2025屆湖南省長沙瀏陽市高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題含解析

2025屆湖南省長沙瀏陽市高一數(shù)學第一學期期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．如圖，AB為半圓的直徑，點C為的中點，點M為線段AB上的一點（含端點A，B），若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．，，，則（）A. B.C. D.3．已知，，且，則的最小值為（）A.2 B.3C.4 D.84．設函數(shù),若關于的方程有四個不同的解,且,則的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知兩點，點在直線上，則的最小值為（）A. B.9C. D.106．集合，則A∩B＝（）A.[0，2] B.（1，2]C.[1，2] D.（1，＋∞）7．下列關系中正確個數(shù)是（）①②③④A.1 B.2C.3 D.48．如圖：在正方體中，設直線與平面所成角為，二面角的大小為，則為A. B.C. D.9．下列函數(shù)中，以為最小正周期，且在上單調遞增的是（）A. B.C. D.10．圓x2＋y2－4x＋6y＝0和圓x2＋y2－6x＝0交于A，B兩點，則AB的垂直平分線的方程是（）A.x＋y＋3＝0 B.2x－y－5＝0C.3x－y－9＝0 D.4x－3y＋7＝0二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．將正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角A－BD－C，有如下四個結論①AC⊥BD；②△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成60°的角；④AB與CD所成的角是60°.其中正確結論的序號是________12．已知空間中兩個點A（1，3，1），B（5，7，5），則|AB|＝_____13．若函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍為________14．已知函數(shù)的圖像恒過定點，則的坐標為_____________.15．函數(shù)的定義域是___________.16．若，則的最小值是___________，此時___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知圓的標準方程為，圓心為，直線的方程為，點在直線上，過點作圓的切線，，切點分別為，（1）若，試求點的坐標；（2）若點的坐標為，過作直線與圓交于兩點，當時，求直線的方程；（3）求證：經(jīng)過，，三點的圓必過定點，并求出所有定點的坐標18．已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設，，若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù)（1）求的對稱軸方程；（2）若在上，函數(shù)最小值為且有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍20．已知函數(shù)的圖象關于原點對稱（1）求實數(shù)b的值；（2）若對任意的，有恒成立，求實數(shù)k的取值范圍21．設函數(shù)的定義域為，值域為，如果存在函數(shù)，使得函數(shù)的值域仍是，那么稱是函數(shù)的一個等值域變換.（1）判斷下列函數(shù)是不是函數(shù)的一個等值域變換？說明你的理由；①；②.（2）設的定義域為，已知是的一個等值域變換，且函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)題意可得出，然后根據(jù)向量的運算得出，從而可求出答案.【詳解】因為點C為的中點，，所以，所以，因為點M為線段AB上的一點，所以，所以，所以的取值范圍是,故選：D.2、B【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調性即可得出，，的大小關系【詳解】，，，故選：3、C【解析】根據(jù)條件,變形后，利用均值不等式求最值.【詳解】因為，所以.因為，，所以，當且僅當，時，等號成立，故的最小值為4.故選：C4、D【解析】由題意，根據(jù)圖象得到，，，，，推出.令，，而函數(shù).即可求解.【詳解】【點睛】方法點睛：已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結合的方法求解.5、C【解析】根據(jù)給定條件求出B關于直線的對稱點坐標，再利用兩點間距離公式計算作答.【詳解】依題意，若關于直線的對稱點，∴，解得，∴，連接交直線于點，連接，如圖，在直線上任取點C，連接，顯然，直線垂直平分線段，則有，當且僅當點與重合時取等號，∴，故的最小值為.故選：C6、B【解析】先求出集合A，B，再求兩集合的交集即可【詳解】解：由，得，所以，由于，所以，所以，所以，故選：B7、A【解析】根據(jù)集合的概念、數(shù)集的表示判斷【詳解】是有理數(shù)，是實數(shù)，不是正整數(shù)，是無理數(shù)，當然不是整數(shù)．只有①正確故選：A【點睛】本題考查元素與集合的關系，掌握常用數(shù)集的表示是解題關鍵8、B【解析】連結BC1，交B1C于O，連結A1O，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1，∵BO=A1B，∴θ1=30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1=BC，且BB1⊥BC，∴θ2=45°故答案選：B9、D【解析】根據(jù)最小正周期判斷AC，根據(jù)單調性排除B，進而得答案.【詳解】解：對于AC選項，，的最小正周期為，故錯誤；對于B選項，最小正周期為，在區(qū)間上單調遞減，故錯誤；對于D選項，最小正周期為，當時，為單調遞增函數(shù)，故正確.故選：D10、C【解析】兩圓公共弦的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，求出兩圓的圓心，從而可得答案.【詳解】解：AB的垂直平分線的方程即為兩圓圓心所在直線的方程，圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心為，圓x2＋y2－6x＝0的圓心為，則兩圓圓心所在直線的方程為，即3x－y－9＝0.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、①②④【解析】①取BD的中點O，連接OA,OC,所以,所以平面OAC，所以AC⊥BD；②設正方形的邊長為a，則在直角三角形ACO中，可以求得OC=a，所以△ACD是等邊三角形；③AB與平面BCD成45角；④分別取BC，AC的中點為M，N，連接ME，NE，MN.則MN∥AB，且MN＝AB＝a，ME∥CD，且ME＝CD＝a，∴∠EMN是異面直線AB，CD所成的角．在Rt△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，∴NE＝AC＝a.∴△MEN是正三角形，∴∠EMN＝60°，故④正確考點：本小題主要考查平面圖形向空間圖形的折疊問題，考查學生的空間想象能力.點評：解決此類折疊問題，關鍵是搞清楚折疊前后的變量和不變的量.12、【解析】直接代入空間中兩點間的距離公式即可得解.【詳解】∵空間中兩個點A（1，3，1），B（5，7，5），∴|AB|4故答案為:4【點睛】本題考查空間中兩點間的距離公式,屬于基礎題.13、【解析】分類討論，時根據(jù)二次函數(shù)的性質求解【詳解】時，滿足題意；時，，解得，綜上，故答案為：14、【解析】由過定點（0,1），借助于圖像平移即可.【詳解】過定點（0,1），而可以看成的圖像右移3個單位，再下移2個點位得到的，所以函數(shù)的圖像恒過定點即A故答案為：【點睛】指數(shù)函數(shù)圖像恒過（0,1），對數(shù)函數(shù)圖像恒過（1,0）.15、【解析】利用根式、分式的性質求函數(shù)定義域即可.【詳解】由解析式知：，則，可得，∴函數(shù)定義域為.故答案為：.16、①.1②.0【解析】利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以,當且僅當，即時，等號成立，所以其最小值是1，此時0，故答案為：1，0三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）或；（3）詳見解析【解析】（1）點在直線上，設，由對稱性可知，可得，從而可得點坐標．（2）分析可知直線的斜率一定存在，設其方程為：．由已知分析可得圓心到直線的距離為，由點到線的距離公式可求得的值．（3）由題意知，即．所以過三點的圓必以為直徑．設，從而可得圓的方程，根據(jù)的任意性可求得此圓所過定點試題解析：解：（1）直線的方程為，點在直線上，設，由題可知，所以，解之得：故所求點的坐標為或（2）易知直線的斜率一定存在，設其方程為：，由題知圓心到直線的距離為，所以，解得，或，故所求直線的方程為：或（3）設，則的中點，因為是圓的切線，所以經(jīng)過三點的圓是以為圓心，以為半徑的圓，故其方程為：化簡得：，此式是關于的恒等式，故解得或所以經(jīng)過三點的圓必過定點或考點：1直線與圓的位置關系問題；2過定點問題18、(1)(2)【解析】(1)由題意結合函數(shù)單調性的定義得到關于a的表達式，結合指數(shù)函數(shù)的性質確定的取值范圍即可；(2)利用換元法將原問題轉化為二次方程根的分布問題，然后求解實數(shù)的取值范圍即可.【詳解】（1）由題設，若在上是減函數(shù)，則任取，，且，都有，即成立.∵.又在上是增函數(shù)，且，∴由，得，即，且.∴只須，解.由，，且，知，∴，即，∴.所以在上是減函數(shù)，實數(shù)的取值范圍是.（2）由題知方程有且只有一個實數(shù)根，令，則關于的方程有且只有一個正根.若，則，不符合題意，舍去；若，則方程兩根異號或有兩個相等的正根.方程兩根異號等價于解得；方程有兩個相等的正根等價于解得；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調性，二次方程根的分布等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.19、（1），；（2）.【解析】（1）應用二倍角正余弦公式、輔助角公式可得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質求的對稱軸方程.（2）由題設可得，畫出的圖象，進而由已知條件及數(shù)形結合思想求m的取值范圍【小問1詳解】由題設，，令，，可得，.∴的對稱軸方程為，.【小問2詳解】令，在上，而時有，且圖象如下：又最小值為且有兩個不相等的實數(shù)根，由上圖知：，可得.20、（1）－1（2）【解析】（1）由得出實數(shù)b的值，再驗證奇偶性即可；（2）由結合函數(shù)的單調性解不等式，結合基本不等式求解得出實數(shù)k的取值范圍【小問1詳解】∵函數(shù)的定義域為R，且為奇函數(shù)，解得經(jīng)檢驗，當b＝－1時，為奇函數(shù)，滿足題意故實數(shù)b的值為－1【小問2詳解】，∴f(x)在R上單調遞增，在上恒成立，在上恒成立（當且僅當x＝0時，取“＝”），則∴實數(shù)k的取值范圍為21、（1）①不是等值域變換，②是等值域變換；（2）.【解析】（1）運用對數(shù)函數(shù)的值域和基本不等式，結合新定義即可判斷①；運用二次函數(shù)的值域和指數(shù)函數(shù)的值域