平行、垂直問題的證明-高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端

高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品

第三篇立體幾何

專題01平行、垂直問題的證明

類型對應(yīng)典例

證明線線平行典例1

證明線面平行典例2

證明面面平行典例3

證明線線垂直典例4

證明線面垂直典例5

證明面面垂直典例6

【典例1】如圖，在四棱錐尸―A5CZ)中，平面B45_L平面ABC。，四邊形A5CD為正方形，aQ鉆為

等邊三角形，E是PB中點、,平面AED與棱尸C交于點F.

(I)求證：AD//EF；

(II)求證：平面AEFD；

(HI)記四棱錐P—AEED的體積為匕，四棱錐P—A5CD的體積為匕，直接寫出孑的值.

V2

1

【典例2］在如圖所示的幾何體中，四邊形A3CO是菱形，AQNM是矩形，平面ADVMJ_平面4BCZ）,

NZMB-60，AD=2-AM=\.E為人呂的中點.

（1）求證：AN〃平面MEC；

（2）在線段4W上是否存在點尸，使二面角P-EC-O的大小為（？若存在，求出AP的長；若不存在,

請說明理由.

【典例3］如圖，在長方體45co-ABf中，/^二^人力二工民戶分別為人八M人的中點，。是8C

上一個動點，且8Q=4QC（；l>0）.

（1）當(dāng);1=1時，求證：平面BE尸尸平面A。。；

（2）是否存在2,使得8OJ,bQ?若存在，請求出義的值；若不存在，請說明理由.

2

【典例4】如圖，菱形ABC。中，AB=2,NZM8=60，”是A。的中點，以BM為折痕，將A4BM

折起，使點A到達點A的位置，且平面平面8CDM,

（1）求證：1BD；

（2）若K為AC的中點，求四面體M—48K的體積.

【典例5】如圖，在四棱錐P—A8CO中，四邊形A3。為正方形，Q4JL平面ABC。，PA=AB^M

是PC上一點，且BWJ_PC.

（1）求證：PC_L平面MBD；

（2）求直線P8與平面池）所成角的正弦值.

3

【典例6】已知四棱錐中尸一A3CD,底面43co為菱形，NA3C=60。，P4_L平面43c。，E、M

分別是5C、尸。上的中點，直線與平面BAD所成角的正弦值為姮，點尸在PC上移動.

(I)證明：無論點尸在PC上如何移動，都有平面AM_L平面PAO：

(II)求點尸恰為PC的中點時，二面角C—A尸—E的余弦值.

【針對訓(xùn)練】

1.在如圖所示的五面體A3CD防中,四邊形A8CD為菱形，且

NDAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF〃AB,M為3c中點.

(1)求證:EW//平面3￡>E;

(2)若平面4偵_1_平面A8CO,求F到平面BDE的距離.

4

2.己知空間幾何體A8COE中，△BCD與ACDE均是邊長為2的等邊三角形，AABC是腰長為3的等腰三角

形，平面CDE_L平面BCD,平面八AC_L平面BCD

(1)試在平面38內(nèi)作一條直線，使得直線上任意一點尸與E的連線E尸均與平面ABC平行，并給出證明;

(2)求三棱錐E-ABC的體積.

3.已知三棱錐尸—ABC中，ABA-AC,AB±AP.若平面。分別與棱R4、PB、BC、AC相交于點

E,￡G,〃且PCP平面a.

(2)AB1FG.

4.如圖，在四邊形A'3C￡>中，E'是4。的中點，AVB。為正三角形，08=2，DC=bBC=#>.

將A4'50沿直線80折起，使A'到達A處，￡到達E處，此時平面A3。_L平面8co.

(1)求證：DC1BE；

(2)求點。到平面8CE的距離.

5

5.如圖，直三棱柱ABC-AqG中，NBAC=90°，AB=AC,D,E分別為人4、片。的中點.

B

(1)證明：0E_L平面3CCM；

(2)已知3。與平面8CO所成的角為30°，求二面角。-BC一用的余弦值.

6.在四棱錐P—43C。中，底面A3CD為正方形，PB=PD.

(1)證明：面~4。_1面48。。；

(2)若B4與底面ABC。所成的角為30，PA.LPC,求二面角4-尸。-。的余弦值.

6

參考答案

【典例1】解:

(I)證明：因為正方形A5CZ)，所以AD//3C.

因為ADU平面PBC，BCu平面PBC，

所以A。//平面尸8C.

因為AOu平面AEFD，平面AEFDc平面P8C=即，

所以AD//EF

(II)證明：因為正方形ABC。，所以AD_LA8.

因為平面"48_L平面ABC。，平面R4Bc平面43cQ=A5，A￡>u平面A3CO,

所以AD_L平面R48

因為PBu平面BAB,

所以

因為AM4H為等邊二角形，K是/"中點，

所以尸3J_AE.

因為4Eu平面AEFD，AOu平面AEED，A￡cA￡)=A，

所以尸8J_平面AEED.

22

(HI)解：由(I)知，Vi=Vc_AEFDf%-48C=丫尸-ADC=和

558

?"j由=§刃，則%-詼產(chǎn)h+§匕=/1,

.YL=1

"V；"81

【典例2】解:

7

(I)CM與BN交于F，連接石尸.

由已知可得四邊形BCMW是平行四邊形，

所以尸是BN的中點.

因為E是的中點，

所以AN//EF.

又EFu平面MEC，AN￡平面MEC

所以AN//平面MEC.

(〃)由于四邊形A8CD是菱形，ND4B=60，E是A3的中點，可得

又四邊形ADNM是矩形，面ADNM_LiSA3Cr)，

.?.。人」面480

如圖是立空間直角坐標系D-xyz,

則0(0,0,0),E(6，o,0),C(0,2,0),P(G，-1,h),

CE=(邪,-2，0),EP=(0,-hh),

設(shè)平面PEC的法向量為q=(x,y,Z).

則產(chǎn)〃1=0.1后一2"0

EP-W1=0-y+hz=0

令y=\f3h，.二n}=(2h,>/3h，x/3),

又平面A￡>E的法向量%=(0，0,1),

n,-n超13、萬

???8飛’…麗7"標T5,解得什乎

v配>1，

7

二在線段AM上不存在點P，使二面角尸一瓦;一。的大小為?.

8

【典例3】解：(1)當(dāng);1=1時，。為3c中點，

因為E是AO的中點，所以ED=BQ,ED[BQ,

則四邊形BE。。是平行四邊形，所以8E||。。.

乂平面AOQ，DQu半倒A,。。，所以8萬|平面4。。.

因為瓦尸分別是ADAA中點，所以歷4。，

因為M(X平面A。。，A。U平面A.DQ,所以所II平面AiDQ.

因為BEcEb=瓦瓦'u平面BEF,BEu平面BEF，所以平面BEF\|平面A.DQ.

(2)如圖，連接AQ,BO與尸Q,

因為_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以AA_L3。.

若3O_LA2,乂4A42u平面HA。，且44「＞/。=尸，所以比＞_1_平面A^。

因為AQu平面A4Q,所以4Q_L8D.

在矩形A8CO中，由AQJ_B。，得44。a。/)區(qū)4,

所以A3?=皿5。.

13

又AB=1,4力=2,所以8Q=5，QC=],

貝嘿二5即%

9

小Di

(1)證明：在左圖中，???四邊形AZJCD是菱形，NO46=60，M是AO的中點,

???ADLBM

故在右圖中，A.MIBM,

,:平面4BM1平面BCDM,平面48MQ平面BCDM=BM,

???4M_L平面8CDM,

又BZ)u平面BCDV/，

所以AM_L30.

(2)解：在左圖中，???四邊形ABC。是菱形，ADA.BM,AD//BC,

；?BC工BM，UBM，

在右圖中，連接CM,則匕8爪=，S\R“?AM=LXLX2XGX1=3,

A-￡>CA/3A?LA/I32▼3

?/K為AC的中點，

??BCM=,

【典例5】解：(1)連接AC，由尸4_1_立面ABCO，8。0平面ABC。得3DJ.P4,

又BD_LAC,PAryAC=A,

???BZ)_L平面尸AC,得尸C_La)，

io

又PC工BM、BDcBC=B，

:.PC_L平面AffiD

（2）法I：由（1）知PCJ_平面MBZ），即是直線與平面MB。所成角，易證P8J_BC，而

BM工PC，

不妨設(shè)R4=l，則5c=1,PC=6,PB=B

在RfAPBC中,由射影定理得PM:MC=PB2:BC2=2:b

可得PM=2pC=2且，所以sin/PBM=四=巫,

33PB3

故直線P8與平面MBD所成角的正弦值為直.

3

法2：取A為原點，直線MB，MD、M尸分別為1,九z軸，建立坐標系A(chǔ)-盯z,不妨設(shè)%=鉆=1,

則P（0,0，D,5（1,0,0）,C（l,l,0）,

由（1）知平面M3。得法向量尸C=（l,l,一1），而PB=（l,0,T）,

網(wǎng)…畫也皆邛.

故直線PB3平面所成角的正弦值為直

3

11

【典例6】解：

（I）連接AC

???底百A3CD為菱形，ZABC=60°.

???AA5C是正三角形，

???E是3c中點，??AE_L5C

又皿?，???AE_LA￡）

???PA_L平面ABCD,AEu平面ABCD,

???P4J_AE，又R4cAE=A

???AEJ_平面PAO，又AEu平面AEF

???平面AEV_L平面尸AO.

（H）由（I）得，AE，AO,4P兩兩垂直，以AE，AO，A尸所在直線分別為“軸，V軸，z軸建

立如圖所示的空間直角坐標系，

???AE_L平面PA。，

工NAME就是EM與平面PAO所成的角，

在WMME中，sin/AME=姮，即絲=如，

5AM2

設(shè)A5=2a，則4E=6〃，得4M=\/%，

又40=48=2。，設(shè)%=?,則“（0,?？冢?/p>

所以40=5〃2+從=缶,

從而b=a,：?PA=AD=2^z，

則A（0,0,0）,8（扁-a,0）,C（扃,a,0）,D（0,2a,0）,P（0,0,2a）,

E（^,0,0）,F?&a,

\/

所以AE=（島,0,0）,AF=型募M,B力=卜島,340）,

設(shè)方（x,y,z）是平面AEb一個法向量，則

12

，ay取z=〃，得力=（0,—2a,〃）

[nAF=O-——+—+t7z=0

22

又8。_L平面ACF,??.BD=卜島,3〃,0）是平面ACF的一個法向量,

:.COSH,BD=JJ'=Y'_V15

卜代明馬.26a5

【針對訓(xùn)練】

1.【思路引導(dǎo)】

(1)取8。中點。，連接0M,0E.

因為O,M分別為BD,3C的中點，所以O(shè)M//CD,且OM=-CD.

2

因為四邊形A3CZ)為菱形，所以CD//AB,又CD<Z平面ABFE,ABu平面ABFE.

所以CD//平面A班E.

因為平面ABFE1平面CDEF=E￡CZ)u平面CDEF,

所以CD//EF.

又A8=C￡>=2,所以EF=[c。.

所以四邊形OMFE為平行四邊形，所以MF//OE.

又OEu平面BDE，且Mb(Z平面8DE,所以M/7〃平面8DE.

13

⑵由⑴得E必〃平面30E,所以F到平面的距離等于M到平面8OE的距離.

取AO的中點H、連接EH,BH,

因為四邊形ABCO為菱形，且ZDAB=60,￡4=EO=A8=2EF,

所以EH_LA￡),8”_LA。，

因為平面4)E_L平面A3CD平面ADEf)平面ABCD=AD、所以EH_L平面ABCD,EHLBH,

因為EH=BH=6，所以BE=&'

所以5“=gx小『［半)=半.

設(shè)尸到平面8OE的距離為近又因為S?/,w=-S?rn=-x—x4=—.

所以由％一皿M=VM-BDE，得L義6x?=Lxhx叵，解得八二叵.

32325

即F到平面8DE的距離為巫.

5

2.【思路引導(dǎo)】

(I)SXOC的中點N,取50的中點M,連接MM則MN即為所求，證明EN〃A〃，MN〃8c可得平面

￡MN〃平面ABC即可(2)因為點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等，求三棱錐E-ABC

的體積可轉(zhuǎn)化為求三棱錐N-ABC的體積，根據(jù)體積公式計算即可.

解：

(1)如圖所示，取OC的中點N,取8。的中點M,連接MN,則MN即為所求.

14

E,

DMH

證明：連接EM,EN,取3C的中點〃，連接A”，

「△ABC是腰長為3的等腰三角形，”為8C的中點，

：.AHLBC,又平面ABC_L平面BCD,平面4801平面88=8C,AHu平面A8C,

???A”_L平面BCD,同理可證EN_L平面BCD,

：.EN!/AH.

TENC平面ABC,AHu平面4BC,

???EN〃平面ABC.

又M,N分別為3D,。。的中點，

:.MN//BC,

?「MNa平面ABC,8Cu平面48C,

〃平面ABC.

又MNCEN=N,MNu平面EMN,ENu平面EMN,

???平面EMN〃平面ABC,

又EAz平面EMN,

尸〃平面4BC,

即直線MN上任意一點〃與上的連線E卜均與平面ABC平行.

(2)連接DH,取C”的中點G,連接NG,則NG

由(1)可知EN〃平面ABC,

???點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等，

又&BCD是邊長為2的等邊三角形，

又平面4BC_L平面BCO,平面ABCn平面BCD=BC,O〃u平面8c。，

平面ABC,???NG_L平面ABC,

15

易知?,.NG=等，

又SAABC=；BGAH=；x2x用一產(chǎn)=?五,

VE\BC=~SAABCNG=&

33

3.解：

證明（1）因為PCP平面a,平面a。平面Q4C=E”，PCu平面尸AC,所以有PCIIE斤，同理可證出

尸C||尸G、根據(jù)平行公理，可得防〃/G：

（2）因為A3J_AC，ABLAP^APcAC=A,AP,ACu平面PAC,所以ABJ_平面R4C,而PCu

平面PAC,所以。、由⑴可知PC||R7||￡：",所以

4.【思路引導(dǎo)】（1）先由題證明BDJ.DC，再證明。CJ_平面4BD則可得OC_L5E：

（2）用等體積轉(zhuǎn)化法%_8CE=%-88,求點O到平面8CE的距離.

解：(1)由08=2，DC=1,BC=5

可知+=3。2,

；?BD上DC，

又,:平面ABD平面BCD，且平面ABDc平面BCD=BD

，￡>C_L平面ABD，

又3Eu平面AB。，

???DCA.BE.

（2）取B力的中點尸，連接A尸.

???八4'雙）為正三角形，，A45r）也為正三角形,

/.AFA.BD.

16

由3。=2,知=

???平百A5￡)_L平面5CZ)，平面45￡)「1平面8?！?gt;=3￡>，

?*-AF_1_平面BCD，

又???￡為？對應(yīng)的點，

???E為AO的中點，

???點E到底面BCD的距離為無，BE=6ED=L

2

又CDJ_AO,CD=3：?CE=O'

又BC=布,

，B￡2+CE2=BC2，，BEICE，

?-S=-BExCE=-x>j3xy/2=—^

sliCFO

S9='oxOC=gx2xl=L

設(shè)。點到平面BCE的距離為h.

*VD-BCE=VE-BCD?

.1c,_lcV3_>/6._1y/3

,?~SABCE'fj=-SABCDX-~/I=1X—,

DJ乙乙乙

解得人=也，

2

???點D到平面BCE的距離為YZ.

2

5.【思路引導(dǎo)】解法1：(1)建立空間直角坐標系，利用直線的向量和平面法向量平行證明線面垂直；

(2)設(shè)4)=。，利用鳥。與平面5c。所成的角為30°得到。的值，再求出兩個面的法向量之間的夾角余

弦值，得到二面角的余弦值.

解法2：(I)取BC中點尸，連接A尸、EF,易證A/_L平面3CG片，再證明OE|iAF.可得。七_1_平

面BCC百

17

(2)設(shè)利用與。與平面5CQ所成的角為30°得到。的值，再求出兩個面的法向量之間的夾角余

弦值，得到二面角的余弦值.

解法3：(1)同解法2

⑵設(shè)懼=2。，利用三棱錐耳—8OC等體積轉(zhuǎn)化，得到與到面5C。的距離，利用8c與平面BCD所

成的角為30。得到4c與d的關(guān)系，解出。，在兩個平面分別找出放行直于交線，得到二面角，求

出其余弦值.

【詳解】

解法1：

(1)以A為坐標原點，射線為不軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-孫z.

11

設(shè)AB=1，AD=a,則5(1,0,0),C(0,1,0),B,(1,0,24/),力(0,0,。)，4(1,0,2〃)，E

Izz

O￡二(器,0),BC=(-l,l,0),B,C=(-l,l,-2?).

因為DEBC=0,DEBC=0'

所以DE_L5C,DE1B,C,BCu面BCC/i，面BCC中,BCcB￡=B

于是DE_L平面3CCM.

(2)設(shè)平面8co的法向量〃=(毛,％,z0),

則〃BC=O，HBD=0,

又8。=(一1」,0),二(-1,0M),

18

-X）+y=0，1、

故《0‘n°八，取/=1，得〃=U，—.

E+%=01a）

因為8c與平面所成的角為30。，4。=（一1,1,一2〃），

21

I/n?B.C/==一

所以辰（〃“"3。。，.?.而二J（2+4叫（2+,）2

解得4=1,

〃=（LL夜）.

2

由（1）知平面5c用的法向量A尸=0

1

nAF2+2&

cos//,AF=--；--7=----------------\=—

同的歷西.周IT2

所以二面角D-BC-B.的余弦值為也.

2

解法2：

（1）取3C中點尸，連接A/、EF,

\-AB=ACAAF1BC，

8B]JL平面ABC，A/7u平面48。

BB11AF,

而5Cu平面BCG4.8Ru平面8CC4、BCc48=8

4/，平面BCC/1.

???￡：為與C中點，EF||BBX,EF=；BB「

EFIDA,EF=DA，

二.四邊形ADEF為平行四邊形，

AF\\DE.

?！?_1_平面8℃由「

19

(2)以A為坐標原點，射線AB為x軸的正半軸，建立如圖所示的直角坐標系A(chǔ)-A＞，Z.

設(shè)80,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2a),則0(0,0M),4(1,0,2a),10.

I22/

設(shè)半由BCD的法向量〃=(%,%,z0),

則〃?8。=0，〃?8。=0，

又3C=(-LL0)，BD=(-1,0,67),

-xo+yo=O

故《

f+az0=0

取％=1,得"=1,1,—j.

Ia)

因為B.C與平面所成的角為30。，B、C=(-1,1,-2tz),

所以|cos<”,BXC)>|=sin30°，

字力二(1,1,@.

解得G=

(11

由(1)知平面BC用的法向量-,-,0

I22

20

所以二面角。-8C一4的余弦值為巨

2

解法3：

(1)同解法2.

6____

(2)設(shè)45=AC=1,M=2a,則3C=&，AF=芋BD=DC=、f(i7^，

??.DF=y/AD2+AF2=舊+；

,,SBDC=]-BCDF=^^-^S,BI=；BB>BC=6*

22z

D到平面BCB、距離DE=—f設(shè)，到面BCD距離為d,

2

由VB「BDC=VD-BCB,

得孔sDE李皿4即拼缶冬g.警。

d=.2a

72a2+1

因為6。與平面3c。所成的角為30。,

2a

所以4C=sin30。2d

y/2a2+}

而在直角三角形4313c中旦C=[BB：+BC2=4a