2023-2024學(xué)年冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊24.3 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 教案

2023--2024學(xué)年冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊24.3一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系教案學(xué)校授課教師課時授課班級授課地點教具設(shè)計思路本節(jié)課以“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”為核心，基于冀教版九年級數(shù)學(xué)上冊24.3的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生通過實際例子觀察、探討一元二次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系。首先，復(fù)習(xí)一元二次方程的基本概念和解法，進(jìn)而引入根與系數(shù)的關(guān)系，以數(shù)學(xué)符號表達(dá)根與系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過小組合作、討論交流，讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—驗證—總結(jié)”的過程，發(fā)現(xiàn)并掌握一元二次方程的根與系數(shù)之間的規(guī)律，并能夠運用這一規(guī)律解決相關(guān)問題，強化學(xué)生的實際應(yīng)用能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已掌握一元二次方程的求解方法，包括直接開平方法、配方法、公式法等，并理解了判別式的概念及其與方程根的關(guān)系。

2.學(xué)生對數(shù)學(xué)問題具有一定的探究興趣，具備一定的邏輯思維能力和合作學(xué)習(xí)能力。他們對數(shù)學(xué)問題解決有一定的耐心，喜歡通過實際例子來理解和掌握抽象概念。

3.學(xué)生可能在理解根與系數(shù)關(guān)系的推導(dǎo)過程中遇到困難，尤其是在符號理解和代數(shù)變形方面。此外，將理論知識應(yīng)用到具體問題解決時，可能會出現(xiàn)不知如何下手的情況，對一元二次方程根的分布問題可能感到挑戰(zhàn)。教學(xué)資源1.硬件資源：多媒體教學(xué)設(shè)備、黑板、粉筆、學(xué)生練習(xí)本。

2.軟件資源：PPT課件、一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的教學(xué)動畫。

3.課程平臺：學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)、教室互動平臺。

4.信息化資源：電子課本、在線數(shù)學(xué)工具、數(shù)學(xué)教育軟件。

5.教學(xué)手段：小組合作、課堂討論、問題驅(qū)動教學(xué)、案例教學(xué)。教學(xué)實施過程1.課前自主探索

-教師活動：

發(fā)布預(yù)習(xí)任務(wù)：通過學(xué)校教學(xué)管理系統(tǒng)，發(fā)布關(guān)于一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的預(yù)習(xí)資料，明確預(yù)習(xí)目標(biāo)和要求。

設(shè)計預(yù)習(xí)問題：圍繞“一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系”，設(shè)計問題，如“一元二次方程的根與判別式有何關(guān)系？”

監(jiān)控預(yù)習(xí)進(jìn)度：通過平臺跟蹤學(xué)生的預(yù)習(xí)情況，確保學(xué)生理解預(yù)習(xí)內(nèi)容。

-學(xué)生活動：

自主閱讀預(yù)習(xí)資料：學(xué)生按照要求閱讀資料，初步理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系。

思考預(yù)習(xí)問題：學(xué)生嘗試回答預(yù)習(xí)問題，記錄疑問。

提交預(yù)習(xí)成果：學(xué)生將筆記、疑問等提交至教學(xué)管理系統(tǒng)。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生獨立思考能力。

信息技術(shù)手段：利用教學(xué)管理系統(tǒng)，實現(xiàn)資源共享和進(jìn)度監(jiān)控。

-作用與目的：

讓學(xué)生提前接觸課程難點，為課堂學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)習(xí)慣。

2.課中強化技能

-教師活動：

導(dǎo)入新課：通過實際案例引入一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，激發(fā)興趣。

講解知識點：詳細(xì)講解一元二次方程根與系數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)和推導(dǎo)過程。

組織課堂活動：設(shè)計小組討論，探討如何利用根與系數(shù)關(guān)系解決實際問題。

解答疑問：針對學(xué)生疑問，進(jìn)行個別或集體解答。

-學(xué)生活動：

聽講并思考：學(xué)生專心聽講，對講解內(nèi)容進(jìn)行思考。

參與課堂活動：學(xué)生積極參與小組討論，實際操作根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用。

提問與討論：學(xué)生提出疑問，參與課堂討論。

-教學(xué)方法/手段/資源：

講授法：確保學(xué)生理解一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的理論。

實踐活動法：通過小組討論，加強學(xué)生對知識點的應(yīng)用。

合作學(xué)習(xí)法：培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)隊合作和溝通能力。

-作用與目的：

加深學(xué)生對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的理解，突破重難點。

通過實踐活動，提升學(xué)生解決問題的能力。

3.課后拓展應(yīng)用

-教師活動：

布置作業(yè)：根據(jù)課堂內(nèi)容，布置相關(guān)作業(yè)，鞏固根與系數(shù)關(guān)系。

提供拓展資源：推薦相關(guān)數(shù)學(xué)書籍和在線資源，供學(xué)生深入研究。

反饋作業(yè)情況：及時批改作業(yè)，給予個性化反饋。

-學(xué)生活動：

完成作業(yè)：學(xué)生認(rèn)真完成作業(yè)，鞏固課堂所學(xué)。

拓展學(xué)習(xí)：利用拓展資源，加深對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的理解。

反思總結(jié)：學(xué)生自我反思，總結(jié)學(xué)習(xí)過程中的不足和收獲。

-教學(xué)方法/手段/資源：

自主學(xué)習(xí)法：鼓勵學(xué)生自主完成作業(yè)和拓展學(xué)習(xí)。

反思總結(jié)法：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評價和改進(jìn)。

-作用與目的：

鞏固學(xué)生對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的掌握。

培養(yǎng)學(xué)生的自我反思和自我管理能力。知識點梳理1.一元二次方程的概念與標(biāo)準(zhǔn)形式

-一元二次方程的定義：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程。

-一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式：ax^2+bx+c=0（a≠0）。

2.一元二次方程的求解方法

-直接開平方法：適用于形如x^2=p(p≥0)的一元二次方程。

-配方法：通過添加和減去同一個數(shù)，使方程轉(zhuǎn)化為完全平方形式，進(jìn)而求解。

-公式法：利用一元二次方程的求根公式，即x=(-b±√(b^2-4ac))/(2a)，求解方程。

3.判別式的定義與性質(zhì)

-判別式的定義：Δ=b^2-4ac。

-判別式的性質(zhì)：決定了一元二次方程的根的性質(zhì)。

-Δ>0：方程有兩個不相等的實數(shù)根。

-Δ=0：方程有兩個相等的實數(shù)根。

-Δ<0：方程沒有實數(shù)根。

4.一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

-根與系數(shù)的關(guān)系表達(dá)式：

-x1+x2=-b/a

-x1*x2=c/a

-這兩個關(guān)系式是由一元二次方程的求根公式推導(dǎo)而來，反映了方程根與系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系。

5.一元二次方程根的分布問題

-根的分布與判別式的值密切相關(guān)，根據(jù)判別式的性質(zhì)，可以判斷方程根的個數(shù)和性質(zhì)。

-在實際應(yīng)用中，通過根的分布可以解決一些實際問題，如物體的運動軌跡、利潤最大化等。

6.一元二次方程的應(yīng)用

-在物理、幾何、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中，許多問題可以通過建立一元二次方程模型來解決。

-通過分析一元二次方程的根，可以得出問題的解答，如物體的最大高度、最小距離等。

本節(jié)課的知識點梳理涵蓋了從一元二次方程的基礎(chǔ)概念到根與系數(shù)關(guān)系的理解，再到實際應(yīng)用，旨在幫助學(xué)生建立起完整的知識體系，并能夠?qū)⑦@些知識點靈活運用到實際問題中。通過這些知識點的學(xué)習(xí)和掌握，學(xué)生將能夠更好地理解數(shù)學(xué)在現(xiàn)實世界中的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力。板書設(shè)計①一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

-關(guān)系式：

x1+x2=-b/a

x1*x2=c/a

-重要性：反映方程根與系數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系

②判別式的性質(zhì)

-定義：Δ=b^2-4ac

-性質(zhì)：

Δ>0：兩個不相等的實數(shù)根

Δ=0：兩個相等的實數(shù)根

Δ<0：沒有實數(shù)根

③一元二次方程的應(yīng)用

-實際問題：物體運動、經(jīng)濟(jì)模型等

-解決方法：建立一元二次方程模型，分析根的性質(zhì)

-意義：將數(shù)學(xué)知識應(yīng)用于解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力課后作業(yè)1.計算題：

求解方程：2x^2-5x+3=0，并計算其判別式的值。

答案：

x1=3/2,x2=1

Δ=(-5)^2-4*2*3=25-24=1

2.應(yīng)用題：

一物體從高處自由落下，其高度h（米）與時間t（秒）之間的關(guān)系為h=4.9t^2+10t+20。求物體落地時的速度。

答案：

速度v=dh/dt=9.8t+10

當(dāng)h=0時，解方程4.9t^2+10t+20=0，得到t≈-2.04（舍去負(fù)數(shù)解），t≈-0.84

將t≈-0.84代入速度公式，得到v≈9.8*(-0.84)+10≈8.31m/s（方向向上，因為是落地前的瞬間速度）

3.分析題：

給定一元二次方程x^2-(2a+1)x+a^2=0，證明它的兩個根之和等于2a+1，兩個根之積等于a^2。

答案：

根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，有：

x1+x2=-(-2a-1)/1=2a+1

x1*x2=a^2/1=a^2

4.綜合題：

某企業(yè)的成本函數(shù)為C(x)=3x^2+5x+10，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。求：

a)當(dāng)企業(yè)生產(chǎn)10個產(chǎn)品時的總成本。

b)生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，平均成本最??？

答案：

a)C(10)=3*10^2+5*10+10=300+50+10=360

b)平均成本AC=C(x)/x=(3x^2+5x+10)/x=3x+5+10/x

為求平均成本最小，對AC求導(dǎo)得AC'=3-10/x^2，令A(yù)C'=0，得x=√(10/3)≈2.88

當(dāng)生產(chǎn)約3個產(chǎn)品時，平均成本最小。

5.探究題：

探究一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)之間的關(guān)系，當(dāng)a<0時，根的情況如何？

答案：

當(dāng)a<0時，方程的開口向下，且：

-若Δ>0，方程有兩個實數(shù)根，一個正一個負(fù)。

-若Δ=0，方程有一個重根，為負(fù)數(shù)。

-若Δ<0，方程沒有實數(shù)根。課堂1.課堂評價

-在課堂教學(xué)中，通過以下方式進(jìn)行評價：

-提問：針對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的概念、求解方法和應(yīng)用等方面，對學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)提問，了解學(xué)生對知識點的掌握情況。

-觀察：在小組討論、課堂練習(xí)等環(huán)節(jié)，觀察學(xué)生的參與程度、合作意識和解決問題的能力。

-測試：進(jìn)行課堂小測驗，檢驗學(xué)生對一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的理解和應(yīng)用能力。

-根據(jù)評價結(jié)果，及時發(fā)現(xiàn)問題，采取以下措施進(jìn)行解決：

-針對共性問題，進(jìn)行集體講解和輔導(dǎo)。

-針對個性問題，進(jìn)行個別指導(dǎo)，幫助學(xué)生克服困難。

-調(diào)整教學(xué)進(jìn)度和策略，確保學(xué)生充分理解知識點。

2.作業(yè)評價

-對學(xué)生的課后作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改和點評，主要包括以下幾個方面：

-知識點的掌握：檢查學(xué)生在作業(yè)中是否能夠