2025屆高三數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 第四講 平面向量的綜合應(yīng)用配套課件

第四講平面向量的綜合應(yīng)用2025年高考一輪總復(fù)習(xí)第五章

平面向量與復(fù)數(shù)1.向量在平面幾何中的應(yīng)用

平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長度、夾角等問題.設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ為實(shí)數(shù).

(1)證明線段平行或點(diǎn)共線問題，包括相似問題，常用共線向量定理：

a∥b

?a＝λb(b≠0)?x1y2－x2y1＝0. (2)證明垂直問題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)：

a⊥b

?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0. (3)求夾角問題，利用夾角公式：2.平面向量與其他數(shù)學(xué)知識的交匯

平面向量作為一種運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識結(jié)合.當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式.在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列的綜合問題.此類問題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì).考點(diǎn)一平面向量在平面幾何中的應(yīng)用圖5-4-1圖5-4-2【題后反思】用向量方法解決平面幾何問題的步驟平面幾何問題向量問題解決向量問題解決幾何問題.【變式訓(xùn)練】△ABC為()A.等邊三角形C.等腰三角形

B.直角三角形D.三邊均不相等的三角形答案：A考點(diǎn)二平面向量在解析幾何中的應(yīng)用

[例2]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)F(0，1)，直線l：y＝－1.P是平面上的動(dòng)點(diǎn)，過P作直線l的垂線，垂足為Q，且(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)記點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)F作直線m，與曲線C交于【題后反思】向量在解析幾何中的兩個(gè)作用

(1)載體作用：向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義、運(yùn)算脫去“向量外衣”，推導(dǎo)出曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離、斜率、夾角、軌跡、最值等問題.

(2)工具作用：利用a⊥b?a·b＝0(a，b為非零向量)，a∥b?a＝λb(b≠0)，可解決垂直、平行問題，特別地，向量垂直、平行的坐標(biāo)表示對于解決解析幾何中的垂直、平行問題常常是比較優(yōu)越的方法.

【變式訓(xùn)練】所以|QN|＝|QP|.由|MQ|＋|QP|＝|MP|＝4，可得|NQ|＋|QM|＝4，所以動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓.圖D25(2)如圖D26，直線l：y＝kx＋1與軌跡Γ相交于A，B兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)D，圖D26考點(diǎn)三平面向量在物理中的應(yīng)用

[例3](1)一物體在力F1＝(3，－4)，F(xiàn)2＝(2，－5)，F(xiàn)3＝(3，1)的共同作用下從點(diǎn)A(1，1)移動(dòng)到點(diǎn)B(0，5).在這個(gè)過程中三個(gè)力的合力所做的功等于________.即三個(gè)力的合力所做的功為－40.答案：－40

(2)如圖5-4-3所示，粗糙的水平地面上有一質(zhì)量為m的小木塊A，小木塊與桌面間的動(dòng)摩擦系數(shù)μ＝0.5.對小木塊施加一個(gè)向右上方的、大小恒為F的拉力，使木塊在地面上運(yùn)動(dòng).當(dāng)小木塊加速度最大時(shí)，拉力與水平面的夾角為θ，求tanθ的值.圖5-4-3解：如圖5-4-4所示，小木塊對地面的壓力的大小為mg－F·sinθ.圖5-4-4小木塊與桌面間的滑動(dòng)摩擦力的大小為μ(mg－F·sinθ)＝0.5(mg－F·sinθ).小木塊受到水平向右的合力的大小為

其中tanφ＝2.

當(dāng)小木塊受到水平向右的合力最大時(shí)，加速度最大，此時(shí)【題后反思】用向量方法解決物理問題的步驟①把物理問題中的相關(guān)量用向量表示；②轉(zhuǎn)化為向量問題的模型，通過向量運(yùn)算使問題解決；③結(jié)果還原為物理問題.

【變式訓(xùn)練】

(多選題)在日常生活中，我們會(huì)看到兩個(gè)人共提一個(gè)行李包的情況.假設(shè)行李包所受的重力為G，所受的兩個(gè)拉力分別為F1，F(xiàn)2，若|F1|＝|F2|且F1

與F2的夾角為θ，則以下結(jié)論正確的是()豎直方向沒有分力與重力平衡，不成立.所以θ∈[0，π)，B錯(cuò)誤.故選ACD.

答案：ACD⊙三角形的四“心”A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心同理PA⊥BC，PC⊥AB，所以P為△ABC的垂心.答案：D(2)O是平面上一定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，一定通過△ABC的()A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心菱形的基本性質(zhì)可知AP平分∠BAC，所以點(diǎn)P圖5-4-5的軌跡一定通過△ABC的內(nèi)心.答案：B定通過△ABC的()A.重心B.垂心C.內(nèi)心D.外心答案：B)通過△ABC的( A.重心 C.內(nèi)心

B.垂心D.外心∴P∈AM，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過△ABC的重心.答案：A【反思感悟】三角形各心的概念介紹【高分訓(xùn)練】1.點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn).的平行四邊形的對角線互相垂直.∴點(diǎn)P在線段AB的中垂線上，∴點(diǎn)P必過△ABC的外心.答案：垂心