高中數(shù)學(xué) 2.5直線與圓錐曲線同步訓(xùn)練 新人教B版選修2-1

§2.5直線與圓錐曲線一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)1．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的離心率為eq\f(\r(3),2).雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為 ()A.eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1 B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,6)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(x2,20)＋eq\f(y2,5)＝12．已知雙曲線C：x2－y2＝1，F(xiàn)是其右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線l只與雙曲線的右支有唯一的交點(diǎn)，則直線l的斜率等于 ()A．1B．－1C．±1D．±23．雙曲線eq\f(y2,b2)－eq\f(x2,a2)＝1(a，b>0)的一條漸近線與橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)交于點(diǎn)M、N，則|MN|等于 ()A．a(chǎn)＋b B.eq\r(2)aC.eq\r(2a2＋b2) D.eq\r(2a2－b2)4．過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|AB|＝________.5．過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2＝2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程為_(kāi)_________________．二、能力提升6．已知m，n為兩個(gè)不相等的非零實(shí)數(shù)，則方程mx－y＋n＝0與nx2＋my2＝mn所表示的曲線可能是 ()7．已知M(a,2)是拋物線y2＝2x上的一定點(diǎn)，直線MP、MQ的傾斜角之和為π，且分別與拋物線交于P、Q兩點(diǎn)，則直線PQ的斜率為 ()A．－eq\f(1,4)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,2)8．對(duì)于拋物線C：y2＝4x，我們稱滿足yeq\o\al(2,0)<4x0的點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，若點(diǎn)M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，則直線l：y0y＝2(x＋x0)與C ()A．恰有一個(gè)公共點(diǎn)B．恰有兩個(gè)公共點(diǎn)C．可能有一個(gè)公共點(diǎn)也可能有兩個(gè)公共點(diǎn)D．沒(méi)有公共點(diǎn)9．若傾斜角為eq\f(π,4)的直線交橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1于A，B兩點(diǎn)，則線段AB的中點(diǎn)的軌跡方程是________________________________________________________________________．10．在橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1上求一點(diǎn)P，使它到直線l：3x－2y－16＝0的距離最短，并求出最短距離．11．已知直線l：y＝k(x＋1)與拋物線y2＝－x交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若△OAB的面積為eq\r(10)，求k的值；(2)求證：以弦AB為直徑的圓必過(guò)原點(diǎn).12．已知拋物線y2＝－4x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作斜率為k(k≠0)的直線l，與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，弦AB的中點(diǎn)為P，AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(x0,0)．(1)求k的取值范圍；(2)求證：x0<－3；(3)△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形？若能，求出此時(shí)的k值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．三、探究與拓展13．已知雙曲線方程為2x2－y2＝2.過(guò)定點(diǎn)Q(1,1)能否作直線l，使l與此雙曲線相交于Q1，Q2兩點(diǎn)，且Q是弦Q1Q2的中點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

答案1．D2．C3．C4．85．x＝0或y＝1或y＝eq\f(1,2)x＋16．C7．B8．D9．x＋4y＝0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)\r(5)<x<\f(4,5)\r(5)))10．解設(shè)與橢圓相切并與l平行的直線方程為y＝eq\f(3,2)x＋m，代入eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,7)＝1，并整理得4x2＋3mx＋m2－7＝0，Δ＝9m2－16(m?m2＝16?m＝±4，故兩切線方程為y＝eq\f(3,2)x＋4和y＝eq\f(3,2)x－4，顯然y＝eq\f(3,2)x－4距l(xiāng)最近d＝eq\f(|16－8|,\r(32＋－22))＝eq\f(8,\r(13))＝eq\f(8\r(13),13)，切點(diǎn)為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(7,4))).11．(1)解設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，原點(diǎn)O到直線AB的距離為d，聯(lián)立得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝－x))，化簡(jiǎn)整理得k2x2＋(2k2＋1)x＋k2＝0，由題意知k≠0，由根與系數(shù)的關(guān)系得，x1＋x2＝－eq\f(2k2＋1,k2)，x1x2＝1.由弦長(zhǎng)公式，得|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(\f(1,k4)＋\f(4,k2))，由點(diǎn)到直線距離公式d＝eq\f(|k|,\r(1＋k2))，得S△OAB＝eq\f(1,2)|AB|·d＝eq\f(1,2)eq\r(\f(1,k2)＋4)＝eq\r(10)，解得k＝±eq\f(1,6).(2)證明∵kOA＝eq\f(y1,x1)，kOB＝eq\f(y2,x2)，∴kOA·kOB＝eq\f(y1y2,x1x2).∵yeq\o\al(2,1)＝－x1，yeq\o\al(2,2)＝－x2，∴x1x2＝(y1y2)2，∴kOA·kOB＝eq\f(1,y1y2)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,y2＝－x))，得ky2＋y－k＝0，∴y1y2＝－1，即kOA·kOB＝－1，∴OA⊥OB，∴以弦AB為直徑的圓必過(guò)原點(diǎn)．12．(1)解由y2＝－4x可得準(zhǔn)線方程為x＝1，∴M(1,0)．設(shè)l的方程為y＝k(x－1)，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝－4x，))得k2x2－2(k2－2)x＋k2＝0.∵A、B存在，∴Δ＝4(k2－2)2－4k4>0，∴－1<k<1.又k≠0，∴k∈(－1,0)∪(0,1)．(2)證明設(shè)P(x3，y3)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，可得x3＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k2－2,k2)，y3＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))＝－eq\f(2k,k2)＝－eq\f(2,k).即y＋eq\f(2,k)＝－eq\f(1,k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k2－2,k2))).令y＝0，x0＝－eq\f(2,k2)－1，∵k2∈(0,1)，∴x0<－3.(3)解假設(shè)存在以EF為底的等腰△PEF，∴點(diǎn)P在線段EF的垂直平分線上，∴2x3＝－1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(2,k2)))，∴2·eq\f(k2－2,k2)＝－2－eq\f(2,k2)，解得k＝±eq\f(\r(2),2)，∴△PEF可以成為以EF為底的等腰三角形，此時(shí)k值為±eq\f(\r(2),2).13．解假設(shè)這樣的直線l存在，設(shè)Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，則有eq\f(x1＋x2,2)＝1，eq\f(y1＋y2,2)＝1.∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x\o\al(2,1)－y\o\al(2,1)＝2，,2x\o\al(2,2)－y\o\al(2,2)＝2))兩式相減，得(2xeq\o\al(2,1)－2xeq\o\al(2,2))－(yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2))＝0，∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0，∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0.若直線Q1Q2⊥Ox，則線段Q1Q2的中點(diǎn)不可能是點(diǎn)Q(1,1)，所