2023-2024學(xué)年白鷺洲中學(xué)新高三摸底考試數(shù)學(xué)試題_第1頁
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2022-2023學(xué)年白鷺洲中學(xué)新高三摸底考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖所示,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的體積是()A. B. C. D.82.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.3.一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示(其中主視圖也叫正視圖,左視圖也叫側(cè)視圖),則這個(gè)四棱錐中最最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是().A. B. C. D.4.已知雙曲線的一條漸近線經(jīng)過圓的圓心,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.25.若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的最大值為().A. B. C. D.6.已知各項(xiàng)都為正的等差數(shù)列中,,若,,成等比數(shù)列,則()A. B. C. D.7.已知將函數(shù)(,)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象,若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,則下述四個(gè)結(jié)論:①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是()A.①②③ B.①③④ C.①②④ D.②③④8.若時(shí),,則的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知雙曲線(,)的左、右焦點(diǎn)分別為,以(為坐標(biāo)原點(diǎn))為直徑的圓交雙曲線于兩點(diǎn),若直線與圓相切,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.已知點(diǎn)P不在直線l、m上,則“過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件11.2019年10月1日,為了慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年,小明、小紅、小金三人以國(guó)慶為主題各自獨(dú)立完成一幅十字繡贈(zèng)送給當(dāng)?shù)氐拇逦瘯?huì),這三幅十字繡分別命名為“鴻福齊天”、“國(guó)富民強(qiáng)”、“興國(guó)之路”,為了弄清“國(guó)富民強(qiáng)”這一作品是誰制作的,村支書對(duì)三人進(jìn)行了問話,得到回復(fù)如下:小明說:“鴻福齊天”是我制作的;小紅說:“國(guó)富民強(qiáng)”不是小明制作的,就是我制作的;小金說:“興國(guó)之路”不是我制作的,若三人的說法有且僅有一人是正確的,則“鴻福齊天”的制作者是()A.小明 B.小紅 C.小金 D.小金或小明12.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.(5分)已知橢圓方程為,過其下焦點(diǎn)作斜率存在的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),則面積的取值范圍是____________.14.的展開式中項(xiàng)的系數(shù)為_______.15.已知平行于軸的直線與雙曲線:的兩條漸近線分別交于,兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為______.16.已知函數(shù)函數(shù),其中,若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為了整頓道路交通秩序,某地考慮將對(duì)行人闖紅燈進(jìn)行處罰.為了更好地了解市民的態(tài)度,在普通行人中隨機(jī)選取了200人進(jìn)行調(diào)查,當(dāng)不處罰時(shí),有80人會(huì)闖紅燈,處罰時(shí),得到如表數(shù)據(jù):處罰金額(單位:元)5101520會(huì)闖紅燈的人數(shù)50402010若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低多少?(2)將選取的200人中會(huì)闖紅燈的市民分為兩類:類市民在罰金不超過10元時(shí)就會(huì)改正行為;類是其他市民.現(xiàn)對(duì)類與類市民按分層抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷,則前兩位均為類市民的概率是多少?18.(12分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若關(guān)于的不等式在區(qū)間內(nèi)無解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,圓的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.(1)求圓的極坐標(biāo)方程;(2)直線的極坐標(biāo)方程是,射線與圓的交點(diǎn)為、,與直線的交點(diǎn)為,求線段的長(zhǎng).20.(12分)已知數(shù)列,其前項(xiàng)和為,滿足,,其中,,,.⑴若,,(),求證:數(shù)列是等比數(shù)列;⑵若數(shù)列是等比數(shù)列,求,的值;⑶若,且,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.21.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,且.(1)求的值;(2)若,求面積的最大值.22.(10分)某廣告商租用了一塊如圖所示的半圓形封閉區(qū)域用于產(chǎn)品展示,該封閉區(qū)域由以為圓心的半圓及直徑圍成.在此區(qū)域內(nèi)原有一個(gè)以為直徑、為圓心的半圓形展示區(qū),該廣告商欲在此基礎(chǔ)上,將其改建成一個(gè)凸四邊形的展示區(qū),其中、分別在半圓與半圓的圓弧上,且與半圓相切于點(diǎn).已知長(zhǎng)為40米,設(shè)為.(上述圖形均視作在同一平面內(nèi))(1)記四邊形的周長(zhǎng)為,求的表達(dá)式;(2)要使改建成的展示區(qū)的面積最大,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

由三視圖還原出原幾何體,得出幾何體的結(jié)構(gòu)特征,然后計(jì)算體積.【詳解】由三視圖知原幾何體是一個(gè)四棱錐,四棱錐底面是邊長(zhǎng)為2的正方形,高為2,直觀圖如圖所示,.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖,考查棱錐的體積公式,掌握基本幾何體的三視圖是解題關(guān)鍵.2.C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.3.A【解析】

作出其直觀圖,然后結(jié)合數(shù)據(jù)根據(jù)勾股定定理計(jì)算每一條棱長(zhǎng)即可.【詳解】根據(jù)三視圖作出該四棱錐的直觀圖,如圖所示,其中底面是直角梯形,且,,平面,且,∴,,,,∴這個(gè)四棱錐中最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是.故選.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的三視圖的有關(guān)計(jì)算,正確還原直觀圖是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

求出圓心,代入漸近線方程,找到的關(guān)系,即可求解.【詳解】解:,一條漸近線,故選:B【點(diǎn)睛】利用的關(guān)系求雙曲線的離心率,是基礎(chǔ)題.5.C【解析】

由題意利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,求出的最大值.【詳解】解:把函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象,若函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增,在區(qū)間,上,,,則當(dāng)最大時(shí),,求得,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象變換規(guī)律,正弦函數(shù)的單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.6.A【解析】試題分析:設(shè)公差為或(舍),故選A.考點(diǎn):等差數(shù)列及其性質(zhì).7.B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出,再根據(jù)對(duì)稱性求出、,即可求出的解析式,從而驗(yàn)證可得;【詳解】解:由題意可得,又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱,∴,∴解得,即,又∵,∴,,∴,∴,,∴①③④正確,②錯(cuò)誤.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,三角函數(shù)的變換規(guī)則,屬于基礎(chǔ)題.8.D【解析】

由題得對(duì)恒成立,令,然后分別求出即可得的取值范圍.【詳解】由題得對(duì)恒成立,令,在單調(diào)遞減,且,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,,又在單調(diào)遞增,,的取值范圍為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式恒成立問題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求解不等式恒成立問題,可采用參變量分離法去求解.9.D【解析】

連接,可得,在中,由余弦定理得,結(jié)合雙曲線的定義,即得解.【詳解】連接,則,,所以,在中,,,故在中,由余弦定理可得.根據(jù)雙曲線的定義,得,所以雙曲線的離心率故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的性質(zhì)及雙曲線的離心率,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.10.C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】點(diǎn)不在直線、上,若直線、互相平行,則過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,即必要性成立,若過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行,則直線、互相平行成立,反證法證明如下:若直線、互相不平行,則,異面或相交,則過點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行,則與條件矛盾,即充分性成立則“過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面,使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.11.B【解析】

將三個(gè)人制作的所有情況列舉出來,再一一論證.【詳解】依題意,三個(gè)人制作的所有情況如下所示:123456鴻福齊天小明小明小紅小紅小金小金國(guó)富民強(qiáng)小紅小金小金小明小紅小明興國(guó)之路小金小紅小明小金小明小紅若小明的說法正確,則均不滿足;若小紅的說法正確,則4滿足;若小金的說法正確,則3滿足.故“鴻福齊天”的制作者是小紅,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查推理與證明,還考查推理論證能力以及分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.12.A【解析】

分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,考查學(xué)生運(yùn)算能力,是一道容易題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

由題意,,則,得.由題意可設(shè)的方程為,,聯(lián)立方程組,消去得,恒成立,,,則,點(diǎn)到直線的距離為,則,又,則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).故面積的取值范圍是.14.40【解析】

根據(jù)二項(xiàng)定理展開式,求得r的值,進(jìn)而求得系數(shù).【詳解】根據(jù)二項(xiàng)定理展開式的通項(xiàng)式得所以,解得所以系數(shù)【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.15.2【解析】

根據(jù)為等邊三角形建立的關(guān)系式,從而可求離心率.【詳解】據(jù)題設(shè)分析知,,所以,得,所以雙曲線的離心率.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的離心率的求解,根據(jù)條件建立之間的關(guān)系式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).16.【解析】∵,∴,∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn),∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解,即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解,即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn),,作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下,,結(jié)合圖象可知,<b<2,故答案為.點(diǎn)睛:(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間,然后代入該段的解析式求值,當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí),應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí),先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,切記要代入檢驗(yàn),看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)降低(2)【解析】

(1)計(jì)算出罰金定為10元時(shí)行人闖紅燈的概率,和不進(jìn)行處罰時(shí)行人闖紅燈的概率,求解即可;(2)闖紅燈的市民有80人,其中類市民和類市民各有40人,根據(jù)分層抽樣法抽出4人依次排序,計(jì)算所求的概率值.【詳解】解:(1)當(dāng)罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率為;不進(jìn)行處罰,行人闖紅燈的概率為;所以當(dāng)罰金定為10元時(shí),行人闖紅燈的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰降低;(2)由題可知,闖紅燈的市民有80人,類市民和類市民各有40人故分別從類市民和類市民各抽出兩人,4人依次排序記類市民中抽取的兩人對(duì)應(yīng)的編號(hào)為,類市民中抽取的兩人編號(hào)為則4人依次排序分別為,,,,,,,,,,,,共有種前兩位均為類市民排序?yàn)?,,有種,所以前兩位均為類市民的概率是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)算古典概型的概率,屬于中檔題.18.(1);(2).【解析】

(1)只需分,,三種情況討論即可;(2)在區(qū)間上恒成立,轉(zhuǎn)化為,只需求出即可.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)不等式無解;當(dāng)時(shí),,由得;當(dāng)時(shí),,由得,綜上,不等式的解集為;(2)依題意,在區(qū)間上恒成立,則,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,所以當(dāng)時(shí),,由得或,所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法、不等式恒成立問題,考查學(xué)生分類討論與轉(zhuǎn)化與化歸的思想,是一道基礎(chǔ)題.19.(1)(2)【解析】

(1)首先將參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程再根據(jù)公式化為極坐標(biāo)方程即可;(2)設(shè),,由,即可求出,則計(jì)算可得;【詳解】解:(1)圓的參數(shù)方程(為參數(shù))可化為,∴,即圓的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),由,解得.設(shè),由,解得.∵,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了利用極坐標(biāo)方程求曲線的交點(diǎn)弦長(zhǎng),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.20.(1)見解析(2)(3)見解析【解析】試題分析:(1)(),所以,故數(shù)列是等比數(shù)列;(2)利用特殊值法,得,故;(3)得,所以,得,可證數(shù)列是等差數(shù)列.試題解析:(1)證明:若,則當(dāng)(),所以,即,所以,又由,,得,,即,所以,故數(shù)列是等比數(shù)列.(2)若是等比數(shù)列,設(shè)其公比為(),當(dāng)時(shí),,即,得,①當(dāng)時(shí),,即,得,②當(dāng)時(shí),,即,得,③②①,得,③②,得,解得.代入①式,得.此時(shí)(),所以,是公比為1的等比數(shù)列,

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