數(shù)學(xué)同步訓(xùn)練：和角公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第三章三角恒等變換3．1和角公式知識點(diǎn)一：兩角和與差的余弦1．cos45°cos15°＋sin15°sin45°的值為A。eq\f(\r(2），2）B.eq\f(\r(3),2）C．－eq\f（1,2)D．－eq\f（\r（2）,2）2．cosα＝eq\f(\r(5）,5），則cos(α－eq\f（π,4))的值為A。eq\f（3\r（10)，10）B．－eq\f（\r(10），10)C.eq\f(2\r（5）,5）D。eq\f（3\r(10）,10)或－eq\f(\r（10），10)3．若cos（α－β)＝eq\f（1，3），則(sinα＋sinβ)2＋（cosα＋cosβ）2＝__________。知識點(diǎn)二：兩角和與差的正弦4．若M＝sin13°cos17°＋cos13°sin17°,則M的值為A.eq\f（1，2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(\r(3)，2）D．以上均錯5．(2010福建高考，理1）計算sin43°cos13°－cos43°sin13°的結(jié)果等于A.eq\f(1，2)B.eq\f（\r（3),3）C.eq\f(\r（2）,2)D。eq\f（\r(3），2）6．已知eq\r（3）cosx－sinx＝－eq\f(6，5）,則sin(eq\f（π，3)－x)＝__________。7．在△ABC中，若sinAcosB＝1－cosAsinB，則△ABC一定是__________三角形．知識點(diǎn)三：兩角和與差的正切8．若tanα＝3，tanβ＝eq\f(4，3），則tan（α－β）等于A．－3B．－eq\f(1,3）C．3D。eq\f(1，3)9．tan10°tan20°＋eq\r(3）(tan10°＋tan20°）的值為A.eq\f（\r（3),3)B．1C。eq\r(3)D。eq\r(6）10．已知cosθ＝－eq\f（12，13）,θ∈（π,eq\f(3π,2)），求tan(θ－eq\f(π，4）)的值．能力點(diǎn)一：和角公式的基本應(yīng)用11．(2010課標(biāo)全國高考，文10)若cosα＝－eq\f(4，5），α是第三象限的角，則sin（α＋eq\f(π,4））等于A．－eq\f(7\r（2），10）B.eq\f(7\r（2）,10）C．－eq\f(\r(2）,10）D。eq\f（\r（2),10)12．sin(65°－x）cos(x－20°）＋cos（65°－x)cos（110°－x）的值為A。eq\r(2）B.eq\f(\r(2）,2)C.eq\f(1，2）D.eq\f（\r(3），2)13.eq\f（1＋tan15°,1－tan15°)的值為A。eq\r(3)B．1C.eq\f（\r(3)，3)D.eq\f(\r（2）,2）14．若函數(shù)f（x）＝（1＋eq\r(3）tanx）cosx,0≤x<eq\f(π，2)，則f(x)的最大值為A．1B．2C。eq\r(3)＋1D。eq\r（3)＋215．已知sinαcosβ＝1，則cos(α＋β）＝__________。16．已知α、β均為銳角,sinα＝eq\f（\r（5）,5)，cosβ＝eq\f(\r（10),10），求α－β的值．17．已知向量a＝（sinθ,－2)與b＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0,eq\f(π，2）)．(1）求sinθ和cosθ的值;(2）若sin（θ－φ）＝eq\f(\r(10),10），0<φ<eq\f(π,2）,求cosφ的值．

能力點(diǎn)二：和角公式的綜合應(yīng)用18．若a,b是非零實(shí)數(shù)，且eq\f(asin\f（π,5）＋bcos\f(π，5），acos\f(π,5）－bsin\f（π,5)）＝taneq\f（8π，15),則eq\f（b，a）＝__________。19．（2010全國高考Ⅰ,理14)已知α為第三象限的角，cos2α＝－eq\f（3,5)，則tan（eq\f(π，4）＋2α）＝________.20．在△ABC中，若sinA＝eq\f（3，5),cosΒ＝－eq\f(5，13），則sinC＝__________.21．已知函數(shù)f（x)＝－1＋2sin2x＋mcos2x的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（0,1），求此函數(shù)在［0，eq\f（π,2）]上的最值．22。在△ABC中，tanB＋tanC＋eq\r（3）tanBtanC＝eq\r(3)，且eq\r（3)tanA＋eq\r(3)tanB＋1＝tanAtanB,判斷△ABC的形狀．23．(2010四川高考，理19)（1)①證明兩角和的余弦公式C(α＋β)：cos（α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ;②由C（α＋β）推導(dǎo)兩角和的正弦公式S(α＋β）：sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ.（2)已知△ABC的面積S＝eq\f(1，2),eq\o(AB，\s\up6（→)）·eq\o（AC，\s\up6（→))＝3，且cosB＝eq\f(3，5）,求cosC。24．已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋φ）（A〉0,0〈φ〈π，x∈R）的最大值是1，其圖象經(jīng)過點(diǎn)M(eq\f(π，3)，eq\f（1，2)）．（1)求f(x）的解析式；（2）已知α,β∈（0,eq\f（π，2)),且f（α)＝eq\f（3,5)，f(β)＝eq\f（12,13），求f（α－β)的值．答案與解析基礎(chǔ)鞏固1．B2．D∵cosα＝eq\f（\r(5),5），∴sinα＝±eq\r(1－cos2α)＝±eq\f(2，5)eq\r(5)。∴cos（α－eq\f（π，4））＝cosαcoseq\f(π，4）＋sinαsineq\f(π，4)＝eq\f(\r（2)，2）(sinα＋cosα)＝eq\f(3,10)eq\r（10)或－eq\f（\r（10)，10）.3.eq\f（8，3)原式＝(sin2α＋sin2β＋2sinαsinβ)＋(cos2α＋cos2β＋2cosαcosβ)＝2＋2（sinαsinβ＋cosαcosβ）＝2＋2cos（α－β）＝2＋2×eq\f（1,3)＝eq\f(8,3）。4．A5．A∵sin43°cos13°－cos43°sin13°＝sin（43°－13°）＝sin30°＝eq\f(1，2）.∴選A。6．－eq\f（3,5）sin（eq\f(π,3）－x）＝sineq\f(π，3）cosx－coseq\f（π,3）sinx＝eq\f（\r（3），2)cosx－eq\f（1，2)sinx＝eq\f（1,2）×(－eq\f(6,5））＝－eq\f(3,5)。7．直角由條件得sinAcosB＋cosAsinB＝1，∴sin(A＋B)＝1,故sinC＝1.∴C＝eq\f(π,2）.8．D9．B∵tan(10°＋20°）＝eq\f（tan10°＋tan20°,1－tan10°·tan20°），∴tan30°(1－tan10°tan20°)＝tan10°＋tan20°，即eq\f(\r(3），3）（1－tan10°tan20°）＝tan10°＋tan20°.∴1－tan10°tan20°＝eq\r(3)(tan10°＋tan20°）,故原式＝1.10．解：∵cosθ＝－eq\f（12,13），θ∈(π,eq\f(3π,2）)，∴sinθ＝－eq\r(1－cos2θ)＝－eq\f（5,13）.∴tanθ＝eq\f(sinθ，cosθ)＝eq\f（5，12)。∴tan(θ－eq\f(π,4))＝eq\f(tanθ－tan\f（π，4),1＋tanθtan\f（π，4）)＝eq\f（\f（5,12）－1，1＋\f(5，12））＝－eq\f(7，17）。能力提升11．Asin（α＋eq\f(π，4））＝eq\f（1，\r（2)）(sinα＋cosα）＝eq\f（1,\r（2）)（－eq\f(4,5)－eq\f（3，5)）＝－eq\f（7\r（2)，10)。12．B原式＝sin(65°－x）·sin[90°－（x－20°)］＋cos(65°－x）·cos（110°－x）＝sin(65°－x）·sin(110°－x）＋cos(65°－x)·cos（110°－x)＝cos（110°－x－65°＋x）＝cos45°＝eq\f（\r(2），2).13．A原式＝eq\f（tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan（45°＋15°)＝eq\r(3）。14．Bf(x）＝cosx＋eq\r（3)sinx＝2×（eq\f(1,2）cosx＋eq\f(\r（3)，2)sinx)＝2sin(x＋eq\f(π，6））,∵0≤x〈eq\f（π，2)，∴eq\f（π,6)≤x＋eq\f(π,6）<eq\f(2π，3)。∴f(x)的最大值為2.15．0由sinαcosβ＝1知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinα＝1，,cosβ＝1））或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（sinα＝－1，,cosβ＝－1.）)∴α＝2k1π＋eq\f（π,2)，β＝2k2π或α＝2k1π＋eq\f（3π,2），β＝2k2π＋π（k1，k2∈Z）．∴α＋β＝2kπ＋eq\f（π,2）或（2k＋1)π＋eq\f（π,2)（k∈Z)．∴cos(α＋β）＝0。16．解：∵α、β均為銳角，sinα＝eq\f（\r（5)，5)，cosβ＝eq\f（\r（10），10），∴sinβ＝eq\f（3\r（10),10)，cosα＝eq\f(2\r（5），5）。∵sinα<sinβ,∴α〈β.∴－eq\f(π,2)〈α－β〈0.∴sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(\r（5)，5）×eq\f(\r(10)，10）－eq\f(2\r(5），5）×eq\f（3\r(10),10）＝－eq\f（\r(2）,2）.∴α－β＝－eq\f（π,4）。17．解:（1)∵a⊥b，則a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ,代入sin2θ＋cos2θ＝1,得sinθ＝±eq\f（2\r(5），5),cosθ＝±eq\f(\r(5），5)，又∵θ∈（0，eq\f(π,2）),∴sinθ＝eq\f（2\r(5）,5)，cosθ＝eq\f(\r（5),5)。(2）∵0<φ<eq\f(π,2)，0<θ<eq\f（π，2)，∴－eq\f（π,2)<θ－φ〈eq\f(π，2)。則cos(θ－φ）＝eq\r（1－sin2θ－φ）＝eq\f(3\r（10），10）,∴cosφ＝cos［θ－（θ－φ）]＝cosθcos(θ－φ）＋sinθsin（θ－φ)＝eq\f(\r（5）,5）×eq\f(3\r（10)，10)＋eq\f（2\r（5）,5）×eq\f(\r(10），10)＝eq\f（\r(2),2）。18.eq\r(3）由eq\f(asin\f(π，5)＋bcos\f（π，5）,acos\f(π，5）－bsin\f（π，5)）＝eq\f(tan\f(π,5）＋\f（b,a)，1－\f（b，a）tan\f（π,5)),及taneq\f(8π，15)＝tan(eq\f（π,5)＋eq\f(π,3)）＝eq\f（tan\f（π,5)＋tan\f(π,3）,1－tan\f(π，5）tan\f（π,3)）,∴eq\f（b,a)＝taneq\f(π，3)＝eq\r（3).19．－eq\f(1，7)∵α為第三象限的角，∴π＋2kπ<α〈eq\f（3π,2)＋2kπ，k∈Z?！?π＋4kπ〈2α<3π＋4kπ,k∈Z。又∵cos2α＝－eq\f(3,5)，∴2α為第二象限角．∴sin2α＝eq\r(1－－\f(3,5)2)＝eq\f（4，5）.∴tan2α＝eq\f(sin2α,cos2α)＝－eq\f（4，3).∴tan(eq\f(π，4)＋2α)＝eq\f(tan\f(π，4）＋tan2α，1－tan\f(π，4）tan2α）＝eq\f(1－\f(4，3)，1＋\f（4,3））＝－eq\f（1，7）。20。eq\f(33，65）∵cosB＝－eq\f（5,13),∴∠B為鈍角，且sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f（12,13）。又∵sinA＝eq\f(3,5)，∴cosA＝eq\r（1－sin2A）＝eq\f（4,5），sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋cosAsinB＝eq\f（33，65).21．解：∵A(0,1)在函數(shù)的圖象上，∴1＝－1＋2sin0＋mcos0,解得m＝2.∴f（x)＝－1＋2sin2x＋2cos2x＝2(sin2x＋cos2x)－1＝2eq\r（2)sin(2x＋eq\f（π，4））－1。∵0≤x≤eq\f(π,2)，∴eq\f(π,4）≤2x＋eq\f（π,4)≤eq\f（5π,4)?！啵璭q\f（\r（2）,2)≤sin(2x＋eq\f(π，4)）≤1.∴－3≤f(x）≤2eq\r（2）－1.∴函數(shù)f（x)在［0,eq\f（π,2)］上的最大值為2eq\r（2)－1，最小值為－3。22．解：由tanA＝tan［π－（B＋C）]＝－tan（B＋C)＝eq\f(tanB＋tanC，tanBtanC－1）＝eq\f（\r(3）－\r（3)tanBtanC,tanBtanC－1)＝－eq\r(3），而0°〈A<180°，∴A＝120°。由tanC＝tan［π－（A＋B）]＝eq\f(tanA＋tanB，tanAtanB－1）＝eq\f（tanA＋tanB,\r(3）tanA＋\r(3)tanB)＝eq\f（\r(3),3），而0°<C〈180°，∴C＝30°.∴B＝30°。∴△ABC是頂角為120°的等腰三角形．拓展探究23．解：（1）①如圖，在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，并作出角α，β與－β,使角α的始邊為Ox，交⊙O于點(diǎn)P1，終邊交⊙O于點(diǎn)P2；角β的始邊為OP2，終邊交⊙O于點(diǎn)P3，角－β的始邊為OP1，終邊交⊙O于點(diǎn)P4。則P1(1,0),P2(cosα，sinα),P3(cos（α＋β)，sin(α＋β)），P4(cos（－β），sin(－β）)．由P1P3＝P2P4及兩點(diǎn)間的距離公式，得［cos(α＋β）－1]2＋sin2（α＋β）＝[cos(－β）－cosα]2＋［sin（－β)－sinα］2，展開并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cosαcosβ－sinαsinβ)．∴cos(α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ。②由①易得，cos（eq\f(π，2)－α)＝sinα，sin（eq\f(π,2）－α)＝cosα。sin（α＋β）＝cos［eq\f（π,2）－（α＋β）］＝cos[（eq\f（π,2)－α）＋（－β）］＝cos(eq\f（π,2）－α）cos(－β)－sin（eq\f(π，2)－α)sin（－β）＝sinαcosβ＋cosαs