11-12第二學(xué)期《高等數(shù)學(xué)》試卷和參考答案

20112012學(xué)年第二學(xué)期期末考題解答一.填空題(每小題3分,滿分15分)1.過直線且垂直于平面的平面方程是_________．【解】應(yīng)填：．直線的方向向量．已知平面的法向量，設(shè)所求平面的法向量為，由題意知且，故可取，由條件知，所求平面過點(diǎn)，于是所求平面方程為，即．2.設(shè)，則．【解】應(yīng)填：．由，兩邊求全微分，得，當(dāng)時(shí)，代入原方程得，所以．3.橢圓拋物面：在點(diǎn)處的法線方程是___________.【解】應(yīng)填：.曲面在點(diǎn)處的法向量可取為，于是曲面在點(diǎn)處的法線方程為.4.曲面與所圍立體的體積為．【解】應(yīng)填：．．5.設(shè)為上半圓周，則曲線積分=．【解】應(yīng)填：．由對(duì)稱性，代入技巧及幾何意義可得二.選擇題(每小題3分,滿分15分)1．方程的特解形式為（）．(A)(B)(C)(D)【解】選（D）2.設(shè)，則級(jí)數(shù)（）．（A）與都收斂（B）與都發(fā)散（C）收斂，而發(fā)散（D）發(fā)散，而收斂【解】選（C）3．二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)處都連續(xù)是在點(diǎn)處可微分的（）(A)充分條件(B)必要條件(C)充要條件(D)既非充分也非必要條件【解】若，在點(diǎn)都連續(xù)，則在點(diǎn)處可微分，選(A)4.（）（A）（B）（C）（D）【解】原積分．選（B）5.設(shè)，則周期為的函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)在處收斂于．（A）（B）（C）（D）【解】選(A)三.(10分)設(shè)，其中有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，有二階導(dǎo)數(shù)，求．【解】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)公式得,四.(10分)求在閉區(qū)域：上的最大值和最小值．【解】在D的內(nèi)部，為駐點(diǎn)，且在D的邊界上，由，此時(shí)，，則有比較上述函數(shù)值知，函數(shù)在上的最大值為4,最小值為-1．五.(10分)求微分方程的通解.【解】不顯含，故令則，代入原方程得，利用通解公式求得通解為，積分得原方程通解為．六.(12分)（Ⅰ）試確定可導(dǎo)函數(shù)，使在右半平面內(nèi)，為某函數(shù)的全微分,其中；（Ⅱ）求；【解】（Ⅰ），．因?yàn)槭呛瘮?shù)的全微分，所以有，即，故．上述微分方程的通解為.由得,所以．（Ⅱ）在右半平面內(nèi)取，則．七.(12分)求冪級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)．【解】易求得其收斂域?yàn)?，令，其中，兩邊積分，再積分．因此，故原級(jí)數(shù)的和，．八.(12分)計(jì)算積分，其中是拋物面，取下側(cè)．【解】補(bǔ)取上側(cè),設(shè)與圍成空間區(qū)域,及在平面上的投影區(qū)域.由Gauss公式，.因?yàn)榇怪庇谄矫妫谄矫嫔系耐队皡^(qū)域面積為零，所以.九.(4分)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線上，曲線積分的值恒為同一常數(shù)．證明：對(duì)右半平面內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線，有；【證明】將分解為：，另作一條曲線圍繞原點(diǎn)且與相接，則