巧用構(gòu)造法妙解代數(shù)題例析-國(guó)際應(yīng)用數(shù)學(xué)進(jìn)展

【摘要】代數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個(gè)專有名詞，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極其重要的地位，也是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要部分，該類題目抽象繁瑣，靈活多變，知識(shí)點(diǎn)環(huán)環(huán)相扣。本文從代數(shù)角度出發(fā)，通過分析近年中高考和初高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽以及各地模擬試題，歸納整理出幾種利用構(gòu)造法求解代數(shù)題的方法，希望這篇文章能對(duì)解決中學(xué)代數(shù)問題提供一些幫助。【關(guān)鍵詞】構(gòu)造；代數(shù)；轉(zhuǎn)化【收稿日期】2023年7月21日【出刊日期】2023年9月15日【DOI】10.12208/j.aam.20230015Skillfullyusetheconstructionmethodstosolvealgebraicproblems【Abstract】Algebraisaproperterminmathematics,anditplaysasignificantroleinmiddleandhighschoolmathematics.Itisalsothemainpartofjuniorandseniorschoolmathematicsstudy.Algebraproblemsareabstract,complicated,flexibleandchangeable.Theknowledgeofalgebraisalsointerlinked.Byanalyzingthejuniorandseniorschoolentranceexamination,themathematicscompetitionofmiddleandhighschoolandthesimulationtestquestionsfromdifferentregionsinrecentyears,thispapersumsupseveralmethodsofsolvingalgebraicproblemswiththeconstructionmethods.Ihopethisarticlecanprovidesomehelptosolvetheproblemsofmiddleandhighschoolalgebra.【Keywords】Construct;Algebra;Transform在中學(xué)數(shù)學(xué)中，知識(shí)點(diǎn)星羅棋布、繁星點(diǎn)點(diǎn)。初中代數(shù)包含代數(shù)式、實(shí)數(shù)、函數(shù)初步、不等式、方程、統(tǒng)計(jì)初步等知識(shí)，這與高中數(shù)學(xué)所包含的函數(shù)與幾何、基本初等函數(shù)、數(shù)列、統(tǒng)計(jì)與概率、基本不等式、復(fù)數(shù)、三角函數(shù)、導(dǎo)數(shù)與極限等知識(shí)有著緊密直接的聯(lián)系。構(gòu)造法在眾多代數(shù)難題和競(jìng)賽題中經(jīng)常見到它的身影，其靈活多變，思路巧妙，解法精湛，往往能將問題化繁為簡(jiǎn)。在利用構(gòu)造法求解一些難度較高的代數(shù)題時(shí)，應(yīng)先觀察題目特征、聯(lián)想相關(guān)知識(shí)、類比推理才能跳出題外，高屋建瓴，柳暗花明。反過來，學(xué)生在利用構(gòu)造法解決代數(shù)或?qū)嶋H問題的過程中，其建模能力、構(gòu)造能力也在潛移默化中得到提升，兩者相輔相成，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力。本文筆者圍繞幾種常見的構(gòu)造方法，探究構(gòu)造法在解代數(shù)題中的妙用，給讀者提供一些參考價(jià)值。1構(gòu)造法及其實(shí)質(zhì)構(gòu)造法，顧名思義，主要是依據(jù)已有的條件與結(jié)論之間的關(guān)系，進(jìn)行推理，構(gòu)造滿足題目結(jié)論的數(shù)學(xué)對(duì)象，并通過新構(gòu)造出來的數(shù)學(xué)對(duì)象高效、簡(jiǎn)便地解決較為復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的方法[1]。它具有直觀性、不確定性、多樣性、靈活性和可操作性。構(gòu)造法作為一種數(shù)學(xué)方法，它是將題設(shè)條件與待證結(jié)論搭建起一種溝通作用的具有創(chuàng)造性的方法。其本質(zhì)特征就是“構(gòu)造”，而利用構(gòu)造法求解代數(shù)題的關(guān)鍵在于根據(jù)題目需要構(gòu)造出與題設(shè)條件相關(guān)但沒有給出（或隱藏在題設(shè)條件中）的數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式、圖形或者命題等。2幾種常見的構(gòu)造方法2.1構(gòu)造方程方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系、聯(lián)系“已知”與“未知”的重要數(shù)學(xué)模型。它在解題中是一種重要的工具，在很多數(shù)學(xué)問題，通過觀察通過它們的數(shù)量關(guān)系，可以架起“已知”與“未知”的橋梁，建立起方程，從而使問題變得迎刃而解。例12002年湖北省武漢市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）已知x3+ax2+bx+8有兩個(gè)因式x+1和x+2，求a+b。+ax2+bx+8是一個(gè)3次3項(xiàng)式，因?yàn)轭}設(shè)條件告訴我們有兩個(gè)因式x+1和x+2，根據(jù)3次3項(xiàng)式的定義，我們不妨設(shè)另外一個(gè)因式為x+c，則有：x3+ax2+bx+8=(x+1)(x+2)(x+c)=x3+(c+3)x2+(3c+2x)+2c通過觀察等式兩邊可得,化簡(jiǎn)可求出a+b=21。2.2構(gòu)造函數(shù)函數(shù)作為一種重要的數(shù)學(xué)模型，不僅可以用來描述事物的變化情況，而且初高中的一個(gè)重要的概念和知識(shí)點(diǎn)，函數(shù)的思想和方法貫穿了中學(xué)的全部數(shù)學(xué)內(nèi)容，在中高考中起著舉足輕重的作用。構(gòu)造函數(shù)是指借助構(gòu)造輔助函數(shù)達(dá)到對(duì)某一種或某一類問題的求解的一種方法。若涉及到證明不等式、最值問題、求自變量的取值范圍等問題，我們往往傾向于構(gòu)造輔助函數(shù)，利用函數(shù)的定義域、單調(diào)性、奇偶性、值域、連續(xù)性、有界性等性質(zhì)加以分析判斷，合理地構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)并利用所構(gòu)造的函數(shù)特點(diǎn)和性質(zhì)來巧妙地解決問題。例2：已知f(x)=xlnx-ax，g(x)=-x2-2，試證，lnx+1>y=lnx+1-的單調(diào)性，進(jìn)而很難求出其最小值。我們不妨將不等式左右兩邊分開來進(jìn)行單獨(dú)分析，將問題轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)最值問題，分別求出左右兩邊函數(shù)的最值，然后再進(jìn)行判斷。證明：將不等式左右兩邊同時(shí)乘以x可得xlnx+x>:p(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間區(qū)間上單調(diào)遞增，于是，所以pmin>qmax，(0,+∞),p(x)≥p(x)min>q(x)max≥q(x)，故所證不等式成立。評(píng)注：該方法的思路分別對(duì)不等式左右兩邊的式子進(jìn)行處理，將較復(fù)雜的不等式兩邊分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，再通過進(jìn)行求導(dǎo)求出兩邊函數(shù)的最值進(jìn)而進(jìn)行判斷。但這種方法具有較強(qiáng)的局限性，需要保證不等式f(x)min>g(x)max成立，否則不易進(jìn)行判斷求證。2.3構(gòu)造不等式不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見的題型，作為一大分支，近幾年來，在新課改的背景下，各類不等式問題層出不窮，在中高考、數(shù)學(xué)競(jìng)賽中非常熱門，常常作為壓軸題出現(xiàn)，譬如導(dǎo)數(shù)、三角函數(shù)、最值問題，甚至在一些幾何證明題也會(huì)運(yùn)用到不等式的知識(shí)。靈活應(yīng)用不等式，就可以輕而易舉的解決大多數(shù)數(shù)學(xué)問題。一般不等式問題可以圍繞最值問題、不等式證明等來出題，針對(duì)此類問題，均值不等式、柯西不等式是研究此類問題的強(qiáng)有力的工具，也是求解各類最值問題和不等式證明問題的有效依據(jù)和方法。例3江蘇揚(yáng)州2022期末）已知x>0,y>0,且滿足x+y=1，求的最小值。當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)yx即x=5-2·,y=2-4取等號(hào)，評(píng)注：本題為利用基本不等式求解最值問題，關(guān)鍵就是利用已知條件構(gòu)造代數(shù)式將轉(zhuǎn)化為a+b≥2的形式，通過大膽嘗試，小心求證，我們將分式中的分子轉(zhuǎn)化x+2y+3x+3y進(jìn)而消去3得到再將此代數(shù)式與x+y相乘，構(gòu)造基本不等式從而簡(jiǎn)化問題得出最小值。yx由柯西不等式得：則a+b≤當(dāng)且僅當(dāng)b=2a,2a2+b2=5，則f(x)=+的最大值為。求a+b的最大值，此問題與柯西不等式具有相似的結(jié)構(gòu)特征，由此可聯(lián)想到柯西不等式來求解。2.4構(gòu)造數(shù)列根據(jù)題目要求構(gòu)建新的數(shù)列來求解問題的一種方法叫做構(gòu)造數(shù)列法。在繼高中學(xué)習(xí)基本初等函數(shù)后，數(shù)列的學(xué)習(xí)以等差數(shù)列和等比數(shù)列為主。數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其包含了很多的性質(zhì)，它既是數(shù)學(xué)知識(shí)中的一個(gè)重點(diǎn)，也是一個(gè)難點(diǎn)，高考的必考內(nèi)容。從已知條件出發(fā)，通過構(gòu)造數(shù)列可以解決求值問題、三角函數(shù)、證明不等式等問題。在此過程中，綜合應(yīng)用數(shù)列概念、性質(zhì)、等差中項(xiàng)、等比中項(xiàng)以及數(shù)列相加減等知識(shí)，對(duì)一些較為困難的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了合理的解決。本小節(jié)以高中知識(shí)為載體，通過構(gòu)造等差、等比數(shù)列去解一些代數(shù)問題，生動(dòng)形象地展現(xiàn)數(shù)學(xué)之美。例5：若c>0，a,b為非零實(shí)數(shù)且滿足4a2-2ab+4b2-c=0，當(dāng)i2a+b取最大值時(shí)，求-+的最小值。解：令2a+b=t，將2ab當(dāng)作等差數(shù)列中連續(xù)的三項(xiàng)，設(shè)其公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有，將其帶入4a2-2ab+4b2-c=0中，得6d2+3td+t2-c=0，根據(jù)題意易知一5元二次方程有實(shí)數(shù)解，則Δ=(3t)2-4×6(t2-c)≥0，解得t≤52-2因此，最小值為-2。評(píng)注：這是三元函數(shù)求最值問題，若采用常規(guī)方法求解，過程較為繁瑣，難度較大。通過觀察，可抓住題目中的條件2a+b，令2a+b=t，利用等差中項(xiàng)構(gòu)造等差數(shù)列，并用b來表示a和c，將問題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問題從而簡(jiǎn)化問題進(jìn)行求解。 2-12-1證明：本題所給條件及所證不等式中含有π這兩個(gè)特征。因?yàn)閍n>0，不妨考慮構(gòu)造數(shù)列an=tan，其中將其帶入化簡(jiǎn)可得=tan則 0以n-1=因?yàn)楫?dāng)時(shí)，有tanx>x，所以an=tan2.5構(gòu)造三角函數(shù)模型求代數(shù)式的值正弦定理和余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，它也是求解代數(shù)問題的好幫手。利用正弦、余弦定理“雙劍合璧”可以解決許多代數(shù)問題。在近幾年高考數(shù)學(xué)中，此部分重點(diǎn)考察其工具性和應(yīng)用性。當(dāng)代數(shù)或者方程具有與正余弦定理公式相似的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，利用正余弦定理，建立三角形模型進(jìn)行求解。這種方法簡(jiǎn)捷明快、思路巧妙、頗具新意。下面舉例說明。 例72021年中科大創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)班初試題）已知x2+y2=x2+z2+·3xz=y2+z2+yz=16，求 解：由已知條件可聯(lián)想到余弦定理，由16=42，可構(gòu)造一個(gè)邊長(zhǎng)為4的等邊三角形ΔABC，設(shè)P為ΔABC內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，連接PA，PB，PC，不妨設(shè)PA=x，PB=y，PC=z，在ΔPBC中，由y2+z2+yz=42，可得y2+z2-42=-yz，也即=-，評(píng)注：本題利用已知條件三個(gè)連等式，利用條件中16=42巧妙構(gòu)造等邊三角形，其中運(yùn)用到了勾股定理，余弦定理和三角形面積公式等知識(shí)一步步求出代數(shù)式的值，十分巧妙。22-證明：設(shè)ΔABC的三邊x,y,z的對(duì)應(yīng)角分別為A,B,C則：根據(jù)余弦定理可知整理就可得到。評(píng)注：本題構(gòu)造三角函數(shù)模型來解不等式，整個(gè)過程先利用三角恒等變換并“放縮”得到cosA+cosB+cosC≤再利用余弦定理最終得到不等式，整個(gè)過程充分體現(xiàn)了“構(gòu)造”的魅力。本題計(jì)算過程有些復(fù)雜，需有較厚的數(shù)學(xué)功底，計(jì)算時(shí)要認(rèn)真仔細(xì)。2.6構(gòu)造幾何圖形代數(shù)和幾何是數(shù)學(xué)中有機(jī)不可分割的部分，他們的結(jié)合為我們展現(xiàn)了一種新的力量，在求解代數(shù)問題中的“數(shù)形結(jié)合”，“以形助數(shù)”可謂是一道美麗的風(fēng)景線。有些代數(shù)題常以創(chuàng)新的嶄新形式出現(xiàn)，初見此類問題，我們常感到?jīng)]有思路，無從下手，較難洞悉問題的本質(zhì)[5]。此時(shí)如能仔細(xì)分析已知條件和求解的式子的特征，構(gòu)建幾何模型的方法，便能夠化繁為簡(jiǎn)，實(shí)現(xiàn)問題的解答。而運(yùn)用幾何圖形的關(guān)鍵是喚醒學(xué)生對(duì)代數(shù)式幾何意義的主觀感知，這就要求學(xué)生能夠全面、綜合、多方位地掌握數(shù)學(xué)的基本概念，能夠根據(jù)代數(shù)式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，用直觀的方式構(gòu)造出一種能夠把代數(shù)和幾何兩個(gè)部分聯(lián)系在一起的幾何圖形，下面舉例說明。的值域。解：原函數(shù)可變?yōu)檫@樣可視為動(dòng)點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離P點(diǎn)的軌跡為半圓x2+y2=1(0≤y≤1)，如圖1所示：過原點(diǎn)O作直線x-y+2=0的垂線，分別交半圓、直線于P、R兩點(diǎn)，易求的點(diǎn)。觀察函數(shù)圖象，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因?yàn)镻R=OR-OP=-1，則函數(shù)的值域?yàn)?，則函數(shù)y的值域?yàn)樵u(píng)注：本題以形助數(shù)，將函數(shù)的分子的常數(shù)項(xiàng)移到右這樣就可以看做是一動(dòng)點(diǎn)到直線x-y+2=0的距離，這樣我們就將求函數(shù)值域問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線距離問題，進(jìn)而簡(jiǎn)化問題進(jìn)行求解。解：將方程組化為 如圖2所示，構(gòu)造直角三角形ABC，設(shè)AB=·3，AC=1，BC=2，點(diǎn)O為三角形內(nèi)的一點(diǎn)，令OA=x，OC=y，OB=z，22評(píng)注：題干方程組為三元二次方程組不易求出各個(gè)未知數(shù)的值，但發(fā)現(xiàn)x,y,z均以二次形式出