福建省平和一中、南靖一中等五校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

福建省平和一中、南靖一中等五校2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B.C. D.2．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“”.設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，直線交雙曲線左、右兩支于兩點(diǎn)，若恰好是的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.3．函數(shù)y＝ln（1﹣x）的圖象大致為（）A. B.C D.4．下列曲線中，與雙曲線有相同漸近線是（）A. B.C. D.5．已知空間向量，，，下列命題中正確的個數(shù)是（）①若與共線，與共線，則與共線；②若，，非零且共面，則它們所在的直線共面；⑧若，，不共面，那么對任意一個空間向量，存在唯一有序?qū)崝?shù)組，使得；④若，不共線，向量，則可以構(gòu)成空間的一個基底.A.0 B.1C.2 D.36．已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且恒有，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.7．若，則下列正確的是（）A. B.C. D.8．已知直線和圓，則“”是“直線與圓相切”的（）.A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9．已知等差數(shù)列滿足，則等于（）A. B.C. D.10．已知數(shù)列中，，則（）A. B.C. D.11．若x，y滿足約束條件，則的最大值為（）A.1 B.0C.?1 D.?312．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)函數(shù)（1）求的最小正周期和的最大值；（2）已知銳角的內(nèi)角A，B，C對應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，且，求的面積.14．已知點(diǎn)為雙曲線，右支上一點(diǎn)，，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，的角平分線與線段交于點(diǎn)，且滿足，則________；若為線段的中點(diǎn)且，則雙曲線的離心率為________15．已知函數(shù)在處有極值2，則______.16．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比q為正整數(shù)，若，，且是正整數(shù)，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在正方體中，E為的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，且.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知圓C：x2+y2-2x+4y-4=0,問是否存在斜率是1的直線l，使l被圓C截得的弦AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，若存在，寫出直線l的方程；若不存在，說明理由.20．（12分）已知圓O：與圓C：（1）在①，②這兩個條件中任選一個，填在下面的橫線上，并解答若______，判斷這兩個圓的位置關(guān)系；（2）若，求直線被圓C截得的弦長注：若第（1）問選擇兩個條件分別作答，按第一個作答計分21．（12分）2022北京冬奧會即將開始，北京某大學(xué)鼓勵學(xué)生積極參與志愿者的選拔．某學(xué)院有6名學(xué)生通過了志愿者選拔，其中4名男生，2名女生（1）若從中挑選2名志愿者，求入選者正好是一名男生和一名女生的概率；（2）若從6名志愿者中任選3人負(fù)責(zé)滑雪項(xiàng)目服務(wù)崗位，那么現(xiàn)將6人分為A、B兩組進(jìn)行滑雪項(xiàng)目相關(guān)知識及志愿者服務(wù)知識競賽，共賽10局．A、B兩組分?jǐn)?shù)（單位：分）如下：A：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142B：126，115，143，126，143，115，139，139，115，139從統(tǒng)計學(xué)角度看，應(yīng)選擇哪個組更合適？理由是什么？22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）已知，曲線與曲線相交于A，B兩點(diǎn)，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的極值，推出最大值，然后轉(zhuǎn)化列出不等式組求解的范圍即可【詳解】，或，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴f(x)有極大值，要使f(x)在上有最大值，則極大值3即為該最大值，則，又或，∴，綜上，.故選：A.2、A【解析】根據(jù)雙曲線的定義及直角三角形斜邊的中線定理，再結(jié)合雙曲線的離心率公式即可求解.【詳解】如圖所示由題意可知，根據(jù)雙曲線的定義知，是的中點(diǎn)且.在中，是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)橹本€的斜率為，所以，所以.所以是等邊三角形，.在中，.由雙曲線的定義，得，所以雙曲線的離心率為.故選：A.3、C【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域和特殊點(diǎn)，判斷出正確選項(xiàng).【詳解】由，解得，也即函數(shù)的定義域?yàn)?，由此排除A,B選項(xiàng).當(dāng)時，，由此排除D選項(xiàng).所以正確的為C選項(xiàng).故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)圖像識別，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】求出已知雙曲線的漸近線方程，逐一驗(yàn)證即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為，雙曲線的漸近線方程為.故選：B5、B【解析】用向量共線或共面的基本定理即可判斷.【詳解】若與，與共線，，則不能判定，故①錯誤；若非零向量共面，則向量可以在一個與組成的平面平行的平面上，故②錯誤；不共面，意味著它們都是非零向量，可以作為一組基底，故③正確；，∴與共面，故不能組成一個基底，故④錯誤；故選：C.6、D【解析】構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，令，其中，則，∵，∴，∴在上為單調(diào)遞減函數(shù)，∴，即，，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則錯誤；，即，則正確；故選：.7、D【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)并結(jié)合反例，即可判斷命題真假.【詳解】對于選項(xiàng)A：若，則，由題意，，不妨令，，則此時，這與結(jié)論矛盾，故A錯誤；對于選項(xiàng)B：當(dāng)時，若，則，故B錯誤；對于選項(xiàng)C：由，不妨令，，則此時，故C錯誤；對于選項(xiàng)D：由不等式性質(zhì)，可知D正確.故選：D.8、B【解析】首先求出直線與圓相切時的取值，再根據(jù)充分必要條件的定義判斷.【詳解】若直線與圓相切，則圓心到直線的距離，則，解得，所以“”是“直線與圓相切”的充分不必要條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，充分必要條件，重點(diǎn)考查計算，理解能力，屬于基礎(chǔ)題型.9、A【解析】利用等差中項(xiàng)求出的值，進(jìn)而可求得的值.【詳解】因?yàn)榈?，因此?故選：A.10、D【解析】由數(shù)列的遞推公式依次去求，直到求出即可.【詳解】由，可得，，，故選：D.11、B【解析】先畫出可行域，由，得，作出直線，過點(diǎn)時，取得最大值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)中可得答案【詳解】不等式組表示的可行域如圖所示，由，得，作出直線，過點(diǎn)時，取得最大值，由，得，即，所以的最大值為，故選：B12、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（1）的最小正周期為，的最大值為1（2）【解析】（1）直接根據(jù)的表達(dá)式和正弦函數(shù)的性質(zhì)可得到的最小正周期和最大值；（2）先根據(jù)求得角的大小為，然后在中利用余弦定理求得，最后根據(jù)三角形的面積公式即可【小問1詳解】已知則的最小正周期為：則的最大值為：【小問2詳解】由可得：（）或（）又為銳角，則可得：.在中，由余弦定理可得：，即又，解得：則的面積為：14、①.②.【解析】過作，交于點(diǎn)，作，交于點(diǎn)，由向量共線定理可得；再由角平分線性質(zhì)定理和雙曲線的定義、結(jié)合余弦定理和離心率公式，可得所求值【詳解】解：過作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，由，得，由角平分線定理；因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由雙曲線的定義，，所以，，，在中，由余弦定理，所以.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)定理和余弦定理的運(yùn)用，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題15、6【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值2，可得，解方程組即可得解.【詳解】解：，因?yàn)楹瘮?shù)在處有極值2，所以，即，解得，則，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在處有極大值，所以，所以.故答案為：6.16、【解析】由已知等差、等比數(shù)列以及，，是正整數(shù)，可得，結(jié)合q為正整數(shù)，進(jìn)而求.【詳解】由，，令，其中m為正整數(shù)，有，又為正整數(shù)，所以當(dāng)時，解得，當(dāng)時，解得不是正整數(shù)，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）證明出四邊形為平行四邊形，可得出，然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；也可利用空間向量計算證明；（Ⅱ）可以將平面擴(kuò)展，將線面角轉(zhuǎn)化，利用幾何方法作出線面角，然后計算；也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計算求解.【詳解】（Ⅰ）[方法一]：幾何法如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；[方法二]:空間向量坐標(biāo)法以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為，則、、、，，，設(shè)平面的法向量為，由，得，令，則，，則.又∵向量,,又平面，平面；（Ⅱ）[方法一]：幾何法延長到，使得，連接，交于，又∵，∴四邊形為平行四邊形，∴，又∵,∴,所以平面即平面,連接，作,垂足為,連接,∵平面,平面,∴，又∵,∴直線平面,又∵直線平面,∴平面平面,∴在平面中的射影在直線上,∴直線為直線在平面中的射影，∠為直線與平面所成的角，根據(jù)直線直線，可知∠為直線與平面所成的角.設(shè)正方體的棱長為2，則,,∴,∴,∴,即直線與平面所成角的正弦值為.[方法二]：向量法接續(xù)（I)的向量方法，求得平面平面的法向量，又∵,∴，∴直線與平面所成角的正弦值為.[方法三]：幾何法+體積法如圖，設(shè)的中點(diǎn)為F，延長，易證三線交于一點(diǎn)P因?yàn)?，所以直線與平面所成的角，即直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長為2，在中，易得，可得由，得，整理得所以所以直線與平面所成角的正弦值為[方法四]：純體積法設(shè)正方體的棱長為2，點(diǎn)到平面的距離為h，在中，，，所以，易得由，得，解得，設(shè)直線與平面所成的角為，所以【整體點(diǎn)評】（Ⅰ）的方法一使用線面平行的判定定理證明，方法二使用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行證明；（II）第一種方法中使用純幾何方法，適合于沒有學(xué)習(xí)空間向量之前的方法，有利用培養(yǎng)學(xué)生的集合論證和空間想象能力，第二種方法使用空間向量方法，兩小題前后連貫，利用計算論證和求解，定為最優(yōu)解法；方法三在幾何法的基礎(chǔ)上綜合使用體積方法，計算較為簡潔；方法四不作任何輔助線，僅利用正余弦定理和體積公式進(jìn)行計算，省卻了輔助線和幾何的論證，不失為一種優(yōu)美的方法.18、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)，并結(jié)合等比數(shù)列的定義即可求得答案；（2）結(jié)合（1），并通過錯位相減法即可求得答案.【小問1詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，.【小問2詳解】，…①…②①-②得，.19、x-y-4=0或x-y+1="0."【解析】假設(shè)存在，并設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后代入圓的方程得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到根的關(guān)系，最后利用OA⊥OB即x1x2＋y1y2＝0，得到參數(shù)b的方程求解即可試題解析：設(shè)直線l的方程為y＝x＋b①圓C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0．②聯(lián)立①②消去y，得2x2＋2（b＋1）x＋b2＋4b－4＝0設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有③因?yàn)橐訟B為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，所以O(shè)A⊥OB，即x1x2＋y1y2＝0，而y1y2＝（x1＋b）（x2＋b）＝x1x2＋b（x1＋x2）＋b2，所以2x1x2＋b（x1＋x2）＋b2＝0，把③代入：b2＋4b－4－b（b＋1）＋b2＝0，即b2＋3b－4＝0，解得b＝1或b＝－4，故直線l存在，方程是x－y＋1＝0，或x－y－4＝0考點(diǎn)：存在性問題【方法點(diǎn)睛】存在性問題，首先應(yīng)假設(shè)存在，然后去求解．對本題來說具體是：設(shè)出直線方程y＝x＋b，然后分析幾何性質(zhì)得到OA⊥OB即得到關(guān)于參數(shù)b方程求解即可．解該類問題最容易出錯的的地方是，忽視對參數(shù)范圍的考慮，即直線方程與圓的方程聯(lián)立求解后應(yīng)得到，即求出的b值必須滿足b的范圍，否則無解20、（1）選①:外離；選②：相切;（2）【解析】(1)不論選①還是選②，都要首先算出兩圓的圓心距，然后和兩圓的半徑之和或差進(jìn)行比較即可；(2)根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，先計算圓心到直線的距離，然后利用圓心距、半徑、弦長的一半之間的關(guān)系求解.【小問1詳解】選①圓O的圓心為，半徑為l；圓C的圓心為，半徑為因?yàn)閮蓤A的圓心距為，且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外離選②圓O的圓心為，半徑為1．圓C的圓心為，半徑為2因?yàn)閮蓤A的圓心距為．且兩圓的半徑之和為，所以兩圓外切【小問2詳解】因?yàn)辄c(diǎn)C到直線的距離，所以直線被圓C截得的弦長為21、（1）（2）答案見詳解【解析】(1)：把4名男生和2名女生編號后用列舉法寫出任選2名的所有基本事件，同時可得出，兩人是一男一女的基本事件，計數(shù)后可計算概率；(2)：求出兩組數(shù)據(jù)的均值和方差，比較可得【小問1詳解】設(shè)4名男生分別用A，B，C，D表示：2名女生分別用1