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2022-2023學年安徽省皖北名校高三下學期第三次調(diào)研考試數(shù)學試題試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設,,則()A. B. C. D.2.已知向量,且,則等于()A.4 B.3 C.2 D.13.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體中的最長棱長為()A. B. C. D.4.正三棱柱中,,是的中點,則異面直線與所成的角為()A. B. C. D.5.已知函數(shù)為奇函數(shù),且,則()A.2 B.5 C.1 D.36.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.7.設集合A={y|y=2x﹣1,x∈R},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z},則A∩B=()A.(﹣1,3] B.[﹣1,3] C.{0,1,2,3} D.{﹣1,0,1,2,3}8.設、,數(shù)列滿足,,,則()A.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立B.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立C.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立D.對于任意,都存在實數(shù),使得恒成立9.已知函數(shù)滿足當時,,且當時,;當時,且).若函數(shù)的圖象上關于原點對稱的點恰好有3對,則的取值范圍是()A. B. C. D.10.已知,則()A.2 B. C. D.311.正四棱錐的五個頂點在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.展開式的第5項的系數(shù)為_____.14.在中,,是的角平分線,設,則實數(shù)的取值范圍是__________.15.角α的頂點在坐標原點,始邊與x軸的非負半軸重合,終邊經(jīng)過點P(1,2),則sin(π﹣α)的值是_____.16.在中,為定長,,若的面積的最大值為,則邊的長為____________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知,函數(shù)的最小值為1.(1)證明:.(2)若恒成立,求實數(shù)的最大值.18.(12分)記數(shù)列的前項和為,已知成等差數(shù)列.(1)證明:數(shù)列是等比數(shù)列,并求的通項公式;(2)記數(shù)列的前項和為,求.19.(12分)已知.(Ⅰ)若,求不等式的解集;(Ⅱ),,,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)若函數(shù)不存在單調(diào)遞減區(qū)間,求實數(shù)的取值范圍;(2)若函數(shù)的兩個極值點為,,求的最小值.21.(12分)在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系;曲線C1的普通方程為(x-1)2+y2=1,曲線C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù)).(Ⅰ)求曲線C1和C2的極坐標方程:(Ⅱ)設射線θ=(ρ>0)分別與曲線C1和C2相交于A,B兩點,求|AB|的值.22.(10分)已知均為正實數(shù),函數(shù)的最小值為.證明:(1);(2).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

集合是一次不等式的解集,分別求出再求交集即可【詳解】,,則故選【點睛】本題主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集運算,屬于基礎題.2.D【解析】

由已知結(jié)合向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】因為,且,,則.故選:.【點睛】本題主要考查了向量垂直的坐標表示,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,屬于基礎題.3.C【解析】

根據(jù)三視圖,可得該幾何體是一個三棱錐,并且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,,再求得其它的棱長比較下結(jié)論.【詳解】如圖所示:由三視圖得:該幾何體是一個三棱錐,且平面SAC平面ABC,,過S作,連接BD,則,所以,,,,該幾何體中的最長棱長為.故選:C【點睛】本題主要考查三視圖還原幾何體,還考查了空間想象和運算求解的能力,屬于中檔題.4.C【解析】

取中點,連接,,根據(jù)正棱柱的結(jié)構(gòu)性質(zhì),得出//,則即為異面直線與所成角,求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:如圖,取中點,連接,,由于正三棱柱,則底面,而底面,所以,由正三棱柱的性質(zhì)可知,為等邊三角形,所以,且,所以平面,而平面,則,則//,,∴即為異面直線與所成角,設,則,,,則,∴.故選:C.【點睛】本題考查通過幾何法求異面直線的夾角,考查計算能力.5.B【解析】

由函數(shù)為奇函數(shù),則有,代入已知即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查奇偶性在抽象函數(shù)中的應用,考查學生分析問題的能力,難度較易.6.D【解析】

用列舉法,通過循環(huán)過程直接得出與的值,得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時應該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關鍵,難度較易.7.C【解析】

先求集合A,再用列舉法表示出集合B,再根據(jù)交集的定義求解即可.【詳解】解:∵集合A={y|y=2x﹣1,x∈R}={y|y>﹣1},B={x|﹣2≤x≤3,x∈Z}={﹣2,﹣1,0,1,2,3},∴A∩B={0,1,2,3},故選:C.【點睛】本題主要考查集合的交集運算,屬于基礎題.8.D【解析】

取,可排除AB;由蛛網(wǎng)圖可得數(shù)列的單調(diào)情況,進而得到要使,只需,由此可得到答案.【詳解】取,,數(shù)列恒單調(diào)遞增,且不存在最大值,故排除AB選項;由蛛網(wǎng)圖可知,存在兩個不動點,且,,因為當時,數(shù)列單調(diào)遞增,則;當時,數(shù)列單調(diào)遞減,則;所以要使,只需要,故,化簡得且.故選:D.【點睛】本題考查遞推數(shù)列的綜合運用,考查邏輯推理能力,屬于難題.9.C【解析】

先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關于原點對稱的圖象,分類利用圖像列出有3個交點時滿足的條件,解之即可.【詳解】先作出函數(shù)在上的部分圖象,再作出關于原點對稱的圖象,如圖所示,當時,對稱后的圖象不可能與在的圖象有3個交點;當時,要使函數(shù)關于原點對稱后的圖象與所作的圖象有3個交點,則,解得.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)圖象解決函數(shù)的交點個數(shù)問題,考查學生數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道中檔題.10.A【解析】

利用分段函數(shù)的性質(zhì)逐步求解即可得答案.【詳解】,;;故選:.【點睛】本題考查了函數(shù)值的求法,考查對數(shù)的運算和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),是基礎題,解題時注意函數(shù)性質(zhì)的合理應用.11.C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計算長度,設球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設球半徑為,則,解得,故.故選:.【點睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學生的空間想象能力和計算能力.12.D【解析】

根據(jù)逆運算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當,解得

,所以3是輸入的x的值;當時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為

或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.70【解析】

根據(jù)二項式定理的通項公式,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:第5項為故第5項的的系數(shù)為故答案為:70.【點睛】本題考查的是二項式定理,屬基礎題。14.【解析】

設,,,由,用面積公式表示面積可得到,利用,即得解.【詳解】設,,,由得:,化簡得,由于,故.故答案為:【點睛】本題考查了解三角形綜合,考查了學生轉(zhuǎn)化劃歸,綜合分析,數(shù)學運算能力,屬于中檔題.15.【解析】

計算sinα,再利用誘導公式計算得到答案.【詳解】由題意可得x=1,y=2,r,∴sinα,∴sin(π﹣α)=sinα.故答案為:.【點睛】本題考查了三角函數(shù)定義,誘導公式,意在考查學生的計算能力.16.【解析】

設,以為原點,為軸建系,則,,設,,,利用求向量模的公式,可得,根據(jù)三角形面積公式進一步求出的值即為所求.【詳解】解:設,以為原點,為軸建系,則,,設,,則,即,由,可得.則.故答案為:.【點睛】本題考查向量模的計算,建系是關鍵,屬于難題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)2;(2)【解析】分析:(1)將轉(zhuǎn)化為分段函數(shù),求函數(shù)的最小值(2)分離參數(shù),利用基本不等式證明即可.詳解:(Ⅰ)證明:,顯然在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為,即.(Ⅱ)因為恒成立,所以恒成立,當且僅當時,取得最小值,所以,即實數(shù)的最大值為.點睛:本題主要考查含兩個絕對值的函數(shù)的最值和不等式的應用,第二問恒成立問題分離參數(shù),利用基本不等式求解很關鍵,屬于中檔題.18.(1)證明見解析,;(2)【解析】

(1)由成等差數(shù)列,可得到,再結(jié)合公式,消去,得到,再給等式兩邊同時加1,整理可證明結(jié)果;(2)將(1)得到的代入中化簡后再裂項,然后求其前項和.【詳解】(1)由成等差數(shù)列,則,即,①當時,,又,②由①②可得:,即,時,.所以是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,,所以.(2),所以.【點睛】此題考查了數(shù)列遞推式,等比數(shù)列的證明,裂列相消求和,考查了學生分析問題和解決問題的能力,屬于中檔題.19.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)利用零點分段討論法把函數(shù)改寫成分段函數(shù)的形式,分三種情況分別解不等式,然后取并集即可;(Ⅱ)利用絕對值三角不等式求出的最小值,利用均值不等式求出的最小值,結(jié)合題意,只需即可,解不等式即可求解.【詳解】(Ⅰ)當時,,,或,或,或所以不等式的解集為;(Ⅱ)因為,又(當時等號成立),依題意,,,有,則,解之得,故實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題考查由存在性問題求參數(shù)的范圍、零點分段討論法解絕對值不等式、利用絕對值三角不等式和均值不等式求最值;考查運算求解能力、分類討論思想、邏輯推理能力;屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】分析:(1)先求導,再令在上恒成立,得到上恒成立,利用基本不等式得到m的取值范圍.(2)先由得到,再求得,再構(gòu)造函數(shù)再利用導數(shù)求其最小值.詳解:(1)由函數(shù)有意義,則由且不存在單調(diào)遞減區(qū)間,則在上恒成立,上恒成立(2)由知,令,即由有兩個極值點故為方程的兩根,,,則由由,則上單調(diào)遞減,即由知綜上所述,的最小值為.點睛:(1)本題主要考查利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值,考查利用導數(shù)求函數(shù)的最值,意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)本題的難點有兩個,其一是求出,其二是構(gòu)造函數(shù)再利用導數(shù)求其最小值.21.(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)根據(jù),可得曲線C1的極坐標方程,然后先計算曲線C2的普通方程,最后根據(jù)極坐標與直角坐標的轉(zhuǎn)化公式,可得結(jié)果.(Ⅱ)將射線θ=分別與曲線C1和C2極坐標方程聯(lián)立,可得A,B的極坐標,然后簡單計算,可得結(jié)果.【詳解】(Ⅰ)由所以曲線的極坐標方程為,曲線的普通方程為則曲線的極坐標方程為(Ⅱ)令,則,,則,即,所以,,故.【點睛】本題考查極坐標方程和參數(shù)方程與直角坐標方程的轉(zhuǎn)化,以及極坐標方程中的

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