專題04方程（組）及其應(yīng)用（8大考點(diǎn)）（原卷版）

第二部分方程（組）與不等式（組）專題04方程（組）及其應(yīng)用（8大考點(diǎn)）核心考點(diǎn)核心考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)核心考點(diǎn)二一元一次方程的解法及其應(yīng)用核心考點(diǎn)三二元一次方程組的解法及其應(yīng)用核心考點(diǎn)四分式方程的解法及其應(yīng)用核心考點(diǎn)五一元二次方程及其解法核心考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式核心考點(diǎn)七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系核心考點(diǎn)八一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用新題速遞核心考點(diǎn)一等式的基本性質(zhì)例1（2022·青?！ぶ锌颊骖}）下列說(shuō)法中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則例2（2021·安徽·中考真題）設(shè)a，b，c為互不相等的實(shí)數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．例3（2022·福建·中考真題）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式、若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令，等式兩邊都乘以x，得．①等式兩邊都減，得．②等式兩邊分別分解因式，得．③等式兩邊都除以，得．④等式兩邊都減m，得x＝0.⑤所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0.以上推理過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是______．知識(shí)點(diǎn)、等式的基本性質(zhì)（注意:等式的基本性質(zhì)是解方程的依據(jù)）基本性質(zhì)1：等式兩邊同時(shí)加上(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子),所得結(jié)果仍是等式.基本性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘同一個(gè)數(shù)(或除以同一個(gè)不為零的數(shù)),所得結(jié)果仍是等式.性質(zhì)3：如果，那么（對(duì)稱性）性質(zhì)4：如果，，那么（傳遞性）【變式1】（2022·安徽·合肥市五十中學(xué)西校三模）已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，．則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．a(chǎn)，b，c不可能同時(shí)相等 D．若，則【變式2】（2022·安徽蕪湖·二模）已知三個(gè)實(shí)數(shù)a，b，c滿足，則下列結(jié)論不成立的是（

）A． B． C． D．【變式3】（2022·貴州黔西·二模）已知，則______.【變式4】（2021·江蘇·正衡中學(xué)一模）設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足，，則=_______．【變式5】（2022·江西·石城縣教育局教研室二模）已知，且，求證：．核心考點(diǎn)二一元一次方程的解法及其應(yīng)用例1（2022·貴州黔西·中考真題）小明解方程的步驟如下：解：方程兩邊同乘6，得①去括號(hào)，得②移項(xiàng)，得③合并同類項(xiàng)，得④以上解題步驟中，開(kāi)始出錯(cuò)的一步是（

）A．① B．② C．③ D．④例2（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）某商品的進(jìn)價(jià)為每件10元，若按標(biāo)價(jià)打八折售出后，每件可獲利2元，則該商品的標(biāo)價(jià)為每件______元．例3（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）某地交警在一個(gè)路口對(duì)某個(gè)時(shí)段來(lái)往的車輛的車速進(jìn)行監(jiān)測(cè)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：車速（）404142434445頻數(shù)681532其中車速為40、43（單位：）的車輛數(shù)分別占監(jiān)測(cè)的車輛總數(shù)的12%、32%．(1)求出表格中的值；(2)如果一輛汽車行駛的車速不超過(guò)的10%，就認(rèn)定這輛車是安全行駛．若一年內(nèi)在該時(shí)段通過(guò)此路口的車輛有20000輛，試估計(jì)其中安全行駛的車輛數(shù)．知識(shí)點(diǎn)一、一元一次方程及其解法一元一次方程:只含有1個(gè)未知數(shù)(元)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，等號(hào)兩邊都是整式，這樣的方程叫做一元一次方程。任何一個(gè)一元一次方程都可

以化成ax+b=0（a，b是常數(shù)，且a≠0）的形式。溫馨提示

形如(其中，為常數(shù)，且)的方程為一元一次方程，判斷時(shí)應(yīng)抓住以下兩點(diǎn)：(i)原方程必是整式方程；(ii)化成一般形式后只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的次數(shù)為1。去分母若未知數(shù)的系數(shù)有分母，則要去分母。注意要在方程的兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)。去括號(hào)若方程含有括號(hào)，則先去小括號(hào)，再去中括號(hào)，最后去大括號(hào)。若去括號(hào)時(shí)括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去掉括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均要

。

移項(xiàng)把含有未知數(shù)的項(xiàng)移到等式的一邊，其他項(xiàng)移到另一邊。一般把含

的項(xiàng)移到等式左邊。移項(xiàng)要改變符號(hào)。合并同類項(xiàng)把方程化成（）的形式。系數(shù)化為1方程兩邊同

未知數(shù)的系數(shù)，得到方程的解。

知識(shí)點(diǎn)二、一次方程（組）的實(shí)際應(yīng)用1、列一次方程(組)解應(yīng)用題的步驟審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清題中的等量關(guān)系；設(shè)：設(shè)關(guān)鍵未知數(shù)；列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列方程(組)；解：解方程(組)；驗(yàn)：檢驗(yàn)所解答案是否符合題意；答：規(guī)范作答，注意單位名稱。2、常見(jiàn)的關(guān)系式行程問(wèn)題基本關(guān)系式:路程=速度×?xí)r間.相遇問(wèn)題:甲走的路程+乙走的路程=總路程.追及問(wèn)題:同地不同時(shí)出發(fā):前者走的路程=后者走的路程;同時(shí)不同地出發(fā):慢者走的路程+兩地間距離=快者走的路程.儲(chǔ)蓄問(wèn)題本金×利率×期數(shù)=利息,本金+利息=本息和.銷售問(wèn)題總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量,利潤(rùn)率=×100%,利潤(rùn)=售價(jià)成本(或進(jìn)價(jià))=利潤(rùn)率×成本.分配問(wèn)題總量=甲的數(shù)量+乙的數(shù)量,總金額=甲的金額+乙的金額.工程問(wèn)題工作總量=工作效率×工作時(shí)間,甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率.增長(zhǎng)率問(wèn)題已知基礎(chǔ)量為a,增長(zhǎng)后為b,若設(shè)增長(zhǎng)率為x,則可得a(1+x)=b.數(shù)字問(wèn)題十位a，個(gè)位b，表示為10a+b；百位a，十位b，個(gè)位c，表示為100a+10b+c【變式1】（2022·湖南·長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)二模）在風(fēng)凰山教育共同體數(shù)學(xué)學(xué)科節(jié)中，為展現(xiàn)數(shù)學(xué)的魅力，M老師組織了一個(gè)數(shù)學(xué)沉浸式互動(dòng)游戲：隨機(jī)請(qǐng)A，B，C，D，E五位同學(xué)依次圍成一個(gè)圓圈，每個(gè)人心里先想好一個(gè)實(shí)數(shù)，并把這個(gè)數(shù)悄悄的告訴相鄰的兩個(gè)人，然后每個(gè)人把與自己相鄰的兩個(gè)人告訴自己的數(shù)的平均數(shù)報(bào)出來(lái)．若A，B，C，D，E五位同學(xué)報(bào)出來(lái)的數(shù)恰好分別是1，2，3，4，5，則D同學(xué)心里想的那個(gè)數(shù)是（

）A． B． C．5 D．9【變式2】（2022·浙江金華·二模）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在線段AB上，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是－8，6，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A'落在射線CB上，并且A'B=4，則C點(diǎn)表示的數(shù)是（

）A．1 B．－1 C．1或－2 D．1或－3【變式3】（2020·浙江·模擬預(yù)測(cè)）一條數(shù)軸上有點(diǎn)A、B、C，其中點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別是﹣16、9，現(xiàn)以點(diǎn)C為折點(diǎn)，將數(shù)軸向右對(duì)折，若點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在點(diǎn)B的右邊，并且，則C點(diǎn)表示的數(shù)是______．【變式4】（2022·北京四中模擬預(yù)測(cè)）“格子乘法”作為兩個(gè)數(shù)相乘的一種計(jì)算方法，最早在15世紀(jì)由意大利數(shù)學(xué)家帕喬利提出，在明代數(shù)學(xué)家程大位著的《算法統(tǒng)宗》一書(shū)中被稱為“鋪地錦”．例如：如圖1，計(jì)算，將乘數(shù)46寫(xiě)在方格上邊，乘數(shù)71寫(xiě)在方格右邊，然后用乘數(shù)46的每位數(shù)字乘以乘數(shù)71的每位數(shù)字，將結(jié)果記入相應(yīng)的方格中，最后沿斜線方向相加，得3266．如圖2，用“格子乘法”計(jì)算兩個(gè)兩位數(shù)相乘，則______．【變式5】（2022·遼寧朝陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）根據(jù)小王在兩個(gè)超市看到的商品促銷信息解決下列問(wèn)題：甲超市促銷信息欄乙超市促銷信息欄全場(chǎng)折不超過(guò)元不優(yōu)惠；超過(guò)元而不超過(guò)元，打折；超過(guò)元，元部分優(yōu)惠，超過(guò)元部分打折．(1)當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是元時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款分別是多少？(2)當(dāng)一次性購(gòu)物標(biāo)價(jià)總額是多少時(shí)，甲、乙兩超市實(shí)付款一樣？核心考點(diǎn)三二元一次方程的解法及其應(yīng)用例1（2022·湖北武漢·中考真題）幻方是古老的數(shù)學(xué)問(wèn)題，我國(guó)古代的《洛書(shū)》中記載了最早的幻方——九宮格．將9個(gè)數(shù)填入幻方的空格中，要求每一橫行、每一豎列以及兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和相等，例如圖（1）就是一個(gè)幻方．圖（2）是一個(gè)未完成的幻方，則與的和是（

）A．9 B．10 C．11 D．12例2（2020·甘肅天水·中考真題）已知，，則的值為_(kāi)________．例3（2022·貴州黔西·中考真題）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)新打造的“田園風(fēng)光”景區(qū)今年計(jì)劃改造一片綠化地，種植A、B兩種花卉，已知3盆A種花卉和4盆B種花卉的種植費(fèi)用為330元，4盆A種花卉和3盆B種花卉的種植費(fèi)用為300元．(1)每盆A種花卉和每盆B種花卉的種植費(fèi)用各是多少元？(2)若該景區(qū)今年計(jì)劃種植A、B兩種花卉共400盆，相關(guān)資料表明：A、B兩種花卉的成活率分別為70%和90%，景區(qū)明年要將枯死的花卉補(bǔ)上相同的新花卉，但這兩種花卉在明年共補(bǔ)的盆數(shù)不多于80盆，應(yīng)如何安排這兩種花卉的種植數(shù)量，才能使今年該項(xiàng)的種植費(fèi)用最低？并求出最低費(fèi)用．知識(shí)點(diǎn)一、二元一次方程（組）及其解法1、二元一次方程（組）定義定義方程的解解的情況二元一次方程含有

個(gè)未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程。使二元一次方程兩邊的值

的兩個(gè)未知數(shù)的值。有無(wú)數(shù)組解二元一次方程組把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起。一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的?

叫做二元一次方程組的解。只有一組公共解二元一次方程（組）的解法（基本思想是“消元”）（1）代入消元法：將一個(gè)方程中的一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，并代入另一個(gè)方程中，消去一個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。（2）加減消元法：兩個(gè)二元一次方程中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等(或通過(guò)適當(dāng)變形后可以使同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等)時(shí)，把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去這個(gè)未知數(shù)，化二元一次方程組為一元一次方程。消元法使用技巧（解題時(shí)依據(jù)方程自身特點(diǎn)，靈活運(yùn)用消元思想）一般地，當(dāng)二元一次方程組中的一個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是1或1時(shí)，選擇代入消元法較簡(jiǎn)單。當(dāng)二元一次方程組中兩個(gè)方程的某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或成倍數(shù)關(guān)

系時(shí)，選擇加減消元法較簡(jiǎn)單。注：還可以用整體代入消元或換元法化繁為簡(jiǎn)，快速解題。知識(shí)點(diǎn)二、三元一次方程組1.三元一次方程組:一個(gè)方程組中含有三個(gè)未知數(shù),每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的

次數(shù)都是1,并且一共有三個(gè)方程,像這樣的方程組叫做三元一次方程組.2.解三元一次方程組的基本思路三元一次方程組?二元一次方程組?一元一次方程【變式1】（2022·廣東·華南師大附中三模）如果|x+y1|和2（2x+y3）2互為相反數(shù)，那么x,y的值為（

）A． B． C． D．【變式2】（2022·廣東·揭陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如果關(guān)于，的方程組的解是整數(shù)，那么整數(shù)的值為（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，【變式3】（2021·四川成都·三模）已知三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)a，b，c滿足：3a+2b+c＝5和2a+b﹣3c＝1，若m＝3a+b﹣7c，則m的最小值為_(kāi)________________．【變式4】（2022·甘肅慶陽(yáng)·二模）已知，關(guān)于x，y的二元一次方程組的解為，則2a－b＝______．【變式5】（2022·河南洛陽(yáng)·二模）已知實(shí)數(shù)，滿足①，②，求和的值．本題常規(guī)的解題思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得，的值．再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運(yùn)算量較大．其實(shí)，仔細(xì)觀察兩個(gè)方程未知數(shù)，的系數(shù)與所求代數(shù)式中，的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃握w求得代數(shù)式的值．由①②得：，由①②得，這樣的解題思想就是通常所說(shuō)的“整體思想”．問(wèn)題解決：(1)已知二元一次方程組，則值為，的值為．(2)某班組織活動(dòng)購(gòu)買獎(jiǎng)品，買20支鉛筆、3塊橡皮、2本日記本共需32元；買39支鉛筆、5塊橡皮、3本日記本共需58元．則購(gòu)買5支鉛筆、5塊橡皮、5本日記本共需多少元？(3)對(duì)于實(shí)數(shù)，，定義新運(yùn)算：，其中，，是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算．已知，，則的值為．核心考點(diǎn)四分式方程的解法及其應(yīng)用例1（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）若關(guān)于x的方程無(wú)解，則m的值為（

）A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3例2（2022·湖北黃石·中考真題）已知關(guān)于x的方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是__________．例3（2020·新疆·中考真題）某超市銷售A、B兩款保溫杯，已知B款保溫杯的銷售單價(jià)比A款保溫杯多10元，用480元購(gòu)買B款保溫杯的數(shù)量與用360元購(gòu)買A款保溫杯的數(shù)量相同．(1)A、B兩款保溫杯的銷售單價(jià)各是多少元？(2)由于需求量大，A、B兩款保溫杯很快售完，該超市計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)這兩款保溫杯共120個(gè)，且A款保溫杯的數(shù)量不少于B款保溫杯數(shù)量的兩倍．若A款保溫杯的銷售單價(jià)不變，B款保溫杯的銷售單價(jià)降低10%，兩款保溫杯的進(jìn)價(jià)每個(gè)均為20元，應(yīng)如何進(jìn)貨才能使這批保溫杯的銷售利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少元？知識(shí)點(diǎn)一、分式方程的相關(guān)概念定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程?！胺帜钢泻形粗獢?shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別。增根：在分式方程變形時(shí)，有可能產(chǎn)生不適合原方程的根，使方程中的分母為0，這樣的根叫方程的增根?；舅悸啡シ帜福质椒匠虨檎椒匠?。一般步驟①方程兩邊同時(shí)乘以各分式的，化為整式方程；②解整式方程；③檢驗(yàn)，把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看計(jì)算結(jié)果是否為0，若結(jié)果不為0，說(shuō)明此解是原分式方程的解；若為0，則為增根，原分式方程無(wú)解。驗(yàn)根方法方法一：利用方程解的定義，直接代回原方程檢驗(yàn)；方法二：把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看計(jì)算結(jié)果是否為0。知識(shí)點(diǎn)二、解分式方程例：解：最簡(jiǎn)公分母：檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，所以原分式方程的解為知識(shí)點(diǎn)三、分式方程的實(shí)際應(yīng)用列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟審：審清題意，分清題中的已知量、未知量，搞清等量關(guān)系。設(shè)：設(shè)出未知數(shù)。列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，列出分式方程。解：解分式方程驗(yàn)：既要檢驗(yàn)所得的解是否適合分式方程，又要檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問(wèn)題。答：完整作答（包括單位）常見(jiàn)模型及關(guān)系式行程問(wèn)題基本關(guān)系式：常用關(guān)系式：（注意統(tǒng)一單位）；工程問(wèn)題基本關(guān)系式：常用關(guān)系式：銷售問(wèn)題基本關(guān)系式：常用關(guān)系式：【變式1】（2022·河南·嵩縣教育局基礎(chǔ)教育教學(xué)研究室一模）方程的解為（）A． B． C． D．【變式2】（2022·重慶市第三十七中學(xué)校二模）若數(shù)a既使得關(guān)于x的不等式組無(wú)解，又使得關(guān)于y的分式方程的解不小于1，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為(

)A． B． C． D．【變式3】（2022·山東省淄博第六中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的分式方程有增根，則m的值為_(kāi)_____．【變式4】（2022·黑龍江黑龍江·三模）關(guān)于x的分式方程有解，則a的取值范圍是________．【變式5】（2022·廣東·深圳市寶安中學(xué)（集團(tuán)）三模）2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船返回艙成功著陸，三名航天員平安歸來(lái)，神舟十三號(hào)任務(wù)取得圓滿成功．飛箭航模店看準(zhǔn)商機(jī)，推出了“神舟”和“天宮”模型．已知每個(gè)“神舟”模型的成本比“天宮”模型多10元，同樣花費(fèi)100元，購(gòu)進(jìn)“天宮”模型的數(shù)量比“神舟”模型多5個(gè)．(1)“神舟”和“天宮”模型的成本各多少元？(2)飛箭航模店計(jì)劃購(gòu)買兩種模型共200個(gè)，且每個(gè)“神舟”模型的售價(jià)為30元，“天宮”模型的售價(jià)為15元．設(shè)購(gòu)買“神舟”模型個(gè)，銷售這批模型的利潤(rùn)為元．①求與的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出的取值范圍）；②若購(gòu)進(jìn)“神舟”模型的數(shù)量不超過(guò)“天宮”模型數(shù)量的，則購(gòu)進(jìn)“神舟”模型多少個(gè)時(shí)，銷售這批模型可以獲得最大利潤(rùn)？最大利潤(rùn)是多少？核心考點(diǎn)五一元二次方程及其解法例1（2022·四川雅安·中考真題）若關(guān)于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，則c的值為（）A．﹣3 B．0 C．3 D．9例2（2020·山東棗莊·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x＋a2﹣1＝0有一個(gè)根為x＝0，則a＝___．例3（2022·貴州貴陽(yáng)·中考真題）（1）a，b兩個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中階段我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的三種解法，他們分別是配方法、公式法和因式分解法，請(qǐng)從下列一元二次方程中任選兩個(gè)，并解這兩個(gè)方程．①x2+2x?1=0；②x2?3x=0；③x2?4x=4；④x2?4=0．知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程及其解法定義：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次是2的整式方程，叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式（又叫標(biāo)準(zhǔn)形式），其中叫做二次項(xiàng)，是二次項(xiàng)的系數(shù)；叫做一次項(xiàng)，是一次項(xiàng)的系數(shù)；叫常數(shù)項(xiàng)。，，是任意實(shí)數(shù)，且。一元二次方程的解法解法適用情況方程的根直接開(kāi)平方，，配方法（，）→公式法（，）因式分解法→，對(duì)于一元二次方程的四種解法，要結(jié)合方程中的具體數(shù)據(jù)進(jìn)行選擇，一般地，直接開(kāi)平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用，配方法、公式法通用。【變式1】（2021·山東·濰坊市寒亭區(qū)教學(xué)研究室一模）已知（為任意實(shí)數(shù)），則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不能確定【變式2】（2021·山東濱州·三模）新定義：關(guān)于x的一元二次方程a1(x﹣m)2+k＝0與a2(x﹣m)2+k＝0稱為“同族二次方程”．如2(x﹣3)2+4＝0與3(x﹣3)2+4＝0是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程2(x﹣1)2+1＝0與(a+2)x2+(b﹣4)x+8＝0是“同族二次方程”，那么代數(shù)式ax2+bx+2026能取的最小值是（）A．2020 B．2021 C．2023 D．2018【變式3】（2022·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）閱讀并回答問(wèn)題：小亮是一位刻苦學(xué)習(xí)的同學(xué)．一天他在解方程x=1時(shí)，突發(fā)奇想：x=1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無(wú)解，如果存在一個(gè)數(shù)i，使i2=1，那么當(dāng)x2=1時(shí)，有x=±i，從而x=±i是方程x2=1的兩個(gè)根．據(jù)此可知：方程x24x+5=0的兩根為_(kāi)_．(根用i表示)【變式4】（2022·廣西南寧·一模）我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長(zhǎng)分別為，，，記，則其面積．這個(gè)公式也被稱為海倫—秦九韶公式．若，，則此三角形面積的最大值是_________．【變式5】（2022·云南昆明·一模）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值．請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問(wèn)題：(1)求代數(shù)式的最小值；(2)求代數(shù)式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時(shí)x的值；(3)求證：無(wú)論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．核心考點(diǎn)六一元二次方程根的判別式例1（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）對(duì)于實(shí)數(shù)，定義新運(yùn)算：，若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且例2（2022·山東日照·中考真題）關(guān)于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，且，則m=__________．例3（2021·湖北荊門(mén)·中考真題）已知關(guān)于x的一元二次方程有，兩實(shí)數(shù)根．（1）若，求及的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，滿足？若存在，求出求實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程根的判別式一元二次方程（）的判別式方程實(shí)數(shù)根方程實(shí)數(shù)根方程實(shí)數(shù)根易錯(cuò)點(diǎn)：因忽視一元二次方程二次項(xiàng)系數(shù)不為零的隱含條件，導(dǎo)致失分。如：已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,求的取值范圍.【變式1】（2022·河南安陽(yáng)·二模）將4個(gè)數(shù)a，b，c，d排成2行，2列，兩邊各加一條豎線，記成，并規(guī)定，例如，則的根的情況為（

）A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【變式2】（2022·寧夏·吳忠市第三中學(xué)一模）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．且【變式3】（2022·四川成都·二模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根和．若之間關(guān)系滿足，則的值為_(kāi)_________．【變式4】（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值為_(kāi)_______．【變式5】（2022·湖北黃石·一模）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，．(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若，求的值．核心考點(diǎn)七一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例1（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或6例2（2022·四川內(nèi)江·中考真題）已知x1、x2是關(guān)于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的兩實(shí)數(shù)根，且＝x12+2x2﹣1，則k的值為_(kāi)____．例3（2022·湖北黃石·中考真題）閱讀材料，解答問(wèn)題：材料1為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過(guò)運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問(wèn)題的方法通常叫做換元法．材料2已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由書(shū)達(dá)定理可知，．根據(jù)上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)直接應(yīng)用：方程的解為_(kāi)______________________；(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：，且，求的值；(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，且，求的值．知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系（韋達(dá)定理）若，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，那么，【變式1】（2022·廣東·深圳市龍華區(qū)丹堤實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k【變式2】（2022·重慶巴蜀中學(xué)三模）已知：，（其中為a整數(shù)，且）；有下列結(jié)論，其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)有（

）①若M·N中不含項(xiàng)，則；②若為整式，則；③若a是的一個(gè)根，則．A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【變式3】（2022·四川眉山·模擬預(yù)測(cè)）若實(shí)數(shù)，滿足的值為_(kāi)_____．【變式4】（2022·湖北·鄂州市鄂城區(qū)教學(xué)研究室三模）已知實(shí)數(shù)a、b滿足，若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，則的值為_(kāi)_____．【變式5】（2022·湖北·黃石十四中模擬預(yù)測(cè)）x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，若滿足|x1﹣x2|＝1，則此類方程稱為“差根方程”．根據(jù)“差根方程”的定義，解決下列問(wèn)題：(1)通過(guò)計(jì)算，判斷下列方程是否是“差根方程”：①x2﹣4x﹣5＝0；

②2x2﹣2x+1＝0；(2)已知關(guān)于x的方程x2+2ax＝0是“差根方程”，求a的值；(3)若關(guān)于x的方程ax2+bx+1＝0（a，b是常數(shù)，a＞0）是“差根方程”，請(qǐng)?zhí)剿鱝與b之間的數(shù)量關(guān)系式．核心考點(diǎn)八一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用例1（2021·四川巴中·中考真題）兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：如圖，點(diǎn)P是線段AB上一點(diǎn)（AP＞BP），若滿足，則稱點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在日常生活中處處可見(jiàn)，例如：主持人在舞臺(tái)上主持節(jié)目時(shí)，站在黃金分割點(diǎn)上，觀眾看上去感覺(jué)最好．若舞臺(tái)長(zhǎng)20米，主持人從舞臺(tái)一側(cè)進(jìn)入，設(shè)他至少走x米時(shí)恰好站在舞臺(tái)的黃金分割點(diǎn)上，則x滿足的方程是（）A．（20﹣x）2＝20x B．x2＝20（20﹣x）C．x（20﹣x）＝202 D．以上都不對(duì)例2（2022·四川成都·中考真題）若一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則這個(gè)直角三角形斜邊的長(zhǎng)是_________．例3（2022·貴州畢節(jié)·中考真題）2022北京冬奧會(huì)期間，某網(wǎng)店直接從工廠購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣，進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)如下表：（注：利潤(rùn)=銷售價(jià)進(jìn)貨價(jià)）類別價(jià)格A款鑰匙扣B款鑰匙扣進(jìn)貨價(jià)（元/件）3025銷售價(jià)（元/件）4537(1)網(wǎng)店第一次用850元購(gòu)進(jìn)A、B兩款鑰匙扣共30件，求兩款鑰匙扣分別購(gòu)進(jìn)的件數(shù)；(2)第一次購(gòu)進(jìn)的冰墩嫩鑰匙扣售完后，該網(wǎng)店計(jì)劃再次購(gòu)進(jìn)A、B兩款冰墩墩鑰匙扣共80件（進(jìn)貨價(jià)和銷售價(jià)都不變），且進(jìn)貨總價(jià)不高于2200元．應(yīng)如何設(shè)計(jì)進(jìn)貨方案，才能獲得最大銷售利潤(rùn)，最大銷售利潤(rùn)是多少？(3)冬奧會(huì)臨近結(jié)束時(shí)，網(wǎng)店打算把B款鑰匙扣調(diào)價(jià)銷售．如果按照原價(jià)銷售，平均每天可售4件．經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每降價(jià)1元，平均每天可多售2件，將銷售價(jià)定為每件多少元時(shí)，才能使B款鑰匙扣平均每天銷售利潤(rùn)為90元？知識(shí)點(diǎn)、一元二次方程的應(yīng)用變化率問(wèn)題設(shè)為原來(lái)的量,為平均增長(zhǎng)率,為增長(zhǎng)次數(shù),為增長(zhǎng)后的量,則；當(dāng)為平均下降率,為下降后的量時(shí),利率問(wèn)題本息和=本金+利息利息=本金×利率×期數(shù)銷售利潤(rùn)問(wèn)題毛利潤(rùn)=銷售總額進(jìn)貨總額純利潤(rùn)=銷售總額進(jìn)貨總額其他費(fèi)用利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷成本×100%銷售總額=售價(jià)×銷量進(jìn)貨總額=進(jìn)價(jià)×進(jìn)貨數(shù)量單循環(huán)問(wèn)題若共有個(gè)隊(duì)，每個(gè)隊(duì)都與其他隊(duì)比賽一場(chǎng)，則一共比賽場(chǎng)【變式1】（2022·河北保定·一模）某超市銷售一種飲料，每瓶進(jìn)價(jià)為6元．當(dāng)每瓶售價(jià)為10元時(shí)，日均銷售量為160瓶，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查表明，每瓶售價(jià)每增加1元，日均銷售量減少20瓶．若超市計(jì)劃該飲料日均總利潤(rùn)為700元，且盡快減少庫(kù)存，則每瓶該飲料售價(jià)為（）A．11 B．12 C．13 D．14【變式2】（2022·甘肅武威·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線AB－BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，△APC的面積為，圖2是點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中S與t之間函數(shù)關(guān)系的圖象，則AC的長(zhǎng)為（

）A．10cm B．8cm C．14cm D．12cm【變式3】（2022·吉林·長(zhǎng)春市第四十八中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）某水果批發(fā)商經(jīng)銷一種高檔水果，如果每千克盈利元，平均每天可售出千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若每千克每漲價(jià)一元，平均日銷量將減少千克，要使商場(chǎng)每天獲利最多，那么每千克應(yīng)漲價(jià)______元．【變式4】（2022·福建·廈門(mén)市湖里中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）已知與中，，，，且點(diǎn)、、在同一直線上，連接，則的面積為_(kāi)_____．【變式5】（2022·江蘇宿遷·一模）2022年2月4日，第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)在北京勝利召開(kāi)，在冬奧會(huì)期間，北京某校打算組織部分師生利用周日時(shí)間到現(xiàn)場(chǎng)觀看比賽，經(jīng)了解在離學(xué)校最近的比賽場(chǎng)館當(dāng)日共有A、B兩場(chǎng)比賽，兩場(chǎng)比賽的票價(jià)如下圖所示，其中x軸表示一次性購(gòu)票人數(shù)，y軸表示每張票的價(jià)格，如：一次性購(gòu)買A場(chǎng)比賽門(mén)票10張，票價(jià)為400元/張，若一次性購(gòu)買A場(chǎng)比賽門(mén)票80張，則每張票價(jià)為200元．(1)若一次性購(gòu)買B場(chǎng)比賽門(mén)票10張，則每張票價(jià)為_(kāi)__________元（直接寫(xiě)出結(jié)果）．(2)若一次性購(gòu)買A場(chǎng)比賽門(mén)票張，需支付門(mén)票費(fèi)用多少元？（用a的代數(shù)式表示）(3)該校共組織120人（每人購(gòu)買一張門(mén)票）分兩組分別觀看A、B兩場(chǎng)比賽，共花費(fèi)32160元，若觀看A場(chǎng)比賽的人數(shù)不足50人，則有多少人觀看了B場(chǎng)比賽？【新題速遞】1．（河南省駐馬店市20222023學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）關(guān)于x的方程：①，②，③，④，其中一元二次方程的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．42．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）某冷飲店中的A種可樂(lè)比B種可樂(lè)每杯貴3元，小霖買了2杯A種可樂(lè)、3杯B種可樂(lè)，一共花了31元，問(wèn)A種可樂(lè)、B種可樂(lè)每杯分別是多少元？若設(shè)A種可樂(lè)x元，則下列方程中正確的是（）A． B．C． D．3．（2022·山東·泰安市泰山區(qū)大津口中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）若關(guān)于x的分式方程無(wú)解，則m的值為（）A．2 B．1 C．0 D．﹣14．（2022·湖北·武漢二中廣雅中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則b的值為（

）A． B． C． D．5．（2022·湖北·武漢市第六初級(jí)中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示的是年月份的月歷，月歷中，用以下形狀的四個(gè)陰影圖形依次分別覆蓋其中四個(gè)數(shù)字，若覆蓋的四個(gè)數(shù)字之和為，則不可能是哪一個(gè)形狀覆蓋的結(jié)果（

）A． B．C． D．6．（2022·廣東·東莞市伊頓海逸外國(guó)語(yǔ)學(xué)校七年級(jí)期中）小亮求得方程組的解為，由于不小心，滴上了兩滴墨水，剛好遮住了兩個(gè)數(shù)●和★，請(qǐng)你幫他找回這兩個(gè)數(shù)，“●”“★”表示的數(shù)分別為（

）A．5，2 B．，2 C．8， D．5，47．（2022·重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知兩個(gè)分式：，；將這兩個(gè)分式進(jìn)行如下操作：第一次操作：將這兩個(gè)分式作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第二次操作：將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）第三次操作；將，作和，結(jié)果記為；作差，結(jié)果記為；（即，）…（依此類推）將每一次操作的結(jié)果再作和，作差，繼續(xù)依次操作下去，通過(guò)實(shí)際