河北省遷西一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題含解析

河北省遷西一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（LeonhardEuler）1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上．后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點，其歐拉線方程為，則頂點C的坐標是（）A.（） B.（）C.（） D.（）2．太極圖被稱為“中華第一圖”，閃爍著中華文明進程的光輝，它是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚，太極圖展現(xiàn)了一種相互轉(zhuǎn)化，相對統(tǒng)一的和諧美．定義：能夠?qū)AO的周長和面積同時等分成兩個部分的函數(shù)稱為圓O的一個“太極函數(shù)”，設(shè)圓O：，則下列說法中正確的是（）①函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)②圓O的所有非常數(shù)函數(shù)的太極函數(shù)都不能為偶函數(shù)③函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)④函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱是為圓O的太極函數(shù)的充要條件A.①② B.①③C.②③ D.③④3．已知條件，條件表示焦點在x軸上的橢圓，則p是q的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既非充分也非必要條件4．已知函數(shù)有兩個極值點m，n，且，則的最大值為（）A. B.C. D.5．已知全集，，（）A. B.C. D.6．已知直線，當(dāng)變化時，所有直線都恒過點（）A.B.C.D.7．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在一次體檢中，發(fā)現(xiàn)甲、乙兩個單位的職工中體重超過的人員的體重如下（單位：）.若規(guī)定超過為顯著超重，從甲、乙兩個單位中體重超過的職工中各抽取1人，則這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為（）A. B.C. D.9．已知雙曲線的離心率為，左焦點為F，實軸右端點為A，虛軸上端點為B，則為（）A.直角三角形 B.鈍角三角形C.等腰三角形 D.銳角三角形10．圓關(guān)于直線對稱圓的標準方程是（）A. B.C. D.11．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.2 B.3C.4 D.512．在等腰中，在線段斜邊上任取一點，則線段的長度大于的長度的概率（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．雙曲線上一點P到的距離最小值為___________.14．瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”.已知平面直角坐標系中各頂點的坐標分別為，，，則其“歐拉線”的方程為___________.15．拋物線的焦點為F，準線為l，C上的一點M在l上的射影為N，已知線段FN的垂直平分線方程為，則___________；___________.16．已知為拋物線：的焦點，為拋物線上在第一象限的點.若為的中點，為拋物線的頂點，則直線斜率的最大值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）一臺還可以用的機器由于使用的時間較長，它按不同的轉(zhuǎn)速生產(chǎn)出來的某機械零件有一些會有缺陷，每小時生產(chǎn)有缺陷零件的多少隨機器運轉(zhuǎn)的速率而變化，下表為抽樣試驗結(jié)果:轉(zhuǎn)速(轉(zhuǎn)/秒)1615129每小時生產(chǎn)有缺陷的零件數(shù)（件）10985通過觀察散點圖，發(fā)現(xiàn)與有線性相關(guān)關(guān)系:（1）求關(guān)于的回歸直線方程；（2）若實際生產(chǎn)中，允許每小時生產(chǎn)的產(chǎn)品中有缺陷的零件最多為10個，那么機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?(參考:回歸直線方程為，其中，）18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個極值點，且，若，求證：.19．（12分）為落實國家扶貧攻堅政策，某地區(qū)應(yīng)上級扶貧辦的要求，對本地區(qū)所有貧困戶每年年底進行收入統(tǒng)計，下表是該地區(qū)貧困戶從2017年至2020年的收入統(tǒng)計數(shù)據(jù)：（其中y為貧困戶的人均年純收入）年份2017年2018年2019年2020年年份代碼1234人均年純收入y/百元25283235（1）在給定的坐標系中畫出A貧困戶的人均年純收入關(guān)于年份代碼的散點圖；（2）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程，并估計A貧困戶在年能否脫貧.（注：假定脫貧標準為人均年純收入不低于元）參考公式：，參考數(shù)據(jù)：，.20．（12分）如圖，在正方體中，E，F(xiàn)，G，H，K，L分別是AB，，，，，DA各棱的中點.（1）求證：E，F(xiàn)，G，H，K，L共面：（2）求證：平面EFGHKL；（3）求與平面EFGHKL所成角的余弦值.21．（12分）已知集合，（1）若，求m的取值范圍；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍22．（10分）已知圓經(jīng)過，且圓心C在直線上（1）求圓的標準方程；（2）若直線：與圓存在公共點，求實數(shù)的取值范圍

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】根據(jù)題意，求得的外心，再根據(jù)外心的性質(zhì)，以及重心的坐標，聯(lián)立方程組，即可求得結(jié)果.【詳解】因為，故的斜率，又的中點坐標為，故的垂直平分線的方程為，即，故△的外心坐標即為與的交點，即，不妨設(shè)點，則，即；又△的重心的坐標為，其滿足，即，也即，將其代入，可得，，解得或，對應(yīng)或，即或，因為與點重合，故舍去.故點的坐標為.故選：A.2、B【解析】①③可以通過分析奇偶性和結(jié)合圖象證明出符合要求，②④可以舉出反例.【詳解】是奇函數(shù)，且與圓O的兩交點坐標為，能夠?qū)AO的周長和面積同時等分為兩個部分，故符合題意，①正確；同理函數(shù)是圓O的一個太極函數(shù)，③正確；例如，是偶函數(shù)，也能將將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，故②錯誤；函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱不是為圓O的太極函數(shù)的充要條件，例如為奇函數(shù)，但不滿足將圓O的周長和面積同時等分為兩個部分，所以④錯誤；故選：B3、A【解析】根據(jù)條件，求得a的范圍，根據(jù)充分、必要條件的定義，即可得答案.【詳解】因為條件表示焦點在x軸上的橢圓，所以，解得或，所以條件是條件q：或的充分不必要條件.故選：A4、C【解析】對求導(dǎo)得，得到m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m，n的關(guān)系，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性，進而得最值.【詳解】由得：m，n是兩個根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：，故，令記，則，故在上單調(diào)遞減.故選：C5、C【解析】根據(jù)條件可得，則，結(jié)合條件即可得答案.【詳解】因，所以，則，又，所以，即.故選：C6、D【解析】將直線方程整理為，從而可得直線所過的定點.【詳解】可化為，∴直線過定點，故選：D.7、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時的取值范圍，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，則，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當(dāng)時，，.故選：B.8、B【解析】列舉出所有選取的情況，再找出滿足題意的情況，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】不妨用表示每種抽取情況，其中是指甲單位抽取1人的體重，代表從乙單位抽取人的體重.則所有的可能有16種，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中滿足題意的有6種：，，，，，故抽取的這2人中，恰好有1人顯著超重的概率為：.故選：.9、A【解析】根據(jù)三邊的關(guān)系即可求出【詳解】因，所以，而，，，所以，即，所以為直角三角形故選：A10、D【解析】先根據(jù)圓的標準方程得到圓的圓心和半徑，求出圓心關(guān)于直線的對稱點，進而寫出圓的標準方程.【詳解】因為圓的圓心為，半徑為，且關(guān)于直線對稱的點為，所以所求圓的圓心為、半徑為，即所求圓的標準方程為.故選：D.11、C【解析】作出不等式組對應(yīng)的可行域，再利用數(shù)形結(jié)合分析求解.【詳解】解：作出不等式組對應(yīng)的可行域為如圖所示的陰影部分區(qū)域，由得，它表示斜率為縱截距為的直線系，當(dāng)直線平移到點時，縱截距最大，最大.聯(lián)立直線方程得得.所以.故選：C12、C【解析】利用幾何概型的長度比值，即可計算.【詳解】設(shè)直角邊長，斜邊，則線段的長度大于的長度的概率.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】設(shè)出點P的坐標，利用兩點間距離公式結(jié)合二次函數(shù)求出最小值即可作答.【詳解】設(shè)，則，即，于是得，而，則當(dāng)時，，所以雙曲線上一點P到的距離最小值為2.故答案為：214、【解析】由題意知是直角三角形，即可寫出垂心、外心的坐標，進而可得“歐拉線”的方程.【詳解】由題設(shè)知：是直角三角形，則垂心為直角頂點，外心為斜邊的中點，∴“歐拉線”的方程為.故答案為：.15、①.2②.4【解析】設(shè)點，根據(jù)給定條件結(jié)合拋物線定義可得線段FN的中點及點M都在線段FN的垂直平分線，再列式計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準線l：，設(shè)點，則，線段FN的中點，由拋物線定義知：，即點M在線段FN的垂直平分線，因此，，解得，而，則有，，所以，.故答案為：2；4【點睛】結(jié)論點睛：拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離16、1【解析】由題意，可得，設(shè)，，，根據(jù)是線段的中點，求出的坐標，可得直線的斜率，利用基本不等式即可得結(jié)論【詳解】解：由題意，可得，設(shè)，，，，是線段的中點，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，直線的斜率的最大值為1故答案為：1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).【解析】(1)結(jié)合已知數(shù)據(jù)，代入公式中，先求出，然后求出，進而可求出，從而可得回歸方程.(2)由題意得，即可求出轉(zhuǎn)速的最高速度.【詳解】解：(1)由題意知，，所以，則，即關(guān)于的回歸直線方程為.(2)由可得，解得，所以機器的運轉(zhuǎn)速度應(yīng)控制在16轉(zhuǎn)/秒內(nèi).18、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論【小問1詳解】解：當(dāng)時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調(diào)遞減，，而，即，19、（1）散點圖見解析；（2），能夠脫貧.【解析】（1）直接畫出點即可；（2）利用公式求出與，即可求出，把代入即可估計出A貧困戶在2021年能否脫貧.【小問1詳解】畫出y關(guān)于x的散點圖，如圖所示：【小問2詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算，，又因為，，所以，，關(guān)于的線性回歸方程，當(dāng)時，（百元），估計年A貧困戶人均年純收入達到元，能夠脫貧.20、（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】建立空間直角坐標系，求出各點的坐標；（1）用向量的坐標運算證明向量共面，進而證明點共面；（2）利用向量的數(shù)量積的坐標運算證明，即可；（3）確定平面EFGHKL的一個法向量，利用空間角度的向量計算公式求得答案.【小問1詳解】證明：以D為原點，分別以DA，DC，所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，不妨設(shè)正方體的棱長為2.則，，，，，，，.可得，，，，，.可得，，，，，所以，，，，共面，又它們過同一點E,所以E，F(xiàn)，G，H，K，L共面.【小問2詳解】證明：由（1）得，，又故，，又，所以平面LEF，即平面EFGHKL.【小問3詳解】由（2）知，是平面EFGHKL的一個法向量，設(shè)與平面EFGHKL所成角為，，,.所以,所以與平面EFGHKL所成角的余弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）先求出，由得到，得到不等式組，求出m的取值范圍；（2）根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，分與兩種情況進行求解，求得m的取值范圍.【小問1詳解】，解得：，故，因為，所以