2025屆湖北省黃岡市羅田縣第一中學高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題含解析_第1頁
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2025屆湖北省黃岡市羅田縣第一中學高三數(shù)學第一學期期末學業(yè)質量監(jiān)測模擬試題注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.圓錐底面半徑為,高為,是一條母線,點是底面圓周上一點,則點到所在直線的距離的最大值是()A. B. C. D.2.已知復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點的坐標為,則下列結論正確的是()A. B.復數(shù)的共軛復數(shù)是C. D.3.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關于原點對稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當時,函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒有公共點,其中正確命題的序號是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④4.在平面直角坐標系中,經(jīng)過點,漸近線方程為的雙曲線的標準方程為()A. B. C. D.5.已知復數(shù)是純虛數(shù),其中是實數(shù),則等于()A. B. C. D.6.已知函數(shù),.若存在,使得成立,則的最大值為()A. B.C. D.7.函數(shù)的部分圖像大致為()A. B.C. D.8.已知向量,,則與的夾角為()A. B. C. D.9.對于正在培育的一顆種子,它可能1天后發(fā)芽,也可能2天后發(fā)芽,….下表是20顆不同種子發(fā)芽前所需培育的天數(shù)統(tǒng)計表,則這組種子發(fā)芽所需培育的天數(shù)的中位數(shù)是()發(fā)芽所需天數(shù)1234567種子數(shù)43352210A.2 B.3 C.3.5 D.410.如圖,在中,,是上一點,若,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.11.在中,D為的中點,E為上靠近點B的三等分點,且,相交于點P,則()A. B.C. D.12.已知函數(shù)()的最小值為0,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點,則的取值范圍為_____.14.在三棱錐中,三條側棱兩兩垂直,,則三棱錐外接球的表面積的最小值為________.15.設函數(shù),若對于任意的,∈[2,,≠,不等式恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.16.已知雙曲線的左右焦點為,過作軸的垂線與相交于兩點,與軸相交于.若,則雙曲線的離心率為_________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系中,有一個微型智能機器人(大小不計)只能沿著坐標軸的正方向或負方向行進,且每一步只能行進1個單位長度,例如:該機器人在點處時,下一步可行進到、、、這四個點中的任一位置.記該機器人從坐標原點出發(fā)、行進步后落在軸上的不同走法的種數(shù)為.(1)分別求、、的值;(2)求的表達式.18.(12分)為了檢測某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,從生產(chǎn)線上隨機抽取一批零件,根據(jù)其尺寸的數(shù)據(jù)得到如圖所示的頻率分布直方圖,若尺寸落在區(qū)間之外,則認為該零件屬“不合格”的零件,其中,s分別為樣本平均數(shù)和樣本標準差,計算可得(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表).(1)求樣本平均數(shù)的大?。唬?)若一個零件的尺寸是100cm,試判斷該零件是否屬于“不合格”的零件.19.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當時,證明:對任意恒成立.20.(12分)中的內(nèi)角,,的對邊分別是,,,若,.(1)求;(2)若,點為邊上一點,且,求的面積.21.(12分)以坐標原點為極點,軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線的極坐標方程是,直線和直線的極坐標方程分別是()和(),其中().(1)寫出曲線的直角坐標方程;(2)設直線和直線分別與曲線交于除極點的另外點,,求的面積最小值.22.(10分)在三棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面,,M、N分別為、的中點.?(1)證明:;(2)求三棱錐的體積.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】分析:作出圖形,判斷軸截面的三角形的形狀,然后轉化求解的位置,推出結果即可.詳解:圓錐底面半徑為,高為2,是一條母線,點是底面圓周上一點,在底面的射影為;,,過的軸截面如圖:,過作于,則,在底面圓周,選擇,使得,則到的距離的最大值為3,故選:C點睛:本題考查空間點線面距離的求法,考查空間想象能力以及計算能力,解題的關鍵是作出軸截面圖形,屬中檔題.2、D【解析】

首先求得,然后根據(jù)復數(shù)乘法運算、共軛復數(shù)、復數(shù)的模、復數(shù)除法運算對選項逐一分析,由此確定正確選項.【詳解】由題意知復數(shù),則,所以A選項不正確;復數(shù)的共軛復數(shù)是,所以B選項不正確;,所以C選項不正確;,所以D選項正確.故選:D【點睛】本小題考查復數(shù)的幾何意義,共軛復數(shù),復數(shù)的模,復數(shù)的乘法和除法運算等基礎知識;考查運算求解能力,推理論證能力,數(shù)形結合思想.3、A【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點知②錯誤;函數(shù)定義域為,最值點即為極值點,由知③錯誤;令,在和兩種情況下知均無零點,知④正確.【詳解】由題意得:定義域為,,為奇函數(shù),圖象關于原點對稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯誤;,,不是最值,③錯誤;令,當時,,,,此時與無交點;當時,,,,此時與無交點;綜上所述:與無交點,④正確.故選:.【點睛】本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的求解;本題綜合性較強,對于學生的分析和推理能力有較高要求.4、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為,可設所求雙曲線的標準方程為k.再把點代入,求得k的值,可得要求的雙曲線的方程.【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設所求雙曲線的標準方程為k.又在雙曲線上,則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標準方程為故選:B【點睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程,雙曲線的定義和標準方程,以及雙曲線的簡單性質的應用,屬于基礎題.5、A【解析】

對復數(shù)進行化簡,由于為純虛數(shù),則化簡后的復數(shù)形式中,實部為0,得到的值,從而得到復數(shù).【詳解】因為為純虛數(shù),所以,得所以.故選A項【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算,純虛數(shù)的概念,屬于簡單題.6、C【解析】

由題意可知,,由可得出,,利用導數(shù)可得出函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,進而可得出,由此可得出,可得出,構造函數(shù),利用導數(shù)求出函數(shù)在上的最大值即可得解.【詳解】,,由于,則,同理可知,,函數(shù)的定義域為,對恒成立,所以,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,同理可知,函數(shù)在區(qū)間上單調遞增,,則,,則,構造函數(shù),其中,則.當時,,此時函數(shù)單調遞增;當時,,此時函數(shù)單調遞減.所以,.故選:C.【點睛】本題考查代數(shù)式最值的計算,涉及指對同構思想的應用,考查化歸與轉化思想的應用,有一定的難度.7、A【解析】

根據(jù)函數(shù)解析式,可知的定義域為,通過定義法判斷函數(shù)的奇偶性,得出,則為偶函數(shù),可排除選項,觀察選項的圖象,可知代入,解得,排除選項,即可得出答案.【詳解】解:因為,所以的定義域為,則,∴為偶函數(shù),圖象關于軸對稱,排除選項,且當時,,排除選項,所以正確.故選:A.【點睛】本題考查由函數(shù)解析式識別函數(shù)圖象,利用函數(shù)的奇偶性和特殊值法進行排除.8、B【解析】

由已知向量的坐標,利用平面向量的夾角公式,直接可求出結果.【詳解】解:由題意得,設與的夾角為,,由于向量夾角范圍為:,∴.故選:B.【點睛】本題考查利用平面向量的數(shù)量積求兩向量的夾角,注意向量夾角的范圍.9、C【解析】

根據(jù)表中數(shù)據(jù),即可容易求得中位數(shù).【詳解】由圖表可知,種子發(fā)芽天數(shù)的中位數(shù)為,故選:C.【點睛】本題考查中位數(shù)的計算,屬基礎題.10、C【解析】

由題意,可根據(jù)向量運算法則得到(1﹣m),從而由向量分解的唯一性得出關于t的方程,求出t的值.【詳解】由題意及圖,,又,,所以,∴(1﹣m),又t,所以,解得m,t,故選C.【點睛】本題考查平面向量基本定理,根據(jù)分解的唯一性得到所求參數(shù)的方程是解答本題的關鍵,本題屬于基礎題.11、B【解析】

設,則,,由B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,可知,,解得即可得出結果.【詳解】設,則,,因為B,P,D三點共線,C,P,E三點共線,所以,,所以,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量基本定理和向量共線定理的簡單應用,屬于基礎題.12、C【解析】

設,計算可得,再結合圖像即可求出答案.【詳解】設,則,則,由于函數(shù)的最小值為0,作出函數(shù)的大致圖像,結合圖像,,得,所以.故選:C【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質,考查轉化思想,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

兩函數(shù)圖象上存在關于軸對稱的點的等價命題是方程在區(qū)間上有解,化簡方程在區(qū)間上有解,構造函數(shù),求導,求出單調區(qū)間,利用函數(shù)性質得解.【詳解】解:根據(jù)題意,若函數(shù)與的圖象上存在關于軸對稱的點,則方程在區(qū)間上有解,即方程在區(qū)間上有解,設函數(shù),其導數(shù),又由,可得:當時,為減函數(shù),當時,為增函數(shù),故函數(shù)有最小值,又由;比較可得:,故函數(shù)有最大值,故函數(shù)在區(qū)間上的值域為;若方程在區(qū)間上有解,必有,則有,即的取值范圍是;故答案為:;【點睛】本題利用導數(shù)研究函數(shù)在某區(qū)間上最值求參數(shù)的問題,函數(shù)零點問題的拓展.由于函數(shù)的零點就是方程的根,在研究方程的有關問題時,可以將方程問題轉化為函數(shù)問題解決.此類問題的切入點是借助函數(shù)的零點,結合函數(shù)的圖象,采用數(shù)形結合思想加以解決.14、【解析】

設,可表示出,由三棱錐性質得這三條棱長的平方和等于外接球直徑的平方,從而半徑的最小值,得外接球表面積.【詳解】設則,由兩兩垂直知三棱錐的三條棱的棱長的平方和等于其外接球的直徑的平方.記外接球半徑為,∴當時,.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐外接球表面積,解題關鍵是掌握三棱錐的性質:三條側棱兩兩垂直的三棱錐的外接球的直徑的平方等于這三條側棱的平方和.15、【解析】試題分析:由題意得函數(shù)在[2,上單調遞增,當時在[2,上單調遞增;當時在上單調遞增;在上單調遞減,因此實數(shù)a的取值范圍是考點:函數(shù)單調性16、【解析】

由已知可得,結合雙曲線的定義可知,結合,從而可求出離心率.【詳解】解:,,又,則.,,,即解得,即.故答案為:.【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了雙曲線的性質.本題的關鍵是根據(jù)幾何關系,分析出.關于圓錐曲線的問題,一般如果能結合幾何性質,可大大減少計算量.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),,,(2)【解析】

(1)根據(jù)機器人的進行規(guī)律可確定、、的值;(2)首先根據(jù)機器人行進規(guī)則知機器人沿軸行進步,必須沿軸負方向行進相同的步數(shù),而余下的每一步行進方向都有兩個選擇(向上或向下),由此結合組合知識確定機器人的每一種走法關于的表達式,并得到的表達式,然后結合二項式定理及展開式的通項公式進行求解.【詳解】解:(1),,(2)設為沿軸正方向走的步數(shù)(每一步長度為1),則反方向也需要走步才能回到軸上,所以,1,2,……,,(其中為不超過的最大整數(shù))總共走步,首先任選步沿軸正方向走,再在剩下的步中選步沿軸負方向走,最后剩下的每一步都有兩種選擇(向上或向下),即等價于求中含項的系數(shù),為其中含項的系數(shù)為故.【點睛】本題考查組合數(shù)、二項式定理,考查學生的邏輯推理能力,推理論證能力以及分類討論的思想.18、(1)66.5(2)屬于【解析】

(1)利用頻率分布直方圖的平均數(shù)公式求解;(2)求出,即可判斷得解.【詳解】(1)(2)所以該零件屬于“不合格”的零件【點睛】本題主要考查頻率分布圖中平均數(shù)的計算和應用,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.19、(1)(2)見解析【解析】

(1)因為,可得,即可求得答案;(2)要證對任意恒成立,即證對任意恒成立.設,,當時,,即可求得答案.【詳解】(1),,,函數(shù)在處的切線方程為.(2)要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設,,當時,,,令,解得,當時,,函數(shù)在上單調遞減;當時,,函數(shù)在上單調遞增.,,,當時,對任意恒成立,即當時,對任意恒成立.【點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式恒成立問題,解題關鍵是掌握由導數(shù)求切線方程的解法和根據(jù)導數(shù)求證不等式恒成立的方法,考查了分析能力和計算能力,屬于難題.20、(1)(2)10【解析】

(1)由二倍角的正弦公式以及正弦定理,可得,再根據(jù)

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