材料力學(xué)：梁彎曲時(shí)的位移

梁彎曲時(shí)的位移梁的撓曲線近似微分方程及其積分按疊加原理計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角梁的剛度校核

提高梁剛度的措施梁的位移——

撓度及轉(zhuǎn)角梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能2一、基本概念1.取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，梁變形前的軸線為x

軸，橫截面的鉛垂對稱軸為y

軸，xy

平面為縱向?qū)ΨQ平面BxyA§5-1

梁的位移——

撓度及轉(zhuǎn)角3yABxC（1）撓度（

w）:橫截面形心C

(即軸線上的點(diǎn))在垂直于x軸方向的線位移，稱為該截面的撓度。2.度量梁變形后橫截面位移的兩個(gè)基本量C'w撓度4（2）轉(zhuǎn)角（

）：橫截面對其原來位置的角位移,稱為該

截面的轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角

yABxCw撓度C'5二、撓曲線：梁變形后的軸線稱為撓曲線。撓曲線方程為式中，x

為梁變形前軸線上任一點(diǎn)的橫坐標(biāo)，w

為該點(diǎn)的撓度。撓曲線轉(zhuǎn)角

yABxCw撓度C'6三、撓度與轉(zhuǎn)角的關(guān)系：撓曲線轉(zhuǎn)角

yABxCw撓度C'7四、撓度和轉(zhuǎn)角符號的規(guī)定撓度：向下為正，向上為負(fù)。轉(zhuǎn)角：自x

轉(zhuǎn)至切線方向，順時(shí)針轉(zhuǎn)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)為負(fù)。撓曲線轉(zhuǎn)角

yABxCw撓度C'8橫截面形心鉛垂方向的位移－撓度

w橫截面相對于初始位置轉(zhuǎn)過的角度轉(zhuǎn)角

梁的橫截面產(chǎn)生兩種主要位移：簡支梁彎曲時(shí)的總體變形微段變形累加的結(jié)果9

五、梁的位移分析的工程意義1.齒輪傳動

輪齒不均勻磨損，噪聲增大，產(chǎn)生振動；

加速軸承磨損，降低使用壽命；若變形過大，使傳動失效。變形帶來的弊端：121210

五、梁的位移分析的工程意義當(dāng)變形足夠大時(shí)，可以有效接通電路；當(dāng)變形不夠大時(shí)，不能有效接通電路；2.繼電器中的簧片觸點(diǎn)簧片工程中，一方面要限制變形，另一方面要利用變形。電磁力11橫力彎曲時(shí),M

和

都是x

的函數(shù)。略去剪力對梁的位移的影響,則一、梁的撓曲線近似微分方程純彎曲時(shí)曲率與彎矩的關(guān)系為§5-2

梁的撓曲線近似微分方程及其積分12由幾何關(guān)系知,平面曲線的曲率可寫作13oxoxyyMMMMM>0M<0在規(guī)定的坐標(biāo)系中，x

軸水平向右為正，y

軸豎直向下為正。w’’>0,M<0w’’<0,M>0因此,

M與w’’

的正負(fù)號相反曲線向下凸時(shí)：曲線向上凸時(shí):14此式稱為

梁的撓曲線近似微分方程近似原因:(1)略去了剪力的影響;(2)略去了

w’2

項(xiàng)。與1相比十分微小而可以忽略不計(jì),故上式可近似為15再積分一次,得撓度方程上式積分一次得轉(zhuǎn)角方程若為等截面直梁,其抗彎剛度EI

為一常量上式可改寫成16二、用積分法求彎曲變形撓度方程：轉(zhuǎn)角方程：式中：積分常數(shù)C1

、C2

可通過梁撓曲線的邊界條件和變形連續(xù)性條件來確定。17ABAB在簡支梁中，左右兩鉸支座處的撓度wA

和wB都應(yīng)等于零。在懸臂梁中，固定端處的撓度wＡ和轉(zhuǎn)角

A都應(yīng)等于零。邊界條件wA=0wB=0wA=0

A=018連續(xù)性條件ABAB

在撓曲線的任一點(diǎn)上，有唯一的撓度和轉(zhuǎn)角。19例題1：確定梁的連續(xù)條件ABCDFG但是20

例題2：圖示一抗彎剛度為EI的懸臂梁,在自由端受一集中力F作用。試求梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax

和最大轉(zhuǎn)角

max.yABxF21彎矩方程為解：撓曲線的近似微分方程為xyABxF22對撓曲線近似微分方程進(jìn)行積分23邊界條件為:C1=0C2=0將邊界條件代入(3)(4)兩式中,可得24梁的轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程分別為C1=0C2=025

max及wmax都發(fā)生在自由端截面處（）（）yABxF26例題3：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在全梁上受集度為q的均布荷載作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程,并確定其最大撓度wmax和最大轉(zhuǎn)角

max.ABq27解:由對稱性可知，梁的兩個(gè)支座力為ABq28此梁的彎矩方程及撓曲線微分方程分別為xABq29

30

邊界條件為:xABq31

將邊界條件代入(c),(d)兩式得

梁的轉(zhuǎn)角方程和撓度方程分別為32

在

x=0和x=l

處轉(zhuǎn)角的絕對值相等且都是最大值，

AABq33ABq在梁跨中點(diǎn)l/2

處有最大撓度值

A34例題4

：圖示一抗彎剛度為EI的簡支梁,在D點(diǎn)處受一集中力F的作用。試求此梁的撓曲線方程和轉(zhuǎn)角方程，并求其最大撓度和最大轉(zhuǎn)角。ABFDab35解:梁的兩個(gè)支反力為ABFDab36兩段梁的彎矩方程分別為12xABFDabx37兩段梁的撓曲線方程分別為12撓曲線方程轉(zhuǎn)角方程撓度方程(0

x

a)(a

x

)38D點(diǎn)的連續(xù)條件：在x=a

處邊界條件在處，在x=0處，12ABFDab代入方程可解得:39將x=0

和x=l

分別代入轉(zhuǎn)角方程左右兩支座處截面的轉(zhuǎn)角當(dāng)a>b

時(shí),右支座處截面的轉(zhuǎn)角絕對值為最大40簡支梁的最大撓度應(yīng)在處先研究第一段梁，令得41當(dāng)a>b時(shí)，x1<a

最大撓度確實(shí)在第一段梁中42梁中點(diǎn)C

處的撓度為結(jié)論:在簡支梁中,不論它受什么荷載作用,只要撓曲線上無拐點(diǎn),其最大撓度值都可用梁跨中點(diǎn)處的撓度值來代替,其精確度是能滿足工程要求的.43對各段梁，都是由坐標(biāo)原點(diǎn)到所研究截面之間的梁段上的外力來寫彎矩方程的。所以后一段梁的彎矩方程包含前一段梁的彎矩方程。只增加了（x-a）的項(xiàng)。對（x-a）的項(xiàng)作積分時(shí)，應(yīng)該將（x-a）項(xiàng)作為積分變量。從而簡化了確定積分常數(shù)的工作。積分法的原則44例題5：計(jì)算等強(qiáng)度梁的最大撓度lFxb(x)hbmaxb145解：I

為固定端截面的慣性矩lFxb(x)hbmaxb146lFxb(x)hbmaxb147lFxb(x)hbmaxb148lFxb(x)hbmaxb1邊界條件：49lFxb(x)hbmaxb1轉(zhuǎn)角方程：撓度方程：50lFxb(x)hbmaxb1將x=0

代入上式得自由端的轉(zhuǎn)角，撓度51§5-3

按疊加法求計(jì)算梁的撓度和轉(zhuǎn)角疊加原理：梁的變形微小，且梁在線彈性范圍內(nèi)工作時(shí)，梁在幾項(xiàng)荷載（可以是集中力,集中力偶或分布力）

同時(shí)作用下的撓度和轉(zhuǎn)角，就分別等于每一荷載單獨(dú)作用下該截面的撓度和轉(zhuǎn)角的疊加。當(dāng)每一項(xiàng)荷載所引起的撓度為同一方向（如均沿y

軸方向),其轉(zhuǎn)角是在同一平面內(nèi)(如均在xy

平面內(nèi))時(shí),

則疊加就是代數(shù)和,這就是疊加原理。52例題6：一抗彎剛度為EI的簡支梁受荷載如圖

所示。試按疊加原理求梁跨中點(diǎn)的撓度wC和支座處橫截面的轉(zhuǎn)角

A,B

。ABMCq53解：將梁上荷載分為兩項(xiàng)簡單的荷載，如圖。b,c所示(b)BACqBAMC(C)ABMCq=+54()()(b)BACqBAMC(C)ABMCq=+55例題:試?yán)茂B加法，求圖所示抗彎剛度為EI的簡支梁跨中點(diǎn)的撓度wC

和兩端截面的轉(zhuǎn)角

A,B

。ABCq56解：可視為正對稱荷載與反對稱荷載兩種情況的疊加。ABCqABCq/2CAB57（1）正對稱荷載作用下ABCq/258（2）反對稱荷載作用下可將AC段和BC段分別視為受均布線荷載作用且長度為l

/2的簡支梁在跨中C截面處，撓度fc等于零，但轉(zhuǎn)角不等于零且該截面的彎矩也等于零CAB59CABCAB60將相應(yīng)的位移進(jìn)行疊加,即得（）（）61CBA62例題：一抗彎剛度為EI的外伸梁受荷載如圖所示,

試按疊加原理并利用附表,求截面B的轉(zhuǎn)角

B

以及A端和BC中點(diǎn)D的撓度w

A

和wD

。

ABCDaa2a2qq63解：將外伸梁沿B

截面截成兩段，將AB段看成B端固定的懸臂梁，BC段看成簡支梁。ABCDaa2a2qq642qABB

截面兩側(cè)的相互作用力為：2qa2qa2qaBCDqABCDaa2a2qq65就是外伸梁AC

的

B，fD2qaBCDq簡支梁BC

的受力情況與外伸梁AC的BC

段的受力情況相同由簡支梁BC

求得的

B，wDABCDaa2a2qq662qaBCDq簡支梁BC

的變形就是MB和均布荷載q

分別引起變形的疊加。qBCDBCD67(1)求

B，wDqBCDBCD68由疊加原理得2qaBCDqBCDqBCD692qAB(2)求wA由于簡支梁上B

截面的轉(zhuǎn)動，代動AB

段一起作剛體運(yùn)動，使A

端產(chǎn)生撓度w1

懸臂梁AB本身的彎曲變形，使A端產(chǎn)生撓度w22qa2qaABCDqABCDq70因此，A端的總撓度應(yīng)為由附錄1V查得2qAB2qa2qaABCDqABCDq71§5-5

梁的剛度校核

提高梁的剛度的措施一、梁的剛度校核式中：wmax為梁上最大的撓度；l為梁的跨長；[w/l]為梁的許可撓度與的跨長比值。72梁的位移（撓度和轉(zhuǎn)角）除了與梁的支承和荷載情況有關(guān)外，還取決于以下三個(gè)因素：材料——梁的位移與材料的彈性模量E

成反比；截面——梁的位移與截面的慣性矩I

成反比；跨長——梁的位移與跨長l

的n

次冪成正比。二、提高梁的剛度的措施731.增大梁的抗彎剛度EI工程中常采用工字形,箱形截面為了減小梁的位移，可采取下列措施2.調(diào)整跨長和改變結(jié)構(gòu)設(shè)法縮短梁的跨長，將能顯著地減小其撓度和轉(zhuǎn)角。這是提高梁的剛度的一個(gè)很又效的措施。74橋式起重機(jī)的鋼梁通常采用兩端外伸的結(jié)構(gòu)就是為了縮短跨長而減小梁的最大撓度值。ABq75ABqABq1q1同時(shí)，由于梁的外伸部分的自重作用，將使梁的AB跨產(chǎn)生向上的撓度，從而使AB跨向下的撓度能夠被抵消一部分，而有所減小。增加梁的支座也可以減小梁的撓度。76§5-6梁內(nèi)的彎曲應(yīng)變能一、梁在純彎曲時(shí)的應(yīng)變能lmm

梁在純彎曲時(shí)，各橫截面的彎矩M

都