(教師版)第12講不等式組的應(yīng)用-基礎(chǔ)

第12講不等式組的應(yīng)用

知識點1實際應(yīng)用類問題對具有多種不等關(guān)系的問題，應(yīng)考慮列一元一次不等式組，并求解．

一元一次不等式組的應(yīng)用主要是列一元一次不等式組解應(yīng)用題，其一般步驟：

（1）分析題意，找出不等關(guān)系；

（2）設(shè)未知數(shù)，列出不等式組；

（3）解不等式組；

（4）從不等式組的解集中找出符合題意的答案；

（5）作答．【典例】例1（2020春?防城港期末）自治區(qū)發(fā)展和改革委員會在2019年11月印發(fā)《廣西壯族自治區(qū)新能源汽車推廣應(yīng)用攻堅行動方案》，力爭到2020年底，全區(qū)新能源汽車保有量比攻堅行動前增長，達(dá)到14.6萬輛以上，某汽車專賣店銷售，兩種型號的新能源汽車．上周售出2輛型車和1輛型車，銷售額為62萬元；本周已售出3輛型車和2輛型車，銷售額為106萬元．（1）求每輛型車和型車的售價各為多少萬元．（2）甲公司擬向該店購買，兩種型號的新能源汽車共6輛，且型號車至少購買1輛，購車費不少于130萬元，則有哪幾種購車方案？【解答】解：（1）設(shè)每輛型車的售價為萬元，每輛型車的售價為萬元，依題意，得：，解得：．答：每輛型車的售價為18萬元，每輛型車的售價為26萬元；（2）設(shè)購買輛型車，則購買輛型車，依題意，得：，解得：，又是正整數(shù)，可以取1，2，3，共有三種購車方案，方案1：購買1輛型車，5輛型車；方案2：購買2輛型車，4輛型車；方案3：購買3輛型車，3輛型車．【方法總結(jié)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．例2（2020春?海淀區(qū)校級期末）某汽車租賃公司要購買轎車和面包車共10輛，其中轎車至少要購買3輛，轎車每輛12萬元，面包車每輛8萬元，公司可投入的購車款不超過100萬元；（1）符合公司要求的購買方案有幾種？請說明理由；（2）如果每輛轎車的日租金為250元，每輛面包車的日租金為150元，假設(shè)新購買的這10輛車每日都可租出，要使這10輛車的日租金不低于2000元，那么應(yīng)選擇以上哪種購買方案？【解答】解：（1）設(shè)公司購買輛轎車，則購買輛面包車，依題意，得：，解得：，又為正整數(shù)，可以取3，4，5，該公司共有3種購買方案，方案1：購買3輛轎車，7輛面包車；方案2：購買4輛轎車，6輛面包車；方案3：購買5輛轎車，5輛面包車．（2）依題意，得：，解得：，又，，公司應(yīng)該選擇購買方案3：購買5輛轎車，5輛面包車．【方法總結(jié)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【隨堂練習(xí)】1．（2020秋?三水區(qū)校級月考）現(xiàn)計劃把甲種貨物306噸和乙種貨物230噸運往某地．已知有、兩種不同規(guī)格的貨車共50輛，如果每輛型貨車最多可裝甲種貨物7噸和乙種貨物3噸，每輛型貨車最多可裝甲種貨物5噸和乙種貨物7噸．（1）裝貨時按此要求安排、兩種貨車的輛數(shù)，共有幾種方案？（2）使用型車每輛費用為600元，使用型車每輛費用800元．在上述方案中，哪個方案運費最省？最省的運費是多少元？（3）在（2）的方案下，現(xiàn)決定對貨車司機(jī)發(fā)共2100元的安全獎，已知每輛型車獎金為元．每輛型車獎金為元，．且、均為整數(shù)，求此次獎金發(fā)放的具體方案．【解答】解：（1）設(shè)安排種貨車輛，安排種貨車輛．由題意，解得，為整數(shù)，或29或30，或21或20，共有3種方案．（2）方案一：種貨車28輛，安排種貨車22輛，方案二：種貨車29輛，安排種貨車21輛，方案三：種貨車30輛，安排種貨車20輛，使用型車每輛費用為600元，使用型車每輛費用800元，，第三種方案運費最省，費用為（元．（3）由題意，，，，是整數(shù)，是3的倍數(shù)，．，，為3的倍數(shù)，，每輛型車獎金為40元．每輛型車獎金為45元．2．（2020春?廬陽區(qū)校級月考）某體育用品店準(zhǔn)備購進(jìn)甲，乙品牌乒乓球兩種，若購進(jìn)甲種乒乓球10個，乙種乒乓球5個，需要100元，若購進(jìn)甲種乒乓球5個，乙種乒乓球3個，需要55元．（1）求購進(jìn)甲，乙兩種乒乓球每個各需多少元？（2）若該體育用品店剛好用了1000元購進(jìn)這兩種乒乓球，考慮顧客需求，要求購進(jìn)甲種乒乓球的數(shù)量不少于乙種乒乓球數(shù)量的6倍，且乙種乒乓球數(shù)量不少于23個，那么該文具店共有哪幾種進(jìn)貨方案？（3）若該體育用品店銷售每只甲種乒乓球可獲利潤3元，銷售每只乙種乒乓球可獲利潤4元，在第（2）問的各種進(jìn)貨方案中，哪一種方案獲利最大？最大利潤是多少元？【解答】解：（1）設(shè)購進(jìn)每個甲種乒乓球需要元，購進(jìn)每個乙種乒乓球需要元，依題意，得：，解得：．答：購進(jìn)每個甲種乒乓球需要5元，每個乙種乒乓球需要10元．（2）設(shè)該文具店購進(jìn)個乙種乒乓球，則購進(jìn)個甲種乒乓球，依題意，得：，解得：，又為正整數(shù)，可以取23，24，25，該文具店共有3種進(jìn)貨方案，方案1：購進(jìn)154個甲種乒乓球，23個乙種乒乓球；方案2：購進(jìn)152個甲種乒乓球，24個乙種乒乓球；方案3：購進(jìn)150個甲種乒乓球，25個乙種乒乓球．（3）方案1獲得的利潤為（元，方案2獲得的利潤為（元，方案3獲得的利潤為（元．，方案1購進(jìn)154個甲種乒乓球，23個乙種乒乓球獲利最大，最大利潤是554元．知識點2表格圖形類問題在不等式組的應(yīng)用問題中，表格圖形類問題也是?？嫉闹攸c，與實際應(yīng)用問題類似，這類問題只是把一些條件用表格或者圖形的形式展示出來，在做題過程中，我們需要先轉(zhuǎn)換條件，再計算.【典例】例1（2020春?侯馬市期末）某愛心公司捐資購買了120噸物資打算運往山區(qū)，現(xiàn)有甲、乙兩種車型供選擇，每輛車的運載能力和運費如下表所示：（假設(shè)每輛車都滿載，但不超載）車型甲乙汽車運載量（噸輛）510汽車運費（元輛）400700（1）若全部物資都用甲、乙兩種車型來運送，需運費9100元，問分別需甲、乙兩種車型各幾輛？（2）公司計劃用甲、乙兩種車型同時參與運送，且總運費控制在8600元以內(nèi)，有幾種用車方案？每種用車方案各需要多少元？【解答】解：（1）設(shè)需甲種車型輛，乙種車型輛，依題意有，解得．故需甲種車型14輛，乙種車型5輛；（2）設(shè)需甲車型輛，乙車型輛，依題意有，解得，，，是正整數(shù)，，，需要（元；，，需要（元；故有兩種運送方案：①甲車型4輛，乙車型10輛，需要8600元；②甲車型2輛，乙車型11輛，需要8500元．【方法總結(jié)】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式組的應(yīng)用，將現(xiàn)實生活中的事件與數(shù)學(xué)思想聯(lián)系起來，讀懂題意列出方程和不等式即可求解．例2（2020春?新賓縣期末）列方程組或不等式解決實際問題某汽車專賣店銷售，兩種型號的新能源汽車，上周和本周的銷售情況如下表：時間型號型型銷售額上周1輛2輛70萬元本周3輛1輛80萬元（1）每輛型車和型車的售價各為多少萬元？（2）甲公司擬向該店購買，兩種型號的新能源汽車共7輛，且型號車不少于2輛，購車費不少于154萬元，則有哪幾種購車方案？【解答】解：（1）設(shè)每輛型車的售價為萬元，型車的售價為萬元，依題意，得：，解得：．答：每輛型車的售價為18萬元，型車的售價為26萬元．（2）設(shè)購進(jìn)型車輛，則購進(jìn)型車輛，依題意，得，解得：，為整數(shù)，或3．有兩種購車方案：購進(jìn)型車2輛，則購進(jìn)型車5輛；購進(jìn)型車3輛，則購進(jìn)型車4輛．答：有兩種購車方案：購進(jìn)型車2輛，則購進(jìn)型車5輛；購進(jìn)型車3輛，則購進(jìn)型車4輛．【方法總結(jié)】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用以及一元一次不等式組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組．【隨堂練習(xí)】1．（2020春?濟(jì)源期末）某校為做好初三年級復(fù)課工作，積極準(zhǔn)備防疫物資，計劃從某藥房購買一批消毒液和酒精，已知兩次購買同一種藥品的價格相同，在這家藥房購買消毒液和酒精的數(shù)量和費用，如表所示：消毒液（瓶數(shù)）酒精（瓶數(shù)）購進(jìn)所需總費用（元第一次2420900第二次2018770（1）求消毒液和酒精每瓶的價格分別是多少元？（2）隨著防疫常態(tài)化，恰逢藥房實行促銷活動：實行全場8折銷售，學(xué)校決定趁此活動再儲備一批消毒液和酒精共180瓶，因防疫需要，要求消毒液的數(shù)量不少于酒精數(shù)量的2倍，總費用不超過3140元，問可以有幾種采購方案？請寫出方案，并說明理由．【解答】解：（1）設(shè)每瓶消毒液的價格為元，每瓶酒精的價格為元，依題意，得：，解得：．答：每瓶消毒液的價格為25元，每瓶酒精的價格為15元．（2）設(shè)購買消毒液瓶，則購買酒精瓶，依題意，得：，解得：．為正整數(shù)，可以為120，121，122，共有3種采購方案，方案1：購買消毒液120瓶，酒精60瓶；方案2：購買消毒液121瓶，酒精59瓶；方案3：購買消毒液122瓶，酒精58瓶．2．（2020春?安新縣期末）養(yǎng)牛場的李大叔分三次購進(jìn)若干頭大牛和小牛，其中有一次購買大牛和小牛的價格同時打折，其余兩次均按原價購買，三次購買的數(shù)量和總價如表：大牛（頭小牛（頭總價（元第一次439900第二次269000第三次678550（1）李大叔以折扣價購買大牛和小牛是第三次；（2）每頭大牛和小牛的原價分別為多少元？（3）如果李大叔第四次購買大牛和小牛共10頭（其中小牛至少一頭），仍按之前的折扣（大牛和小牛的折扣相同），且總價不低于8100元，那么他共有哪幾種購買方案？【解答】解：（1）第三次購買大牛和小牛的數(shù)量較多，但花費較少，所以李大叔以折扣價購買大牛和小牛是第三次；．故是打七折．故答案為：三．（2）設(shè)大牛的單價為元，小牛單價為元．根據(jù)題意得：，解得．故大牛的單價為1800元，小牛單價為900元．（3）設(shè)大牛買頭，小牛買頭．根據(jù)題意得：，解得：．所以或9．當(dāng)時，；當(dāng)時，；所以他共有兩種購買方案．方案一：大牛買8頭，小牛買2頭；方案二：大牛買9頭，小牛買1頭．知識點3新定義類問題【典例】例1（2020春?廬陽區(qū)校級月考）（附加題）按圖中程序進(jìn)行計算：規(guī)定：程序運行到“結(jié)果是否大于10”為一次運算．若運算進(jìn)行二次才停止，求出的取值范圍．【解答】解：依題意，得，解得．答：的取值范圍為．【方法總結(jié)】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．【隨堂練習(xí)】1．（2020春?貴池區(qū)期中）請同學(xué)們仔細(xì)觀察如圖所示的程序框圖，回答下列問題：如果要使開始輸入的的值經(jīng)過兩次運行才能輸出結(jié)果，那么的整數(shù)值為1，2．【解答】解：依題意，得：，解得：．又為整數(shù)，，2．故答案為：1，2．2．（2020?荊州）對非負(fù)實數(shù)“四舍五入”到個位的值記為，即當(dāng)為非負(fù)整數(shù)時，若，則．如，．若，則實數(shù)的取值范圍是．【解答】解：依題意得：解得．故答案是：．綜合運用1．（2020春?叢臺區(qū)校級期末）在抗擊新冠肺炎疫情期間，市場上防護(hù)口罩出現(xiàn)熱銷，某藥店售出一批口罩．已知3包兒童口罩和2包成人口罩共26個，5包兒童口罩和3包成人口罩共40個．（1）求兒童口罩和成人口罩的每包各是多少個？（2）某家庭欲購進(jìn)這兩種型號的口罩共5包，為使其中口罩總數(shù)量不低于26個，且不超過34個，①有哪幾種購買方案？②若每包兒童口罩8元，每包成人口罩25元，哪種方案總費用最少？【解答】解：（1）設(shè)兒童口罩每包個，成人口罩每包個，根據(jù)題意得，，解得，，兒童口罩每包2個，成人口罩每包10個；（2）①設(shè)購買兒童口罩包，則購買成人口罩包，根據(jù)題意得，，解得，，為整數(shù)，或，共有兩種購買方案：方案一：購買兒童口罩2包，則購買成人口罩3包；方案二：購買兒童口罩3包，則購買成人口罩2包．②方案一的總費用為：元；方案二的總費用為：元．，方案二的總費用最少．2．（2020春?古丈縣期末）2020年4月23日是第25個世界讀書日．為了感受閱讀的幸福，體味生命的真諦，分享讀書的樂趣，我縣某學(xué)校舉辦了“讓讀書成為習(xí)慣，讓書香飄滿校園”“閱讀夢飛翔”主題活動，為此特為每個班級訂購了一批新的圖書．七年級訂購《曾國藩家書》12套和“凡爾納三部曲”6套，總費用為810元；八年級訂購《曾國藩家書》9套和“凡爾納三部曲”7套，總費用為795元．（1）求《曾國藩家書》和“凡爾納三部曲”每套各是多少元？（2）學(xué)校準(zhǔn)備再購買《曾國藩家書》和“凡爾納三部曲”共26套，總費用不超過1230元，購買《曾國藩家書》的數(shù)量不超過“凡爾納三部曲”的3倍，問學(xué)校有幾種購買方案，請你設(shè)計出來．【解答】解：（1）設(shè)《曾國藩家書》每套元，“凡爾納三部曲”每套元，根據(jù)題意，得：，解得，答：《曾國藩家書》每套30元，“凡爾納三部曲”每套75元；（2）設(shè)學(xué)校決定購買《曾國藩家書》套，則購買“凡爾納三部曲”套．由題意，得，解得，，取整數(shù)，即，17，18，19，該學(xué)校共有四種購買方案：方案1：購買《曾國藩家書》16套，“凡爾納三部曲”為10套；方案2：購買《曾國藩家書》17套，“凡爾納三部曲”為9套；方案3：購買《曾國藩家書》18套，“凡爾納三部曲”為8套；方案4：購買《曾國藩家書》19套，“凡爾納三部曲”為7套．3．（2020?三明二模）某服裝店計劃購進(jìn)一批甲、乙兩種款式的運動服進(jìn)行銷售，進(jìn)價和售價如下表所示：運動服款式甲乙進(jìn)價（元套）80100售價（元套）120160若購進(jìn)兩種款式的運動服共300套，且投入資金不超過26800元．（Ⅰ）該服裝店應(yīng)購進(jìn)甲款運動服至少多少套？（Ⅱ）若服裝店購進(jìn)甲款運動服的進(jìn)價每套降