點，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，∵ABCD，∴∠BAC=∠ACD，∵∠ADC=90°，∴sin∠BAC=sin∠ACD=，故選：B．2．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，斜邊，直角邊，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：；故選：A．3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的頂點均在格點上，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：由圖可知：，故選：C．4．（2022·江蘇揚州·統(tǒng)考二模）如圖1，在銳角三角形ABC中，點D在邊BC上，過點D分別作線段AC，AB的垂線，垂足為點E、F．如果，那么我們把AD叫做△ABC關于的正平分線．(1)如圖2，，，，試說明AD為△ABC關于的正平分線；(2)如圖3，若AD為△ABC關于的正平分線，過點D作，,．①試說明：四邊形MNFD為正方形；②若，邊AB上的高為80，，求的正平分線AD的長．【答案】(1)見解析(2)①見解析；②．【詳解】（1）證明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠CED=∠BFD=90°，∴△CDE∽△BDF，∴，∵，∴，∴AD為△ABC關于的正平分線；（2）①∵，，．∴DM⊥MN，∴∠DMN=∠MNF=∠DFN=90°，∴四邊形DFNM是矩形，∵，∴∠CMD=∠CAB∴sin∠CAB=sin∠CMD，∴，∴DF=DM，∴四邊形MNFD為正方形；②過點C作CH⊥AB于H，交MD于G，∵，∴設DF=4x，則FB=3x，DM=4x，∵，∴△CMD∽△CAB，∴，∴，∴，解得x=12，∴DF=48，AF=ABFB=84，∴．5．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，中，，，點D為BC上一動點，，，點D關于直線EF的對稱點為H，連接HE、HF．(1)求的值；(2)若，求DE長；(3)連接DH，點D在運動過程中，求周長的最大值，并求出此時DE長．【答案】(1)10；(2)；(3)20，【詳解】(1)解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF是平行四邊形，∠BDE=∠C，∴DF=AE，DE=AF，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠B=∠BDE，∴DE=BE，∴；(2)設HF與AB交于點M，中，，設，，，則，∵DF∥AB，∴∠DFH=∠EMH=90°，∵由翻折可知，∠DFE=∠EFH，∴∠EFH=45°，∴，∴，解得，∴；(3)如圖，故當∠AFE=∠DEF=90°時，D、E、H共線，△DFH的周長最大，為20，中，，設，，則，，得，∴．考法二：特殊角的銳角三角函數(shù)與銳角三角函數(shù)之間的關系1．（2017·江蘇徐州·中考真題）如圖，AB與⊙O相切于點B，線段OA與弦BC垂直，垂足為，則_________．【答案】60°．【詳解】∵OA⊥BC，BC=2，∴根據(jù)垂徑定理得：BD=BC=1．在Rt△ABD中，sin∠A=．∴∠A=30°．∵AB與⊙O相切于點B，∴∠ABO=90°．∴∠AOB=60°．2．（2022·江蘇鹽城·統(tǒng)考中考真題）．【答案】3【詳解】解：．3．（2022·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）計算：4°．【答案】2【詳解】解：4．（2021·江蘇宿遷·統(tǒng)考中考真題）計算：4sin45°【答案】1【詳解】解：原式．5．（2020·江蘇連云港·中考真題）筒車是我國古代利用水力驅動的灌溉工具，唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道：“水能利物，輪乃曲成”．如圖，半徑為的筒車按逆時針方向每分鐘轉圈，筒車與水面分別交于點、，筒車的軸心距離水面的高度長為，筒車上均勻分布著若干個盛水筒．若以某個盛水筒剛浮出水面時開始計算時間．

（1）經(jīng)過多長時間，盛水筒首次到達最高點？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距離水面多高？（3）若接水槽所在直線是的切線，且與直線交于點，．求盛水筒從最高點開始，至少經(jīng)過多長時間恰好在直線上．（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒【詳解】（1）如圖1，由題意得，筒車每秒旋轉．連接，在中，，所以．所以（秒）．答：盛水筒首次到達最高點所需時間為27.4秒．

（2）如圖2，盛水筒浮出水面3.4秒后，此時．所以．過點作，垂足為，在中，．．答：此時盛水筒距離水面的高度．（3）如圖3，因為點在上，且與相切，所以當在直線上時，此時是切點．連接，所以．在中，，所以．在中，，所以．所以．所以需要的時間為（秒）．答：從最高點開始運動，7.6秒后盛水筒恰好在直線上．1.利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°2.當角度在0°＜∠A＜90°之間變化時，

①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小)，

②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大)．

3.銳角三角函數(shù)之間的關系(1)互余關系：，；

(2)平方關系：；

(3)倒數(shù)關系：或；

(4)商數(shù)關系：．

1．（2019·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＞∠B，則下列結論正確的是(

)A．sinA＜sinB B．cosA＜cosBC．tanA＜tanB D．sinA＜cosA【答案】B【詳解】∵∠C＝90°，，∴可令．A.，所以，故該選項錯誤；B.，所以，故該選項正確；C.，所以，故該選項錯誤；D.，所以，故該選項錯誤；故選：B．2．（2022·江蘇南京·統(tǒng)考二模）如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，點C為OA的中點，點D在上且CD//OB，則∠ABD=______．【答案】30°【詳解】解：連接DO，∵∠AOB=90°，C為OA的中點，∴2CO=DO，∵sin∠CDO=，∴∠CDO=30°，∴∠COD=60°，根據(jù)圓周角定理可得：∠ABD=30°．故答案為：30°．3．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）計算：．【答案】【詳解】解：．4．（2022·江蘇鹽城·?？既＃┯嬎悖海敬鸢浮俊驹斀狻?．（2022·江蘇連云港·校考一模）將正方形ABCD繞點A逆時針旋到正方形AEFG．(1)如圖1，當0°＜＜90°時，EF與CD相交與點H．求證：DH＝EH；(2)如圖2，當0°＜＜90°，點F、D、B正好共線時，①求∠AFB度數(shù)；②若正方形ABCD的邊長為1，求CH的長：(3)連接DE，EC，F(xiàn)C．如圖3，正方形AEFG在旋轉過程中，是否存在實數(shù)m使AE2＝DE2＋mFC2－EC2總成立？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析；(2)②；②；(3)存在，【詳解】(1)如圖，連接，正方形ABCD繞點A逆時針旋得到正方形AEFG，，，，(2)①如圖，連接，交于點，連接，，正方形ABCD繞點A逆時針旋到正方形AEFG，，，，，點F、D、B共線，，，，②如圖，過點作，交于點，交于點，則四邊形是矩形，，，，，，，，是等邊三角形，，，，由（1）可得，設，則，中，，即，解得，，，(3)存在，，理由如下，如圖，連接，過點作，交于點，交于，正方形是由正方形旋轉而成，，四邊形是矩形，四邊形是矩形，是直角三角形，即AE2＝DE2＋mFC2－EC2考法三：解直角三角形1．（2022·江蘇南通·統(tǒng)考中考真題）如圖，B為地面上一點，測得B到樹底部C的距離為，在B處放置高的測角儀，測得樹頂A的仰角為，則樹高為___________m（結果保留根號）．【答案】【詳解】解：過點D作交于點E，如圖：則四邊形BCED是矩形，∴BC=DE，BD=CE，由題意可知：，，在中，，∴，∴，故答案為：2．（2022·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）如圖，湖邊、兩點由兩段筆直的觀景棧道和相連.為了計算、兩點之間的距離，經(jīng)測量得：，，米，求、兩點之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，，，）【答案】、兩點之間的距離約為94米【詳解】如圖，過點作，垂足為點，在中，∵，米，∴，，∴（米），（米），在中，∵，米，∴，∴（米），∴（米）.答：、兩點之間的距離約為94米.3．（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）小強在物理課上學過平面鏡成像知識后，在老師的帶領下到某廠房做驗證實驗.如圖，老師在該廠房頂部安裝一平面鏡MN，MN與墻面AB所成的角∠MNB=118°，廠房高AB=8m，房頂AM與水平地面平行，小強在點M的正下方C處從平面鏡觀察，能看到的水平地面上最遠處D到他的距離CD是多少?（結果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】【詳解】解：過M點作ME⊥MN交CD于E點，如下圖所示：∵C點在M點正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房頂AM與水平地面平行，AB為墻面，∴四邊形AMCB為矩形，∴MC=AB=8m，AB∥CM，∴∠NMC=180°∠BNM=180°118°=62°，∵地面上的點D經(jīng)過平面鏡MN反射后落在點C，結合物理學知識可知：∴∠NME=90°，∴∠EMD=∠EMC=90°∠NMC=90°62°=28°，∴∠CMD=56°，在Rt△CMD中，，代入數(shù)據(jù)：，∴，即水平地面上最遠處D到小強的距離CD是．4．（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）我市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立著一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點處測得阿育王塔最高點的仰角，再沿正對阿育王塔方向前進至處測得最高點的仰角，；小亮在點處豎立標桿，小亮的所在位置點、標桿頂、最高點在一條直線上，，．（注：結果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，）(1)求阿育王塔的高度；(2)求小亮與阿育王塔之間的距離．【答案】(1)；(2)【詳解】（1）在中，∵，∴．∵，∴．在中，由，得，解得．經(jīng)檢驗是方程的解答：阿育王塔的高度約為．（2）由題意知，∴，即，∴．經(jīng)檢驗是方程的解答：小亮與阿育王塔之間的距離約為．5．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）【知識再現(xiàn)】學完《全等三角形》一章后，我們知道“斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡稱HL定理）”是判定直角三角形全等的特有方法．【簡單應用】如圖（1），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E分別在邊AC、AB上．若CE＝BD，則線段AE和線段AD的數(shù)量關系是．【拓展延伸】在△ABC中，∠BAC＝（90°＜＜180°），AB＝AC＝m，點D在邊AC上．（1）若點E在邊AB上，且CE＝BD，如圖（2）所示，則線段AE與線段AD相等嗎？如果相等，請給出證明；如果不相等，請說明理由．（2）若點E在BA的延長線上，且CE＝BD．試探究線段AE與線段AD的數(shù)量關系（用含有a、m的式子表示），并說明理由．【答案】【簡單應用】AE＝AD；【拓展延伸】（1）相等，證明見解析；（2）AE﹣AD＝2AC?cos（180°﹣），理由見解析【詳解】簡單應用：解：如圖（1）中，結論：AE＝AD．理由：∵∠A＝∠A＝90°，AB＝AC，BD＝CE，∴Rt△ABD≌Rt△ACE（HL），∴AD＝AE．故答案為：AE＝AD．拓展延伸：（1）結論：AE＝AD．理由：如圖（2）中，過點C作CM⊥BA交BA的延長線于M，過點N作BN⊥CA交CA的延長線于N．∵∠M＝∠N＝90°，∠CAM＝∠BAN，CA＝BA，∴△CAM≌△BAN（AAS），∴CM＝BN，AM＝AN，∵∠M＝∠N＝90°，CE＝BD，CM＝BN，∴Rt△CME≌Rt△BND（HL），∴EM＝DN，∵AM＝AN，∴AE＝AD．（2）如圖（3）中，結論：AE﹣AD＝2m?cos（180°﹣）．理由：在AB上取一點E′，使得BD＝CE′，則AD＝AE′．過點C作CT⊥AE于T．∵CE′＝BD，CE＝BD，∴CE＝CE′，∵CT⊥EE′，∴ET＝TE′，∵AT＝AC?cos（180°﹣）＝m?cos（180°﹣），∴AE﹣AD＝AE﹣AE′＝2AT＝2m?cos（180°﹣）．1.在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.

2.在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.

設在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：

①三邊之間的關系：a2+b2=c2(勾股定理).

②銳角之間的關系：∠A+∠B=90°.

③邊角之間的關系：

，，，

，，.

④，h為斜邊上的高.

3.解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC

兩

邊兩直角邊(a，b)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，

∠B=90°－∠A，

一

邊

一

角一直角邊

和一銳角銳角、鄰邊

(如∠A，b)∠B=90°－∠A，

，銳角、對邊

(如∠A，a)∠B=90°－∠A，

，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，

，4.解直角三角形的應用解直角三角形的知識應用很廣泛，關鍵是把實際問題轉化為數(shù)學模型，善于將某些實際問題中的數(shù)量關系化歸為直角三角形中的邊角關系是解決實際應用問題的關鍵.

解這類問題的一般過程是：

(1)弄清題中名詞、術語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學模型.

(2)將已知條件轉化為幾何圖形中的邊、角或它們之間的關系，把實際問題轉化為解直角三角形的問題.

(3)根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構造直角三角形)元素(邊、角)之間的關系解有關的直角三角形.

(4)得出數(shù)學問題的答案并檢驗答案是否符合實際意義，得出實際問題的解.

【拓展】

在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.

(2)仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

(3)方位角：從某點的指北方向線按順時針轉到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(4)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

【拓展】（1）解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

（2）非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉化為直角三角形或矩形來解.（3）解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關鍵弄清其中名詞術語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.1．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，.分別以點C，A為圓心，以2和3為半徑作弧，兩弧交于點D（點D在的左側），連接，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：，則，設，，由，可得，則，作，且，連接，，，由可知，，∵，即，∴，∴，即，則：，∴，∵，∴，即：，∴，∴，∴，∵，∴，由題意可知，，當、、在同一直線上時取等號，即：的最大值為：，故選：C．2．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，點是正五邊形的中心，過點作，垂足為，則下列四個選項中正確的為（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：連接，∵點是正五邊形的中心，∴，∵，∴，在中，，∴，觀察四個選項，只有選項C符合題意，故選：C．3．（2022·江蘇無錫·模擬預測）如圖，在中，，，，點D是邊上一動點．連接，將沿折疊，點A落在處，當點在內(nèi)部（不含邊界）時，長度的取值范圍是_____．【答案】【詳解】解：∵，，，∴，當點落在上時，如圖，∵將沿折疊，點A落在處，∴，∵，∴，當點落在上時，如圖，過點D作于H，∵將沿折疊，點A落在處，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∴當點在內(nèi)部（不含邊界）時，長度的取值范圍為．4．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，是上一個動點，過點作，垂足為，連接，取中點，連接，則線段的最小值為____________．【答案】【詳解】解，在矩形中，建立平面直角坐標系，坐標原點為點B，如圖，過作于，交于，∵，，∴，，∴，∴，設，∴，，，，∴，∵點為的中點，∴，，∴，∵，∴當時，有最小值，最小值為，∴線段的最小值為．故答案為：．5．（2023·江蘇宿遷·統(tǒng)考一模）如圖，梯形是某水壩的橫截面示意圖，其中，壩頂，壩高，迎水坡的坡度為．(1)求壩底的長；(2)為了提高堤壩防洪抗洪能力，防汛指揮部決定在背水坡加固該堤壩，要求壩頂加寬，背水坡坡角改為．求加固總長5千米的堤壩共需多少土方？（參考數(shù)據(jù)：；結果精確到）【答案】(1)(2)加固總長5千米的堤壩共需土方【詳解】（1）解：過點作于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∵，∴四邊形是等腰梯形∴∴是等腰直角三角形∴，∴；（2）解：過點F作于G，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，∴，∴，∴加固總長5千米的堤壩共需土方：．一、單選題1．（2023秋·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期末）在中，，，，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：在中，，，，∴，∴，故選：C．2．（2022秋·江蘇無錫·九年級統(tǒng)考期末）某人沿著坡度為的山坡前進了米，則此人所在的位置升高了（）A．100米 B．米 C．50米 D．米【答案】A【詳解】解：如下圖所示，由題意可知，，，∴，設米，則米，∴，∴，解得米，即此人所在的位置升高了100米．故選：A．3．（2022春·江蘇·九年級專題練習）如圖，，平分，交于，交于，若，則等于（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【詳解】解：過D點作于G點，如圖，∵平分，，∴，又∵，∴，，∴，∴，∴是等腰三角形，∴，，在中，有，∴，∵，，∴，∴，故選：B．4．（2023秋·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）中，，，，的值為（

）A． B． C． D．2【答案】D【詳解】解：∵，，，∴，故選D．5．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A在x軸負半軸上，點，連接交y軸于點B．若，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：作軸于點D，則，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故選：C．6．（2023秋·江蘇淮安·九年級?？计谀┤鐖D，已知中，，D是上一點，，則的值為（

）A． B． C． D．3【答案】C【詳解】∵，，∴，∵，∴，∴，∴在中，，∴，故選：C．二、填空題7．（2023春·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考階段練習）如圖，在正方形網(wǎng)格中，的內(nèi)接的頂點均為格點，則的值為__________．【答案】【詳解】解：連接、，如圖所示：∵，∴，∴．故答案為：．8．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）如圖，一艘海輪位于燈塔的北偏東方向，距離燈塔的處，它沿正南方向航行一段時間后，到達位于燈塔的南偏東方向上的處．這時離燈塔的距離是_______．【答案】【詳解】解：作于C，則，，在中，，則，在中，，則，故答案為：．9．（2023秋·江蘇南通·九年級統(tǒng)考期末）在中，，則____．【答案】4【詳解】解：，，，．故答案為：4．10．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，則的值為____________．【答案】【詳解】解：設，在中，，∴，∴，故答案為：．11．（2023秋·江蘇南京·九年級南京外國語學校仙林分校?？计谀┤鐖D，弦是的內(nèi)接正六邊形的一邊，弦是的內(nèi)接正方形的一邊，若，則的半徑為___________．【答案】【詳解】解：連接、、，作于D，因為弦是的內(nèi)接正六邊形的一邊，所以，，；因為弦是的內(nèi)接正方形的一邊，所以，；所以，，所以，所以，，，因為，，，所以，，故答案為：．12．（2023秋·江蘇常州·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，，D是的中點，，垂足為E，連接．若，則___________．【答案】【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵D是的中點，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∵D是的中點，∴，∴，設，則，∴，∴，∴．故答案為：．三、解答題13．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）計算：．【答案】【詳解】解：14．（2023秋·江蘇揚州·九年級?？计谀┯嬎悖?1)；(2)．【答案】(1)0；(2)【詳解】（1）解：；（2）15．（2023秋·江蘇宿遷·九年級統(tǒng)考期末）在中，．求的長．【答案】，．【詳解】解：在中，，∴，∵，∴，∴，∴．16．（2023春·江蘇無錫·九年級校聯(lián)考期末）如圖，在中，是邊上的高，，，．(1)求的