2023-2024學年安徽省阜陽市潁上第二中學高三下學期二輪質量檢測試題數(shù)學試題

2022-2023學年安徽省阜陽市潁上第二中學高三下學期二輪質量檢測試題數(shù)學試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲、乙、丙三人相約晚上在某地會面，已知這三人都不會違約且無兩人同時到達，則甲第一個到、丙第三個到的概率是（）A． B． C． D．2．記等差數(shù)列的公差為，前項和為.若，，則（）A． B． C． D．3．若a＞b＞0，0＜c＜1，則A．logac＜logbc B．logca＜logcb C．a(chǎn)c＜bc D．ca＞cb4．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．5．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．6．已知橢圓的焦點分別為，，其中焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓與拋物線的兩個交點連線正好過點，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．7．如圖所示的程序框圖，當其運行結果為31時，則圖中判斷框①處應填入的是（）A． B． C． D．8．已知是球的球面上兩點,,為該球面上的動點.若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．9．已知，則下列不等式正確的是（）A． B．C． D．10．若、滿足約束條件，則的最大值為（）A． B． C． D．11．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調遞增的是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數(shù)列中，為其前項和，，，則_________，_________.14．已知向量，，若，則________.15．直線過圓的圓心，則的最小值是_____.16．直線與拋物線交于兩點，若，則弦的中點到直線的距離等于________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，當時，有極大值3；（1）求，的值；（2）求函數(shù)的極小值及單調區(qū)間.18．（12分）在中，角的對邊分別為，且滿足.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若的面積為，，求和的值.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）若曲線在點處的切線方程為，求，；（2）當時，，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知函數(shù).（1）當時，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）當時，若方程有兩個不相等的實數(shù)根，求證：.21．（12分）的內角的對邊分別為，已知.（1）求的大小；（2）若，求面積的最大值.22．（10分）設函數(shù)（其中），且函數(shù)在處的切線與直線平行.（1）求的值；（2）若函數(shù)，求證：恒成立.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

先判斷是一個古典概型，列舉出甲、乙、丙三人相約到達的基本事件種數(shù)，再得到甲第一個到、丙第三個到的基本事件的種數(shù)，利用古典概型的概率公式求解.【詳解】甲、乙、丙三人相約到達的基本事件有甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，共6種，其中甲第一個到、丙第三個到有甲乙丙，共1種，所以甲第一個到、丙第三個到的概率是.故選：D【點睛】本題主要考查古典概型的概率求法，還考查了理解辨析的能力，屬于基礎題.2．C【解析】

由，和，可求得，從而求得和，再驗證選項.【詳解】因為，，所以解得，所以，所以，，，故選：C.【點睛】本題考查等差數(shù)列的通項公式、前項和公式，還考查運算求解能力，屬于中檔題.3．B【解析】試題分析：對于選項A，，，，而，所以，但不能確定的正負，所以它們的大小不能確定;對于選項B，,，兩邊同乘以一個負數(shù)改變不等號方向，所以選項B正確;對于選項C，利用在第一象限內是增函數(shù)即可得到，所以C錯誤;對于選項D，利用在上為減函數(shù)易得，所以D錯誤.所以本題選B.【考點】指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質【名師點睛】比較冪或對數(shù)值的大小,若冪的底數(shù)相同或對數(shù)的底數(shù)相同,通常利用指數(shù)函數(shù)或對數(shù)函數(shù)的單調性進行比較；若底數(shù)不同,可考慮利用中間量進行比較.4．A【解析】

首先求得時，的取值范圍.然后求得時，的單調性和零點，令，根據(jù)“時，的取值范圍”得到，利用零點存在性定理，求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當時，.當時，為增函數(shù)，且，則是唯一零點.由于“當時，.”，所以令，得，因為，，所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選：A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質，考查符合函數(shù)零點，考查零點存在性定理，考查函數(shù)的單調性，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題.5．D【解析】

設非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點睛】本題考查向量投影的計算，同時也考查利用向量的模計算向量的夾角，考查計算能力，屬于基礎題.6．B【解析】

根據(jù)題意可得易知，且，解方程可得，再利用即可求解.【詳解】易知，且故有，則故選：B【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質、拋物線的幾何性質，考查了學生的計算能力，屬于中檔題7．C【解析】

根據(jù)程序框圖的運行，循環(huán)算出當時，結束運行，總結分析即可得出答案.【詳解】由題可知，程序框圖的運行結果為31，當時，；當時，；當時，；當時，；當時，.此時輸出.故選：C.【點睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結構，已知輸出結果求條件框，屬于基礎題.8．C【解析】

如圖所示，當點C位于垂直于面的直徑端點時，三棱錐的體積最大，設球的半徑為，此時，故，則球的表面積為，故選C．考點：外接球表面積和椎體的體積．9．D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項．【詳解】已知，賦值法討論的情況：（1）當時，令，，則，，排除B、C選項；（2）當時，令，，則，排除A選項.故選：D.【點睛】比較大小通常采用作差法，本題主要考查不等式與不等關系，不等式的基本性質，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，得到符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于中等題．10．C【解析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線，找出直線在軸上的截距最大時對應的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分（包括邊界）所示．由，得，平移直線，當直線經(jīng)過點時，該直線在軸上的截距最大，此時取最大值，即.故選：C.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值，一般利用平移直線的方法找到最優(yōu)解，考查數(shù)形結合思想的應用，屬于基礎題.11．C【解析】

結合基本初等函數(shù)的奇偶性及單調性，結合各選項進行判斷即可.【詳解】A：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意；B：在上不單調，不符合題意；C：為偶函數(shù)，且在上單調遞增，符合題意；D：為非奇非偶函數(shù)，不符合題意.故選：C.【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調性和奇偶性，屬于基礎題.12．A【解析】試題分析：由題意，得，解得，故選A．考點：函數(shù)的定義域．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．8（寫為也得分）【解析】

由，得，.當時，，所以，所以的奇數(shù)項是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列；其偶數(shù)項是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列.則，.14．10【解析】

根據(jù)垂直得到，代入計算得到答案.【詳解】，則，解得，故，故.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學生的計算能力.15．【解析】

直線mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當且僅當m＝n時取等號.∴則的最小值是4.故答案為：4.【點睛】本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題.16．【解析】

由已知可知直線過拋物線的焦點，求出弦的中點到拋物線準線的距離，進一步得到弦的中點到直線的距離．【詳解】解：如圖，直線過定點，，而拋物線的焦點為，，弦的中點到準線的距離為，則弦的中點到直線的距離等于．故答案為：．【點睛】本題考查拋物線的簡單性質，考查直線與拋物線位置關系的應用，體現(xiàn)了數(shù)學轉化思想方法，屬于中檔題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）極小值為，遞減區(qū)間為：，遞增區(qū)間為.【解析】

（1）由題意得到關于實數(shù)的方程組，求解方程組，即可求得的值；（2）結合（1）中的值得出函數(shù)的解析式，即可利用導數(shù)求得函數(shù)的單調區(qū)間和極小值.【詳解】（1）由題意，函數(shù)，則，由當時，有極大值，則，解得.（2）由（1）可得函數(shù)的解析式為，則，令，即，解得，令，即，解得或，所以函數(shù)的單調減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，當時，函數(shù)取得極小值，極小值為.當時，有極大值3.【點睛】本題主要考查了函數(shù)的極值的概念，以及利用導數(shù)求解函數(shù)的單調區(qū)間和極值，其中解答中熟記函數(shù)的極值的概念，以及函數(shù)的導數(shù)與原函數(shù)的關系，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.18．（Ⅰ）；（Ⅱ），.【解析】

（Ⅰ）運用正弦定理和二角和的正弦公式，化簡，即可求出角的大小；（Ⅱ）通過面積公式和，可以求出，這樣用余弦定理可以求出，用余弦定理求出，根據(jù)同角的三角函數(shù)關系，可以求出，這樣可以求出,最后利用二角差的余弦公式求出的值.【詳解】（Ⅰ）由正弦定理可知：,已知，所以，,所以有.（Ⅱ），由余弦定理可知：,,.【點睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、面積公式、二倍角公式、二角差的余弦公式以及同角的三角函數(shù)關系，考查了運算能力.19．（1）；（2）【解析】

(1)對函數(shù)求導，運用可求得的值，再由在直線上，可求得的值；(2)由已知可得恒成立，構造函數(shù)，對函數(shù)求導，討論和0的大小關系，結合單調性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】（1）由題得，因為在點與相切所以，∴（2）由得，令，只需，設（），當時，，在時為增函數(shù)，所以，舍；當時，開口向上，對稱軸為，，所以在時為增函數(shù)，所以，舍；當時，二次函數(shù)開口向下，且，所以在時有一個零點，在時，在時，①當即時，在小于零，所以在時為減函數(shù)，所以，符合題意；②當即時，在大于零，所以在時為增函數(shù)，所以，舍.綜上所述：實數(shù)的取值范圍為【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)，利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間及函數(shù)的最小值，屬于中檔題．處理函數(shù)單調性問題時，注意利用導函數(shù)的正負，特別是已知單調性問題，轉化為函數(shù)導數(shù)恒不小于零，或恒小于零，再分離參數(shù)求解，求函數(shù)最值時分析好單調性再求極值，從而求出函數(shù)最值．20．（1）；（2）當時，在上是減函數(shù)；當時，在上是增函數(shù)；（3）證明見解析.【解析】

（1）當時，，求得其導函數(shù)，，可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程；（2）由已知得，得出導函數(shù)，并得出導函數(shù)取得正負的區(qū)間，可得出函數(shù)的單調性；（3）當時，，，由（2）得的單調區(qū)間，以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設，且有，，構造函數(shù)，分析其導函數(shù)的正負得出函數(shù)的單調性，得出其最值，所證的不等式可得證.【詳解】（1）當時，，所以，，所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為，即；（2）由已知得，，令，得，所以當時，，當時，，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；（3）當時，，，由（2）得在上單調遞減，在單調遞增，所以，且時，，當時，，，所以當方程有兩個不相等的實數(shù)根，不妨設，且有，，構造函數(shù)，則，當時，所以，在上單調遞減，且，，由，在上單調遞增，.所以.【點睛】本題考查運用導函數(shù)求函數(shù)在某點的切線方程，討論函數(shù)的單調性，以及證明不等式，關鍵在于構造適當?shù)暮瘮?shù)，得出其導函數(shù)的正負，得出所構造的函數(shù)的單調性，屬于難度題.21．（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將邊化角，結合誘導公式可化簡邊角關系式，求得，根據(jù)可求得結果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面積公式可求得結果.【詳解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（當且僅當時取等號）即三角形