河北省尚義縣第一中學(xué)等學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月段考數(shù)學(xué)試卷

河北省尚義縣第一中學(xué)等學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月段考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.(5分)在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)關(guān)于平面Oxz對(duì)稱的點(diǎn)是()A. B. C. D.2.(5分)已知,且與共線,則的坐標(biāo)是()A. B. C. D.3.(5分)一組樣本數(shù)據(jù)為6,11,12,17,19,則錯(cuò)誤的選項(xiàng)為()A.該組數(shù)據(jù)的極差為25 B.該組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)為17C.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16D.若該組數(shù)據(jù)去掉一個(gè)數(shù)得到一組新數(shù)據(jù),則這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)可能相等4.(5分)在三棱柱中,()A. B. C. D.5.(5分)若空間中有三點(diǎn),則點(diǎn)到平面ABC的距離為()A. B. C. D.6.(5分)已知點(diǎn),又點(diǎn)在平面ABC內(nèi)()A.1 B.2 C.3 D.47.(5分)如圖,二面角等于是棱上兩點(diǎn),,且()A. B. C. D.8.(5分)已知四棱錐平面BCDE,底面EBCD是為直角,如圖所示,且,點(diǎn)為AD的中點(diǎn)()A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。(多選)9.(6分)下列利用方向向量、法向量判斷直線、平面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是()A.若兩個(gè)不重合的平面法向量平行,則這兩個(gè)平面平行B.若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行C.兩條不重合直線的方向向量分別是,則D.直線的方向向量，平面的法向量是，則(多選)10.(6分)下列說法正確的是()A.向量與向量共面B.若與共面,則,使得C.若是空間的一個(gè)基底，則能構(gòu)成空間一個(gè)基底D.若，則P,M,A,B共面，反之不正確11.(6分)棱長(zhǎng)為1的正方體中,點(diǎn)在棱CD上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)在側(cè)面上運(yùn)動(dòng),滿足平面,則()A.點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上 B.點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線上C.線段PQ的最小值為 D.線段PQ的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(5分)已知平面的一個(gè)法向量為,點(diǎn)是平面上的一點(diǎn)(-3，)到平面的距離為______________。13.(5分)如圖，兩個(gè)開關(guān)串聯(lián)再與開關(guān)并聯(lián)，在某段時(shí)間內(nèi)每個(gè)開關(guān)能夠閉合的概率都是0.5，計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率為____________.14.(5分)空間直角坐標(biāo)系中,經(jīng)過點(diǎn)且法向量為的平面方程為,經(jīng)過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為，閱讀上面的材料并解決下面問題：現(xiàn)給出平面的方程為,經(jīng)過的直線的方程為,直線與平面所成角的正弦值最大時(shí),平面的方程為____________.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.(13分)在第29個(gè)“世界讀書日”到來之際,樹人中學(xué)舉辦了讀書知識(shí)競(jìng)賽,現(xiàn)從參加競(jìng)賽的同學(xué)中(百分制，均為整數(shù))分成六組：第1組)，第3組[60，第4組，第6組[90,得到如圖所示的頻率分布直方圖。(1)求的值,并估計(jì)這100名學(xué)生成績(jī)的第85百分位數(shù)(保留一位小數(shù));(2)若先用分層抽樣方法從得分在[40，50)和[50，60)的學(xué)生中抽取5人，調(diào)查其讀書情況，求此2人得分不在同一組的概率.16.(15分)如圖,在四棱錐中,底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且與的夾角都等于在棱PD上,,設(shè).(1)試用表示向量;(2)求與的夾角.17.(15分)如圖,在長(zhǎng)方體中,.(1)證明:平面;(2)求到平面的距離.18.(17分)如圖1,等腰中,底分別為AB、AC的中點(diǎn),為DE的中點(diǎn)的位置,使得平面平面BCED,如圖2.(1)求證:平面BCED；(2)F為線段上靠近的三等分點(diǎn),求平面BDF與平面BCED夾角的余弦值.19.(17分)如圖,已知四棱臺(tái)的上、下底面分別是邊長(zhǎng)為2和4的正方形,,且底面ABCD,點(diǎn)P、Q分別是棱的中點(diǎn).(1)在底面ABCD內(nèi)是否存在點(diǎn),滿足平面CPQ?若存在,請(qǐng)說明點(diǎn)的位置,若不存在;(2)設(shè)平面CPQ交棱于點(diǎn),平面CPTQ將四棱臺(tái)分成上,下兩部分,求CT與平面所成角的正弦值.

參考答案與試題解析一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.C【分析】根據(jù)已知條件,結(jié)合空間點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì),即可求解.【解答】解:點(diǎn)的坐標(biāo)為,則點(diǎn)關(guān)于平面Oxz對(duì)稱的點(diǎn)是.故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì),是基礎(chǔ)題.2.B【分析】直接利用共線向量建立方程組,進(jìn)一步求出結(jié)果.【解答】解：由于,且與共線,故必存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，故.故.故選:B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：向量的共線，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題.3.B【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合極差、百分位數(shù)的定義，平均數(shù)公式，即可求解.【解答】解：該組數(shù)據(jù)的極差為，故正確；樣本數(shù)據(jù)為6,11,16,19,共2個(gè),故該組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為19，故B錯(cuò)誤；該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為;當(dāng)去掉的數(shù)為16時(shí)，剛好為該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故正確.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查極差、百分位數(shù)的定義，平均數(shù)公式，是基礎(chǔ)題。4.C【分析】根據(jù)向量的加法或減法法則即可得.【解答】解：三棱柱中，故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的表示，屬于基礎(chǔ)題。5.D【分析】求出平面ABC的法向量，然后利用空間點(diǎn)面距離公式可得答案.【解答】解:,設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為,由,得，令,得,所以,則點(diǎn)到平面ABC的距離為.故選:D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法求點(diǎn)到平面的距離,屬于中檔題.6.C【分析】直接利用共面向量基本定理建立方程組,進(jìn)一步求出結(jié)果.【解答】解:點(diǎn)A(13,-1,B(2,3,C(5,7,又點(diǎn),所以,由于A、B、C、P四點(diǎn)共面,故,解得.故.故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn):向量的共面,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.7.A【分析】依題意,可得,再由空間向量的模長(zhǎng)計(jì)算公式,代入求解即可.【解答】解：由二面角的平面角的定義知,所以,由,得,又因?yàn)?所以,所以,即CD.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查二面角的定義,空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.8.A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法求解即可.【解答】解；由題意知，BE，所以,故以為原點(diǎn),EB,EA所在的直線分別為,建立如圖空間直角坐標(biāo)系,則A(0,0,5),0,0),C(),D(),得,所以,令,則,所以到直線BC的距離為.故選:A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9.ABC【分析】根據(jù)題意，由平面法向量的定義分析，由直線方向向量的定義分析B、C，由直線與平面的位置關(guān)系分析D，綜合可得答案.【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，由平面法向量的定義，則這兩個(gè)平面平行；對(duì)于，由直線方向向量的定義，則兩直線不平行；對(duì)于，由于，則，故正確；對(duì)于，由于，則，故或.故選：ABC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的應(yīng)用，涉及直線的方向向量、平面法向量的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.【分析】直接利用共面向量基本定理和向量的基底的定義判斷A、B、C、D的結(jié)論.【解答】解：對(duì)于：向量與向量，故共面;對(duì)于：由于與共面，一定存在，故正確；對(duì)于：若是空間的一個(gè)基底，令，則能構(gòu)成空間一個(gè)基底;對(duì)于:若,則P,M,A,反之也成立.故選:ABC.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn):共面向量,向量的基底,主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力,屬于中檔題.11.D【分析】建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系,設(shè),求出點(diǎn)的坐標(biāo),用坐標(biāo)法表示向量,根據(jù)線面垂直得到方程組,求出,可判斷點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線或上,從而求出,即可得到線段PQ的最小值.【解答】解：如圖建立以為坐標(biāo)原點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則,所以,因?yàn)樯掀矫?所以,可得,由可知點(diǎn)在側(cè)面對(duì)角線或上,故AB不一定正確;可得,可得，所以,可得,故當(dāng)時(shí),,故正確.故選:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面垂直的性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合思想，關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)出空間坐標(biāo)系，將需要點(diǎn)用坐標(biāo)表示，利用向量與面垂直可求得方程組，解方程組即可求得結(jié)果.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.【分析】利用向量法結(jié)合公式,即可求解.【解答】解：由題意可知，根據(jù)點(diǎn)到平面的距離為.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.13.0.625【分析】在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的對(duì)立事件是開關(guān)沒閉,同時(shí)兩個(gè)開關(guān)不能同時(shí)閉合,由此能求出在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率.【解答】解：在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的對(duì)立事件是：開關(guān)沒閉,同時(shí)兩個(gè)開關(guān)不能同時(shí)閉合,在這段時(shí)間內(nèi)線路正常工作的概率為:.故答案為:0.625.【點(diǎn)評(píng)】本題考查概率的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意對(duì)立事件概率公式的合理運(yùn)用.14.【分析】根據(jù)題設(shè)確定平面的法向量、直線的方向向量,應(yīng)用向量法求線面角的正弦值可得,結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求解.【解答】解:由題設(shè)知:平面的法向量,直線的方向向量,且平面與直線相交于,所以直線與平面所成角的正弦值為:對(duì)于二次函數(shù),其是圖象一條開口向上的拋物線,當(dāng)時(shí),函數(shù)取到最小值,且最小值為,此時(shí)直線與平面所成角的正弦值取到最大值，最大值為,對(duì)應(yīng)平面的方程為.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.【分析】(1)利用頻率和為1可求出的值,首先確定第85百分位數(shù)位于[90,100],設(shè)其為,由,即可求得結(jié)果;(2)利用分層抽樣知，在[40，50)內(nèi)的人數(shù)為2人，在[50，60)內(nèi)的人數(shù)為3人，利用列舉法結(jié)合古典概型即可求解.【解答】解：(1)由頻率分布直方圖可得：,解得,因?yàn)槌煽?jī)?cè)赱40,90)的頻率為,所以第85百分位數(shù)位于[90,100],則,解得,所以第85百分位數(shù)約為90.8;(2)由頻率分布直方圖可知：得分在[40，50)和[50,采用分層抽樣知,抽取的5人,在[50,設(shè)分?jǐn)?shù)在內(nèi)的2人為,分?jǐn)?shù)在內(nèi)的3人為,則在這3人中抽取2人的情況有:，,共有10種情況,其中得分不在同一組的2人有:,有6種情況，所以概率為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用,考查了古典概型的概率公式,屬于中檔題.16.【分析】(1)由題設(shè)條件,利用空間向量的線性運(yùn)算表示向量即可;(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，利用空間向量的模長(zhǎng)公式，結(jié)合題設(shè)，求得和的值，最后代入空間向量的夾角公式計(jì)算可得答案.【解答】解：(1);(2)因?yàn)?.所以,所以,因?yàn)?所以與的夾角為。【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的線性運(yùn)算,屬于中檔題.17.【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo),再利用空間位置關(guān)系的向量證明推理即得;(2)利用(1)中坐標(biāo)系,求出平面的法向量,再利用點(diǎn)到面的距離公式求解即可.【解答】解：(1)證明：在長(zhǎng)方體中,以為坐標(biāo)原點(diǎn),向量,分別為x,y,建立空間直角坐標(biāo)系,則D(6,0,0),4,0),4,7),4,0),3,0),D1(5,0,6),C8(0,4,4),所以,,,所以,又因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面;(2)設(shè)平面的法向量為，到平面的距離為,由,所以，令,可求得,則,所以.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面垂直的判定,以及向量法的應(yīng)用,屬于中檔題.18.【分析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)定理可得答案;(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BDF、平面BCED的一個(gè)法向量,根據(jù)法向量夾角余弦值求解.【解答】解：(1)證明：因?yàn)闉镈E的中點(diǎn),因?yàn)槠矫嫫矫鍮CED,平面平面,C平面,所以平面BCED;(2)如圖:由(1)知平面BCED,取BC的中點(diǎn),則,以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?所以,可得,由得,則,設(shè),則,即,令,所以,為平面BCED的一個(gè)法向量,所以,由圖可得平面BDF與平面BCDE夾角的余弦值為.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間位置關(guān)系,屬于中檔題.19.【分析】(1)根據(jù)題意建系,求出相關(guān)點(diǎn)和相關(guān)向量的坐標(biāo),通過線線垂直建立方程組,即可求得點(diǎn)的坐標(biāo),得出結(jié)論;(2)按(1)建系,利用C,P,T,Q四點(diǎn)共面求得點(diǎn)坐標(biāo),再利用空間向量的夾角公式計(jì)算即得.【解答】解:(1)因?yàn)榈酌鍭BCD,