西南交通大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題含解析

西南交通大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末調(diào)研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓的方程為，直線：恒過定點，若一條光線從點射出，經(jīng)直線上一點反射后到達圓上的一點，則的最小值是（）A.3 B.4C.5 D.62．如圖，我市某地一拱橋垂直軸截面是拋物線，已知水利人員在某個時刻測得水面寬，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為（）A. B.C. D.3．某手機上網(wǎng)套餐資費：每月流量500M以下（包含500M），按20元計費；超過500M，但沒超過1000M（包含1000M）時，超出部分按0.15元/M計費；超過1000M時，超出部分按0.2元/M計費，流量消費累計的總流量達到封頂值（15GB）則暫停當(dāng)月上網(wǎng)服務(wù).若小明使用該上網(wǎng)套餐一個月的費用是100元，則他的上網(wǎng)流量是（）A.800M B.900MC.1025M D.1250M4．設(shè)，，若，其中是自然對數(shù)底，則（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B.C. D.6．已知實數(shù)，滿足則的最大值為（）A.-1 B.0C.1 D.27．已知矩形，為平面外一點，且平面，，分別為，上的點，且，，，則（）A. B.C.1 D.8．設(shè)為數(shù)列的前n項和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.59．若點在橢圓上，則該橢圓的離心率為（）A. B.C. D.10．已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.11．某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著A車和B車，同時進來C，D兩車．在C，D不相鄰的情況下，C和D至少有一輛與A和B車相鄰的概率是（）A. B.C. D.12．已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則()A.在上為減函數(shù) B.在處取極小值C.在上為減函數(shù) D.在處取極大值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若向量滿足，則_________.14．已知雙曲線的兩條漸近線的夾角為，則_______15．在長方體中，若，，則異面直線與所成角的大小為______.16．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓，離心率為，橢圓上任一點滿足（1）求橢圓的方程；（2）若動直線與橢圓相交于、兩點，若坐標(biāo)原點總在以為直徑的圓外時，求的取值范圍.18．（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是矩形，且平面平面，，點是線段上的動點（1）證明：；（2）設(shè)平面與平面的夾角為，求的最小值19．（12分）設(shè)：實數(shù)滿足，：實數(shù)滿足（1）當(dāng)時，若與均為真命題，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，若是的必要條件，求實數(shù)的取值范圍20．（12分）二項式展開式中第五項的二項式系數(shù)是第三項系數(shù)的4倍.求：（1）；（2）展開式中的所有的有理項.21．（12分）某企業(yè)新研發(fā)了一種產(chǎn)品，產(chǎn)品的成本由原料成本及非原料成本組成.每件產(chǎn)品的非原料成本（元）與生產(chǎn)該產(chǎn)品的數(shù)量（千件）有關(guān)，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根據(jù)以上數(shù)據(jù)繪制了散點圖觀察散點圖，兩個變量間關(guān)系考慮用反比例函數(shù)模型和指數(shù)函數(shù)模型分別對兩個變量的關(guān)系進行擬合.已求得用指數(shù)函數(shù)模型擬合的回歸方程為，與x的相關(guān)系數(shù).（1）用反比例函數(shù)模型求y關(guān)于x的回歸方程；（2）用相關(guān)系數(shù)判斷上述兩個模型哪一個擬合效果更好（精確到0.001），并用其估計產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品非原料成本；（3）根據(jù)企業(yè)長期研究表明，非原料成本y服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)作為的估計值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計值，若非原料成本y在之外，說明該成本異常，并稱落在之外的成本為異樣成本，此時需尋找出現(xiàn)異樣成本的原因.利用估計值判斷上述非原料成本數(shù)據(jù)是否需要尋找出現(xiàn)異樣成本的原因？參考數(shù)據(jù)（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，相關(guān)系數(shù).22．（10分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一種房子，建造和搬遷都很方便，適于游牧生活.其結(jié)構(gòu)如圖所示，上部分是側(cè)棱長為3的正六棱錐，下部分是高為1的正六棱柱，分別為正六棱柱上底面與下底面的中心.（1）若長為，把蒙古包的體積表示為的函數(shù)；（2）求蒙古包體積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求得定點，然后得到關(guān)于直線對稱點為，然后可得，計算即可.【詳解】直線可化為，令解得所以點的坐標(biāo)為.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則由,解得,所以點坐標(biāo)為.由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，，，四點共線時等號成立），所以的最小值為4.故選:B.2、D【解析】代入計算即可.【詳解】設(shè)B點的坐標(biāo)為，由拋物線方程得，則此時刻拱橋的最高點到水面的距離為2米.故選：D3、C【解析】根據(jù)已知條件列方程，化簡求得小明的上網(wǎng)流量.【詳解】顯然小明上網(wǎng)流量超過了1000M但遠遠沒達到封頂值，假設(shè)超出部分為M，由得.故選：C4、A【解析】利用函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項.【詳解】令，因為均為，故為上的增函數(shù)，由可得，故，故選：A.5、A【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再求出，然后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，于是得：，即，所以曲線在點處的切線方程為.故選：A6、D【解析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可得到結(jié)果【詳解】由約束條件畫出可行域如圖，化目標(biāo)函數(shù)為，由圖可知當(dāng)直線過點時，直線在軸上的截距最小，取得最大值2.故選：D7、B【解析】由，，得，然后利用向量的加減法法則把向量用向量表示出來，可求出的值，從而可得答案【詳解】解：因為，，所以所以,因為，所以，所以，故選：B8、B【解析】由已知條件可得數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，然后根據(jù)結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數(shù)列為首項為2，公差為2的等差數(shù)列，因為，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B9、C【解析】根據(jù)給定條件求出即可計算橢圓的離心率.【詳解】因點在橢圓，則，解得，而橢圓長半軸長，所以橢圓離心率.故選：C10、A【解析】不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，設(shè)點，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】不妨設(shè)橢圓的焦點在軸上，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，設(shè)點，則，且有，所以，.故選：A.11、B【解析】先求出基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，由此能求出和至少有一輛與和車相鄰的概率【詳解】解：某公司門前有一排9個車位的停車場，從左往右數(shù)第三個，第七個車位分別停著車和車，同時進來，兩車，在，不相鄰的條件下，基本事件總數(shù)，和至少有一輛與和車相鄰的對立事件是和都不與和車相鄰，和至少有一輛與和車相鄰的概率：故選：B12、C【解析】首先利用導(dǎo)函數(shù)的圖像求和的解，進而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點.【詳解】由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知:當(dāng)時，或；當(dāng)時，或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為和，故在處取得極大值，在處取得極小值，在處取得極大值.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案【詳解】∵∴∴.故答案為：.14、或【解析】首先判斷漸近線的傾斜角，再求的值.【詳解】由條件可知雙曲線的其中一條漸近線方程是，因為兩條漸近線的夾角是，所以直線的傾斜角是或，即或.故答案為：或15、【解析】畫出長方體,再將異面直線與利用平行線轉(zhuǎn)移到一個三角形內(nèi)求解角度即可.【詳解】畫出長方體可得異面直線與所成角為與之間的夾角,連接.則因為,則,又,故,又,故為等腰直角三角形,故,即異面直線與所成角的大小為故答案為【點睛】本題主要考查立體幾何中異面直線的角度問題,一般的處理方法是將異面直線經(jīng)過平行線的轉(zhuǎn)換構(gòu)成三角形求角度,屬于基礎(chǔ)題型.16、【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，，可得，得，即，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，上式取得等號，可得的最小值為故答案為：【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】（1）由已知計算可得即可得出方程.（2）由已知可得聯(lián)立方程，結(jié)合韋達定理計算即可得出結(jié)果.【小問1詳解】依題得解得：橢圓的方程為.【小問2詳解】由已知動直線與橢圓相交于、，設(shè)聯(lián)立得：解得：，即：或（*）坐標(biāo)原點總在以為直徑的圓外則：,即將（*）代入此式，解得：，即或或18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）要證，只需證平面，只需證（由勾股定理可證），，只需證平面，只需證（由平面平面可證），（由可證），即可證明結(jié)論.（2）以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系寫出點與點的坐標(biāo)由于軸，可設(shè)，可得出與的坐標(biāo)設(shè)為平面的法向量，求出法向量.是關(guān)于的一個式子，求出的取值范圍，即可求出的最小值【小問1詳解】在中，，，，所以，所以所以是等腰直角三角形，即因為，所以又因為平面平面，平面平面，，所以平面又平面，所以又因為，EC，平面所以平面又平面，所以，所以在中，，，所以所以又因為，，所以，所以又，，平面所以平面又平面，所以【小問2詳解】以為原點，所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，因為軸，可設(shè)，可求得，設(shè)為平面的法向量則令，解得，所以又因為是平面的法向量所以，因為，所以所以當(dāng)時，取到最小值19、（1）；（2）.【解析】（1）將代入，解一元二次不等式求兩集合的交集即可求解.（2）求出：，根據(jù)題意可得轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，：，：或.因為，中都是真命題.所以所以實數(shù)的取值范圍是；（2）當(dāng)時，：，：或，所以：，因為是的必要條件，所以，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.20、（1）6；（2），，【解析】（1）先得到二項展開式的通項，再根據(jù)第五項的二項式系數(shù)是第三項系數(shù)的4倍，建立方程求解.（2）根據(jù)（1）的通項公式求解.【詳解】（1）二項展開式的通項.依題意得，，所以，解得.（2）由（1）得，當(dāng)，3，6時為有理項，故有理有，，.【點睛】本題主要考查二項式定理的通項公式，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）（2）反比例函數(shù)模型擬合效果更好，產(chǎn)量為10千件時每件產(chǎn)品的非原料成本約為11元，（3）見解析【解析】（1）令，則可轉(zhuǎn)化為，求出樣本中心，回歸方程的斜率，轉(zhuǎn)化求回歸方程即可，（2）求出與的相關(guān)系數(shù)，通過比較，可得用反比例函數(shù)模型擬合效果更好，然后將代入回歸方程中可求結(jié)果（3）利用已知數(shù)據(jù)求出樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，從而可得非原料成本y服從正態(tài)分布，再計算，然后各個數(shù)據(jù)是否在此范圍內(nèi)，從而可得結(jié)論【小問1詳解】令，則可轉(zhuǎn)化為，因為，所以，所以，所以，所以y關(guān)于x的回歸方程為【小問2詳解】與的相關(guān)系數(shù)為因為，