廣東省肇慶市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

廣東省肇慶市2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．天文學(xué)家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)：同一平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是卡西尼卵形線(xiàn).在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)定點(diǎn)為，，，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足(且為常數(shù))，化簡(jiǎn)得曲線(xiàn)E：.當(dāng)，時(shí)，關(guān)于曲線(xiàn)E有下列四個(gè)命題：①曲線(xiàn)E既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形；②的最大值為；③的最小值為；④面積的最大值為.其中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)2．圓與圓的位置關(guān)系為（）A.內(nèi)切 B.外切C.相交 D.相離3．已知空間四邊形，其對(duì)角線(xiàn)、，、分別是邊、的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且使，用向量，表示向量是A. B.C. D.4．設(shè)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且.則的面積為（）A.6 B.C.8 D.5．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.6．已知雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為10，則該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為（）A. B.C. D.7．設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為、，則由，可得.類(lèi)比上述方法：設(shè)實(shí)系數(shù)一元三次方程在復(fù)數(shù)集C內(nèi)的根為，則的值為A.﹣2 B.0C.2 D.48．在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿(mǎn)足的概率為（）A. B.C. D.9．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.10．直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.11．4位同學(xué)報(bào)名參加四個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（）A.24種 B.81種C.64種 D.256種12．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中為虛數(shù)單位，則的共軛復(fù)數(shù)為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．假設(shè)要考查某公司生產(chǎn)的袋裝牛奶的質(zhì)量是否達(dá)標(biāo)，現(xiàn)從800袋牛奶中抽取60袋進(jìn)行檢驗(yàn)，利用隨機(jī)數(shù)法抽取樣本時(shí)，先將800袋牛奶按000，001，，799進(jìn)行編號(hào)，若從隨機(jī)數(shù)表第7行第8列的數(shù)開(kāi)始向右讀，則得到的第4個(gè)的樣本個(gè)體的編號(hào)是______（下面摘取了隨機(jī)數(shù)表第7行到第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955667199810507175128673580744395238793321123429786456078252420744381551001342996602795414．根據(jù)某市有關(guān)統(tǒng)計(jì)公報(bào)顯示，隨著“一帶一路”經(jīng)貿(mào)合作持續(xù)深化，該市對(duì)外貿(mào)易近幾年持續(xù)繁榮，2017年至2020年每年進(jìn)口總額（單位：千億元）和出口總額（單位：千億元）之間的一組數(shù)據(jù)如下：2017年2018年2019年2020年若每年的進(jìn)出口總額，滿(mǎn)足線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系，則______；若計(jì)劃2022年出口總額達(dá)到千億元，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為_(kāi)_____億元15．若數(shù)列滿(mǎn)足，，則__________16．若正數(shù)x、y滿(mǎn)足，則的最小值等于________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知圓過(guò)點(diǎn)且與圓外切于點(diǎn)，直線(xiàn)將圓分成弧長(zhǎng)之比為的兩段圓弧（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線(xiàn)的斜率18．（12分）已知直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為（1）求直線(xiàn)的一般式方程（2）求與直線(xiàn)平行，且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的一般式方程（3）求與直線(xiàn)垂直，且過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)的一般式方程19．（12分）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)性；（2）若對(duì)，不等式在上恒成立，求的取值范圍.20．（12分）已知幾何體中，平面平面，是邊長(zhǎng)為4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值21．（12分）已知函數(shù)，（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍22．（10分）某話(huà)劇表演小組由名學(xué)生組成，若從這名學(xué)生中任意選取人，其中恰有名男生的概率是.（1）求該小組中男、女生各有多少人？（2）若這名學(xué)生站成一排照相留念，求所有排法中男生不相鄰的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】①：根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)圖形、中心對(duì)稱(chēng)圖形的方程特征進(jìn)行判斷即可；②：結(jié)合兩點(diǎn)間距離公式、曲線(xiàn)方程特征進(jìn)行判斷即可；③：根據(jù)卡西尼卵形線(xiàn)的定義，結(jié)合基本不等式進(jìn)行判斷即可；④：根據(jù)方程特征，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行判斷即可.【詳解】當(dāng)，時(shí)，.①：因?yàn)橐源匠滩蛔?，以代方程不變，同時(shí)代，以代方程不變，所以曲線(xiàn)E既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，因此本命題正確；②：由，所以有，所以，當(dāng)時(shí)成立，因此本命題正確；③：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，因此本命題正確；④：，因?yàn)?，所以，的面積為，因此本命題正確，故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用方程特征進(jìn)行求解判斷是解題的關(guān)鍵.2、B【解析】求出兩圓的圓心距與半徑之和、半徑之差比較大小即可得出正確答案.【詳解】由可得圓心為，半徑，由可得圓心為，半徑，所以圓心距為，所以?xún)蓤A相外切，故選：B.3、C【解析】根據(jù)所給的圖形和一組基底，從起點(diǎn)出發(fā)，把不是基底中的向量，用是基底的向量來(lái)表示，就可以得到結(jié)論【詳解】解：故選：【點(diǎn)睛】本題考查向量的基本定理及其意義，解題時(shí)注意方法，即從要表示的向量的起點(diǎn)出發(fā)，沿著空間圖形的棱走到終點(diǎn)，若出現(xiàn)不是基底中的向量的情況，再重復(fù)這個(gè)過(guò)程，屬于基礎(chǔ)題4、B【解析】利用橢圓的幾何性質(zhì)，得到，，進(jìn)而利用得出，進(jìn)而可求出【詳解】解：由橢圓的方程可得，所以，得且，，在中，由余弦定理可得，而，所以，，又因?yàn)?，，所以，所以，故選：B5、A【解析】先由等面積法求得的長(zhǎng)，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線(xiàn)面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線(xiàn)與平面所成的角的余弦值為，故選：6、B【解析】利用雙曲線(xiàn)的實(shí)軸長(zhǎng)為，求出，即可求出該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率.【詳解】由題意，，所以，，所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的斜率為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線(xiàn)的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7、A【解析】用類(lèi)比推理得到，再用待定系數(shù)法得到，，再根據(jù)求解.【詳解】，由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等得：，.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查合情推理以及待定系數(shù)法，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.8、C【解析】求解不等式，利用幾何概型的概率計(jì)算公式即可容易求得.【詳解】求解不等式可得：，由幾何概型的概率計(jì)算公式可得：在區(qū)間內(nèi)隨機(jī)取一個(gè)數(shù)則該數(shù)滿(mǎn)足的概率為.故選：.9、B【解析】將代數(shù)式展開(kāi)，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.因此，的最小值為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時(shí)要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于中等題.10、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線(xiàn)的傾斜角求解出的長(zhǎng)度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，如下圖：因?yàn)橐跃€(xiàn)段為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，所以且，所以，又因?yàn)榈膬A斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，故選：D.11、D【解析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.【詳解】每位同學(xué)均有四種選擇，故不同的報(bào)名方法有種.故選：D12、D【解析】由復(fù)數(shù)除法求得后可得其共軛復(fù)數(shù)【詳解】由題意，∴故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法依次列舉出來(lái)即可.【詳解】根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法最先檢測(cè)的3袋牛奶編號(hào)為：331、572、455、068.故答案為：068.14、①.1.6②.3.65千##3650【解析】根據(jù)給定數(shù)表求出樣本中心點(diǎn)，代入即可求得，取可求出該年進(jìn)口總額.【詳解】由數(shù)表得：，，因此，回歸直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，由，解得，此時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即，解得，所以，預(yù)計(jì)該年進(jìn)口總額為千億元.故答案為：1.6；3.65千15、7【解析】根據(jù)遞推公式，依次求得值.【詳解】依題意，由，可知，故答案為：716、9【解析】把要求的式子變形為，利用基本不等式即可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，屬于難題.利用基本不等式求最值時(shí)，一定要正確理解和掌握“一正，二定，三相等”的內(nèi)涵：一正是，首先要判斷參數(shù)是否為正；二定是，其次要看和或積是否為定值（和定積最大，積定和最小）；三相等是，最后一定要驗(yàn)證等號(hào)能否成立（主要注意兩點(diǎn)，一是相等時(shí)參數(shù)否在定義域內(nèi)，二是多次用或時(shí)等號(hào)能否同時(shí)成立）.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）分析可知圓心在軸上，可設(shè)圓心，根據(jù)圓過(guò)點(diǎn)、可得出關(guān)于的方程，求出的值，可得出圓心的坐標(biāo)，進(jìn)而可求得圓的半徑，即可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）利用幾何關(guān)系可求得圓心到直線(xiàn)的距離為，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可求得的值.【小問(wèn)1詳解】解：圓的圓心為，記點(diǎn)、，直線(xiàn)即為軸，因?yàn)閳A與圓外切于點(diǎn)，則圓心在軸上，設(shè)圓心，由可得，解得，則圓心，所以，圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意可知，直線(xiàn)截圓所得的弦在圓上對(duì)應(yīng)的圓心角為，則圓心到直線(xiàn)的距離為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得，解得.18、（1）（2）（3）【解析】（1）先寫(xiě)點(diǎn)斜式方程，再化一般式，（2）根據(jù)平行設(shè)一般式，再代點(diǎn)坐標(biāo)得結(jié)果，（3）根據(jù)垂直設(shè)一般式，再代點(diǎn)坐標(biāo)得結(jié)果.【詳解】(1)(2)設(shè)所求方程為因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以(3)設(shè)所求方程為因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.19、（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）【解析】（1）求導(dǎo)可得，分析正負(fù)即得解；（2）轉(zhuǎn)化在上恒成立為，分析函數(shù)單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為f(1)≤1f(-1)≤1，求解即可【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，令，解得，，當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表：↘極小值↗極大值↘極小值↗所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為，【小問(wèn)2詳解】由條件可知，從而恒成立當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因此函數(shù)在上的最大值是與兩者中的較大者為使對(duì)任意的，不等式在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)f(1)≤1f(-1)≤1即在上恒成立所以，因此滿(mǎn)足條件的的取值范圍是20、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)定理、線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）證明：連接，交于點(diǎn)，∵四邊形是菱形，∴，∵平面平面，平面平面，，∴平面，∵平面，∴，又，、平面，∴平面，∵平面，∴（2）解：取的中點(diǎn)，連接，∵是邊長(zhǎng)為4的菱形，，∴，，以為原點(diǎn)，，，所在直線(xiàn)分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，∴，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，∴，同理可得，平面的一個(gè)法向量為，∴，由圖知，平面與平面所成角為銳角，故平面與平面所成角余弦值為21、（1）；（2）.【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算，，求出切線(xiàn)方程即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)函數(shù)求出的最大值，求出的范圍即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋?，則切線(xiàn)的斜率為，又因?yàn)?，則切點(diǎn)為，所以曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，即【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，