福建省泉州市泉港區(qū)一中2025屆數(shù)學高三上期末監(jiān)測模擬試題含解析

福建省泉州市泉港區(qū)一中2025屆數(shù)學高三上期末監(jiān)測模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．曲線在點處的切線方程為（）A． B． C． D．2．一個正方體被一個平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．3．框圖與程序是解決數(shù)學問題的重要手段，實際生活中的一些問題在抽象為數(shù)學模型之后，可以制作框圖，編寫程序，得到解決，例如，為了計算一組數(shù)據(jù)的方差，設(shè)計了如圖所示的程序框圖，其中輸入，，，，，，，則圖中空白框中應(yīng)填入（）A．， B． C．， D．，4．若，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C．13 D．5．已知展開式的二項式系數(shù)和與展開式中常數(shù)項相等，則項系數(shù)為（）A．10 B．32 C．40 D．806．以，為直徑的圓的方程是A． B．C． D．7．下列圖形中，不是三棱柱展開圖的是（）A． B． C． D．8．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則的一個充分條件是（）A．且 B．且 C．且 D．且9．若的展開式中的系數(shù)之和為，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．110．已知函數(shù)，方程有四個不同的根，記最大的根的所有取值為集合，則“函數(shù)有兩個零點”是“”的（）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件11．已知，，，，則（）A． B． C． D．12．設(shè)分別是雙線的左、右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點（位于軸右側(cè)），且四邊形為菱形，則該雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線方程是__________.14．割圓術(shù)是估算圓周率的科學方法，由三國時期數(shù)學家劉徽創(chuàng)立，他用圓內(nèi)接正多邊形面積無限逼近圓面積，從而得出圓周率．現(xiàn)在半徑為1的圓內(nèi)任取一點，則該點取自其內(nèi)接正十二邊形內(nèi)部的概率為________．15．函數(shù)的定義域是__________．16．設(shè)，滿足條件，則的最大值為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，，為等邊三角形，平面平面ABCD，M，N分別是線段PD和BC的中點.（1）求直線CM與平面PAB所成角的正弦值；（2）求二面角D-AP-B的余弦值；（3）試判斷直線MN與平面PAB的位置關(guān)系，并給出證明.18．（12分）在中，角，，的對邊分別為，，，已知．（1）若，，成等差數(shù)列，求的值；（2）是否存在滿足為直角？若存在，求的值；若不存在，請說明理由．19．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若是第二象限角，且，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)的定義域和值域.20．（12分）已知橢圓的左右焦點分別是，點在橢圓上，滿足（1）求橢圓的標準方程；（2）直線過點，且與橢圓只有一個公共點，直線與的傾斜角互補，且與橢圓交于異于點的兩點，與直線交于點（介于兩點之間），是否存在直線，使得直線，，的斜率按某種排序能構(gòu)成等比數(shù)列？若能，求出的方程，若不能，請說理由.21．（12分）設(shè)數(shù)列的前n項和滿足，，，（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項公式﹔（2）設(shè)，求證：.22．（10分）如圖，三棱臺的底面是正三角形，平面平面，.（1）求證：；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

將點代入解析式確定參數(shù)值，結(jié)合導數(shù)的幾何意義求得切線斜率，即可由點斜式求的切線方程.【詳解】曲線，即，當時，代入可得，所以切點坐標為，求得導函數(shù)可得，由導數(shù)幾何意義可知，由點斜式可得切線方程為，即，故選：A.【點睛】本題考查了導數(shù)的幾何意義，在曲線上一點的切線方程求法，屬于基礎(chǔ)題.2、D【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計算.3、A【解析】

依題意問題是，然后按直到型驗證即可.【詳解】根據(jù)題意為了計算7個數(shù)的方差，即輸出的，觀察程序框圖可知，應(yīng)填入，，故選：A.【點睛】本題考查算法與程序框圖，考查推理論證能力以及轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由已知畫出可行域，利用目標函數(shù)的幾何意義求最大值．【詳解】解：表示可行域內(nèi)的點到坐標原點的距離的平方，畫出不等式組表示的可行域，如圖，由解得即點到坐標原點的距離最大，即．故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想以及運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．5、D【解析】

根據(jù)二項式定理通項公式可得常數(shù)項，然后二項式系數(shù)和，可得，最后依據(jù)，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：當時，常數(shù)項為又展開式的二項式系數(shù)和為由所以當時，所以項系數(shù)為故選：D【點睛】本題考查二項式定理通項公式，熟悉公式，細心計算，屬基礎(chǔ)題.6、A【解析】

設(shè)圓的標準方程，利用待定系數(shù)法一一求出，從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標準方程為，由題意得圓心為，的中點，根據(jù)中點坐標公式可得，，又，所以圓的標準方程為：，化簡整理得，所以本題答案為A.【點睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程，解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標準方程，建立方程組，屬于基礎(chǔ)題.7、C【解析】

根據(jù)三棱柱的展開圖的可能情況選出選項.【詳解】由圖可知，ABD選項可以圍成三棱柱，C選項不是三棱柱展開圖.故選：C【點睛】本小題主要考查三棱柱展開圖的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8、B【解析】由且可得，故選B.9、B【解析】

由，進而分別求出展開式中的系數(shù)及展開式中的系數(shù)，令二者之和等于，可求出實數(shù)的值.【詳解】由，則展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)為，二者的系數(shù)之和為，得.故選：B.【點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，考查學生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

作出函數(shù)的圖象，得到，把函數(shù)有零點轉(zhuǎn)化為與在（2，4]上有交點，利用導數(shù)求出切線斜率，即可求得的取值范圍，再根據(jù)充分、必要條件的定義即可判斷．【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖，由圖可知，，函數(shù)有2個零點，即有兩個不同的根，也就是與在上有2個交點，則的最小值為；設(shè)過原點的直線與的切點為，斜率為，則切線方程為，把代入，可得，即，∴切線斜率為，∴k的取值范圍是，∴函數(shù)有兩個零點”是“”的充分不必要條件，故選A．【點睛】本題主要考查了函數(shù)零點的判定，考查數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法與數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，訓練了利用導數(shù)研究過曲線上某點處的切線方程，試題有一定的綜合性，屬于中檔題．11、D【解析】

令，求，利用導數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，從而可得，設(shè)，利用導數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù)，從而證出，即可得到答案.【詳解】時，令，求導，，故單調(diào)遞增：∴，當，設(shè)，，又，，即，故.故選：D【點睛】本題考查了作差法比較大小，考查了構(gòu)造函數(shù)法，利用導數(shù)判斷式子的大小，屬于中檔題.12、B【解析】

由于四邊形為菱形，且，所以為等邊三角形，從而可得漸近線的傾斜角，求出其斜率.【詳解】如圖，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，，兩漸近線的斜率分別為和.故選：B【點睛】此題考查的是求雙曲線的漸近線方程，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用導數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由已知，，所以，又，所以切線方程為，即.故答案為：【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，考查學生的基本計算能力，要注意在某點處的切線與過某點的切線的區(qū)別，是一道容易題.14、【解析】

求出圓內(nèi)接正十二邊形的面積和圓的面積，再用幾何概型公式求出即可．【詳解】半徑為1的圓內(nèi)接正十二邊形，可分割為12個頂角為，腰為1的等腰三角形，∴該正十二邊形的面積為，根據(jù)幾何概型公式，該點取自其內(nèi)接正十二邊形的概率為，故答案為：．【點睛】本小題主要考查面積型幾何概型的計算，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由，得，所以，所以原函數(shù)定義域為，故答案為.16、【解析】

作出可行域，由得，平移直線，數(shù)形結(jié)合可求的最大值.【詳解】作出可行域如圖所示由得，則是直線在軸上的截距.平移直線，當直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點時，最小，此時最大.解方程組，得，..故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）（3）直線平面，證明見解析【解析】

取中點，連接，則，再由已知證明平面，以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，求出平面的一個法向量．（1）求出的坐標，由與所成角的余弦值可得直線與平面所成角的正弦值；（2）求出平面的一個法向量，再由兩平面法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值；（3）求出的坐標，由，結(jié)合平面，可得直線平面．【詳解】底面是邊長為2的菱形，，為等邊三角形．取中點，連接，則，為等邊三角形，，又平面平面，且平面平面，平面．以為坐標原點，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系．則，，，，1，，，0，，，，，，0，，，，，，，．，，設(shè)平面的一個法向量為．由，取，得．（1）證明：設(shè)直線與平面所成角為，，則，即直線與平面所成角的正弦值為；（2）設(shè)平面的一個法向量為，由，得二面角的余弦值為；（3），，又平面，直線平面．【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、見解析【解析】

（1）因為，，成等差數(shù)列，所以，由余弦定理可得，因為，所以，即，所以．（2）若B為直角，則，，由及正弦定理可得，所以，即，上式兩邊同時平方，可得，所以（*）．又，所以，，所以，與（*）矛盾，所以不存在滿足為直角．19、（Ⅰ）（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，值域為【解析】

（1）由為第二象限角及的值，利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出及的值，再代入中即可得到結(jié)果.（2）函數(shù)解析式利用二倍角和輔助角公式將化為一個角的正弦函數(shù)，根據(jù)的范圍，即可得到函數(shù)值域.【詳解】解：（1）因為是第二象限角，且，所以.所以，所以.（2）函數(shù)的定義域為.化簡，得，因為，且，，所以，所以.所以函數(shù)的值域為.（注：或許有人會認為“因為，所以”，其實不然，因為.）【點睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，三角函數(shù)函數(shù)值求解以及定義域和值域的求解問題，涉及到利用二倍角公式和輔助角公式整理三角函數(shù)關(guān)系式的問題，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力，屬于?？碱}型.20、（1）；（2）不能，理由見解析【解析】

（1）設(shè)，則，由此即可求出橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可求得，則直線斜率為，設(shè)其方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達定理可得關(guān)于對稱，可求得，假設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)，可得，由此可得答案．【詳解】解：（1）設(shè)，則，，所以橢圓方程為；（2）設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，∴，因為兩直線的傾斜角互補，所以直線斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立整理得，，所以關(guān)于對稱，由正弦定理得，因為,所以，由上得，假設(shè)存在直線滿足題意，設(shè)，按某種排列成等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，所以，則此時直線與平行或重合，與題意不符，所以不存在滿足題意的直線．【點睛】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查計算能力與推理能力，屬于難題．21、（1）證明見解析，；（2）證明見解析【解析】

（1）由，作差得到，進一步得到，再作差即可得到，從而使問題得到解決；（2），求和即可.【詳解】（1），，兩式相減：①用換，得②②—①，得，即，所以數(shù)列是等差數(shù)列，又，∴，，公差，所以.（II）.【點睛】本題考查由與的關(guān)系求通項以及裂項相消法求數(shù)列的和，考查學生的計算能力，是一道容易題.22、（Ⅰ）見證明；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）取的中點為，連結(jié)，易證四邊形為平行四邊形，即，由于，為的中點，可得到，從而得到，即可證明平面，從而得到；（Ⅱ）易證，，兩兩垂直，以，，分別為，，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面的一個法向量為，設(shè)與平面所