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文檔簡介
高考數(shù)學大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品
第三篇立體幾何
專題01平行、垂直問題的證明
類型對應典例
證明線線平行典例1
證明線面平行典例2
證明面面平行典例3
證明線線垂直典例4
證明線面垂直典例5
證明面面垂直典例6
【典例1】如圖,在四棱錐尸―A5CZ)中,平面B45_L平面ABC。,四邊形A5CD為正方形,aQ鉆為
等邊三角形,E是PB中點、,平面AED與棱尸C交于點F.
(I)求證:AD//EF;
(II)求證:平面AEFD;
(HI)記四棱錐P—AEED的體積為匕,四棱錐P—A5CD的體積為匕,直接寫出孑的值.
V2
1
【典例2]在如圖所示的幾何體中,四邊形A3CO是菱形,AQNM是矩形,平面ADVMJ_平面4BCZ),
NZMB-60,AD=2-AM=\.E為人呂的中點.
(1)求證:AN〃平面MEC;
(2)在線段4W上是否存在點尸,使二面角P-EC-O的大小為(?若存在,求出AP的長;若不存在,
請說明理由.
【典例3]如圖,在長方體45co-ABf中,/^二^人力二工民戶分別為人八M人的中點,。是8C
上一個動點,且8Q=4QC(;l>0).
(1)當;1=1時,求證:平面BE尸尸平面A。。;
(2)是否存在2,使得8OJ,bQ?若存在,請求出義的值;若不存在,請說明理由.
2
【典例4】如圖,菱形ABC。中,AB=2,NZM8=60,”是A。的中點,以BM為折痕,將A4BM
折起,使點A到達點A的位置,且平面平面8CDM,
(1)求證:1BD;
(2)若K為AC的中點,求四面體M—48K的體積.
【典例5】如圖,在四棱錐P—A8CO中,四邊形A3。為正方形,Q4JL平面ABC。,PA=AB^M
是PC上一點,且BWJ_PC.
(1)求證:PC_L平面MBD;
(2)求直線P8與平面池)所成角的正弦值.
3
【典例6】已知四棱錐中尸一A3CD,底面43co為菱形,NA3C=60。,P4_L平面43c。,E、M
分別是5C、尸。上的中點,直線與平面BAD所成角的正弦值為姮,點尸在PC上移動.
(I)證明:無論點尸在PC上如何移動,都有平面AM_L平面PAO:
(II)求點尸恰為PC的中點時,二面角C—A尸—E的余弦值.
【針對訓練】
1.在如圖所示的五面體A3CD防中,四邊形A8CD為菱形,且
NDAB=60°,EA=ED=AB=2EF=2,EF〃AB,M為3c中點.
(1)求證:EW//平面3£>E;
(2)若平面4偵_1_平面A8CO,求F到平面BDE的距離.
4
2.己知空間幾何體A8COE中,△BCD與ACDE均是邊長為2的等邊三角形,AABC是腰長為3的等腰三角
形,平面CDE_L平面BCD,平面八AC_L平面BCD
(1)試在平面38內(nèi)作一條直線,使得直線上任意一點尸與E的連線E尸均與平面ABC平行,并給出證明;
(2)求三棱錐E-ABC的體積.
3.已知三棱錐尸—ABC中,ABA-AC,AB±AP.若平面。分別與棱R4、PB、BC、AC相交于點
E,£G,〃且PCP平面a.
(2)AB1FG.
4.如圖,在四邊形A'3C£>中,E'是4。的中點,AVB。為正三角形,08=2,DC=bBC=#>.
將A4'50沿直線80折起,使A'到達A處,£到達E處,此時平面A3。_L平面8co.
(1)求證:DC1BE;
(2)求點。到平面8CE的距離.
5
5.如圖,直三棱柱ABC-AqG中,NBAC=90°,AB=AC,D,E分別為人4、片。的中點.
B
(1)證明:0E_L平面3CCM;
(2)已知3。與平面8CO所成的角為30°,求二面角。-BC一用的余弦值.
6.在四棱錐P—43C。中,底面A3CD為正方形,PB=PD.
(1)證明:面~4。_1面48。。;
(2)若B4與底面ABC。所成的角為30,PA.LPC,求二面角4-尸。-。的余弦值.
6
參考答案
【典例1】解:
(I)證明:因為正方形A5CZ),所以AD//3C.
因為ADU平面PBC,BCu平面PBC,
所以A。//平面尸8C.
因為AOu平面AEFD,平面AEFDc平面P8C=即,
所以AD//EF
(II)證明:因為正方形ABC。,所以AD_LA8.
因為平面"48_L平面ABC。,平面R4Bc平面43cQ=A5,A£>u平面A3CO,
所以AD_L平面R48
因為PBu平面BAB,
所以
因為AM4H為等邊二角形,K是/"中點,
所以尸3J_AE.
因為4Eu平面AEFD,AOu平面AEED,A£cA£)=A,
所以尸8J_平面AEED.
22
(HI)解:由(I)知,Vi=Vc_AEFDf%-48C=丫尸-ADC=和
558
?"j由=§刃,則%-詼產(chǎn)h+§匕=/1,
.YL=1
"V;"81
【典例2】解:
7
(I)CM與BN交于F,連接石尸.
由已知可得四邊形BCMW是平行四邊形,
所以尸是BN的中點.
因為E是的中點,
所以AN//EF.
又EFu平面MEC,AN£平面MEC
所以AN//平面MEC.
(〃)由于四邊形A8CD是菱形,ND4B=60,E是A3的中點,可得
又四邊形ADNM是矩形,面ADNM_LiSA3Cr),
.?.。人」面480
如圖是立空間直角坐標系D-xyz,
則0(0,0,0),E(6,o,0),C(0,2,0),P(G,-1,h),
CE=(邪,-2,0),EP=(0,-hh),
設平面PEC的法向量為q=(x,y,Z).
則產(chǎn)〃1=0.1后一2"0
EP-W1=0-y+hz=0
令y=\f3h,.二n}=(2h,>/3h,x/3),
又平面A£>E的法向量%=(0,0,1),
n,-n超13、萬
???8飛’…麗7"標T5,解得什乎
v配>1,
7
二在線段AM上不存在點P,使二面角尸一瓦;一。的大小為?.
8
【典例3】解:(1)當;1=1時,。為3c中點,
因為E是AO的中點,所以ED=BQ,ED[BQ,
則四邊形BE。。是平行四邊形,所以8E||。。.
乂平面AOQ,DQu半倒A,。。,所以8萬|平面4。。.
因為瓦尸分別是ADAA中點,所以歷4。,
因為M(X平面A。。,A。U平面A.DQ,所以所II平面AiDQ.
因為BEcEb=瓦瓦'u平面BEF,BEu平面BEF,所以平面BEF\|平面A.DQ.
(2)如圖,連接AQ,BO與尸Q,
因為_L平面ABCD,BDu平面ABCD,所以AA_L3。.
若3O_LA2,乂4A42u平面HA。,且44「>/。=尸,所以比>_1_平面A^。
因為AQu平面A4Q,所以4Q_L8D.
在矩形A8CO中,由AQJ_B。,得44。a。/)區(qū)4,
所以A3?=皿5。.
13
又AB=1,4力=2,所以8Q=5,QC=],
貝嘿二5即%
9
小Di
(1)證明:在左圖中,???四邊形AZJCD是菱形,NO46=60,M是AO的中點,
???ADLBM
故在右圖中,A.MIBM,
,:平面4BM1平面BCDM,平面48MQ平面BCDM=BM,
???4M_L平面8CDM,
又BZ)u平面BCDV/,
所以AM_L30.
(2)解:在左圖中,???四邊形ABC。是菱形,ADA.BM,AD//BC,
;?BC工BM,UBM,
在右圖中,連接CM,則匕8爪=,S\R“?AM=LXLX2XGX1=3,
A-£>CA/3A?LA/I32▼3
?/K為AC的中點,
??BCM=,
【典例5】解:(1)連接AC,由尸4_1_立面ABCO,8。0平面ABC。得3DJ.P4,
又BD_LAC,PAryAC=A,
???BZ)_L平面尸AC,得尸C_La),
io
又PC工BM、BDcBC=B,
:.PC_L平面AffiD
(2)法I:由(1)知PCJ_平面MBZ),即是直線與平面MB。所成角,易證P8J_BC,而
BM工PC,
不妨設R4=l,則5c=1,PC=6,PB=B
在RfAPBC中,由射影定理得PM:MC=PB2:BC2=2:b
可得PM=2pC=2且,所以sin/PBM=四=巫,
33PB3
故直線P8與平面MBD所成角的正弦值為直.
3
法2:取A為原點,直線MB,MD、M尸分別為1,九z軸,建立坐標系A-盯z,不妨設%=鉆=1,
則P(0,0,D,5(1,0,0),C(l,l,0),
由(1)知平面M3。得法向量尸C=(l,l,一1),而PB=(l,0,T),
網(wǎng)…畫也皆邛.
故直線PB3平面所成角的正弦值為直
3
11
【典例6】解:
(I)連接AC
???底百A3CD為菱形,ZABC=60°.
???AA5C是正三角形,
???E是3c中點,??AE_L5C
又皿?,???AE_LA£)
???PA_L平面ABCD,AEu平面ABCD,
???P4J_AE,又R4cAE=A
???AEJ_平面PAO,又AEu平面AEF
???平面AEV_L平面尸AO.
(H)由(I)得,AE,AO,4P兩兩垂直,以AE,AO,A尸所在直線分別為“軸,V軸,z軸建
立如圖所示的空間直角坐標系,
???AE_L平面PA。,
工NAME就是EM與平面PAO所成的角,
在WMME中,sin/AME=姮,即絲=如,
5AM2
設A5=2a,則4E=6〃,得4M=\/%,
又40=48=2。,設%=?,則“(0,。口),
所以40=5〃2+從=缶,
從而b=a,:?PA=AD=2^z,
則A(0,0,0),8(扁-a,0),C(扃,a,0),D(0,2a,0),P(0,0,2a),
E(^,0,0),F?&a,
\/
所以AE=(島,0,0),AF=型募M,B力=卜島,340),
設方(x,y,z)是平面AEb一個法向量,則
12
,ay取z=〃,得力=(0,—2a,〃)
[nAF=O-——+—+t7z=0
22
又8。_L平面ACF,??.BD=卜島,3〃,0)是平面ACF的一個法向量,
:.COSH,BD=JJ'=Y'_V15
卜代明馬.26a5
【針對訓練】
1.【思路引導】
(1)取8。中點。,連接0M,0E.
因為O,M分別為BD,3C的中點,所以OM//CD,且OM=-CD.
2
因為四邊形A3CZ)為菱形,所以CD//AB,又CD<Z平面ABFE,ABu平面ABFE.
所以CD//平面A班E.
因為平面ABFE1平面CDEF=E£CZ)u平面CDEF,
所以CD//EF.
又A8=C£>=2,所以EF=[c。.
所以四邊形OMFE為平行四邊形,所以MF//OE.
又OEu平面BDE,且Mb(Z平面8DE,所以M/7〃平面8DE.
13
⑵由⑴得E必〃平面30E,所以F到平面的距離等于M到平面8OE的距離.
取AO的中點H、連接EH,BH,
因為四邊形ABCO為菱形,且ZDAB=60,£4=EO=A8=2EF,
所以EH_LA£),8”_LA。,
因為平面4)E_L平面A3CD平面ADEf)平面ABCD=AD、所以EH_L平面ABCD,EHLBH,
因為EH=BH=6,所以BE=&'
所以5“=gx小『[半)=半.
設尸到平面8OE的距離為近又因為S?/,w=-S?rn=-x—x4=—.
所以由%一皿M=VM-BDE,得L義6x?=Lxhx叵,解得八二叵.
32325
即F到平面8DE的距離為巫.
5
2.【思路引導】
(I)SXOC的中點N,取50的中點M,連接MM則MN即為所求,證明EN〃A〃,MN〃8c可得平面
£MN〃平面ABC即可(2)因為點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等,求三棱錐E-ABC
的體積可轉化為求三棱錐N-ABC的體積,根據(jù)體積公式計算即可.
解:
(1)如圖所示,取OC的中點N,取8。的中點M,連接MN,則MN即為所求.
14
E,
DMH
證明:連接EM,EN,取3C的中點〃,連接A”,
「△ABC是腰長為3的等腰三角形,”為8C的中點,
:.AHLBC,又平面ABC_L平面BCD,平面4801平面88=8C,AHu平面A8C,
???A”_L平面BCD,同理可證EN_L平面BCD,
:.EN!/AH.
TENC平面ABC,AHu平面4BC,
???EN〃平面ABC.
又M,N分別為3D,。。的中點,
:.MN//BC,
?「MNa平面ABC,8Cu平面48C,
〃平面ABC.
又MNCEN=N,MNu平面EMN,ENu平面EMN,
???平面EMN〃平面ABC,
又EAz平面EMN,
尸〃平面4BC,
即直線MN上任意一點〃與上的連線E卜均與平面ABC平行.
(2)連接DH,取C”的中點G,連接NG,則NG
由(1)可知EN〃平面ABC,
???點E到平面ABC的距離與點N到平面ABC的距離相等,
又&BCD是邊長為2的等邊三角形,
又平面4BC_L平面BCO,平面ABCn平面BCD=BC,O〃u平面8c。,
平面ABC,???NG_L平面ABC,
15
易知?,.NG=等,
又SAABC=;BGAH=;x2x用一產(chǎn)=?五,
VE\BC=~SAABCNG=&
33
3.解:
證明(1)因為PCP平面a,平面a。平面Q4C=E”,PCu平面尸AC,所以有PCIIE斤,同理可證出
尸C||尸G、根據(jù)平行公理,可得防〃/G:
(2)因為A3J_AC,ABLAP^APcAC=A,AP,ACu平面PAC,所以ABJ_平面R4C,而PCu
平面PAC,所以。、由⑴可知PC||R7||£:",所以
4.【思路引導】(1)先由題證明BDJ.DC,再證明。CJ_平面4BD則可得OC_L5E:
(2)用等體積轉化法%_8CE=%-88,求點O到平面8CE的距離.
解:(1)由08=2,DC=1,BC=5
可知+=3。2,
;?BD上DC,
又,:平面ABD平面BCD,且平面ABDc平面BCD=BD
,£>C_L平面ABD,
又3Eu平面AB。,
???DCA.BE.
(2)取B力的中點尸,連接A尸.
???八4'雙)為正三角形,,A45r)也為正三角形,
/.AFA.BD.
16
由3。=2,知=
???平百A5£)_L平面5CZ),平面45£)「1平面8?!?gt;=3£>,
?*-AF_1_平面BCD,
又???£為?對應的點,
???E為AO的中點,
???點E到底面BCD的距離為無,BE=6ED=L
2
又CDJ_AO,CD=3:?CE=O'
又BC=布,
,B£2+CE2=BC2,,BEICE,
?-S=-BExCE=-x>j3xy/2=—^
sliCFO
S9='oxOC=gx2xl=L
設。點到平面BCE的距離為h.
*VD-BCE=VE-BCD?
.1c,_lcV3_>/6._1y/3
,?~SABCE'fj=-SABCDX-~/I=1X—,
DJ乙乙乙
解得人=也,
2
???點D到平面BCE的距離為YZ.
2
5.【思路引導】解法1:(1)建立空間直角坐標系,利用直線的向量和平面法向量平行證明線面垂直;
(2)設4)=。,利用鳥。與平面5c。所成的角為30°得到。的值,再求出兩個面的法向量之間的夾角余
弦值,得到二面角的余弦值.
解法2:(I)取BC中點尸,連接A尸、EF,易證A/_L平面3CG片,再證明OE|iAF.可得。七_1_平
面BCC百
17
(2)設利用與。與平面5CQ所成的角為30°得到。的值,再求出兩個面的法向量之間的夾角余
弦值,得到二面角的余弦值.
解法3:(1)同解法2
⑵設懼=2。,利用三棱錐耳—8OC等體積轉化,得到與到面5C。的距離,利用8c與平面BCD所
成的角為30。得到4c與d的關系,解出。,在兩個平面分別找出放行直于交線,得到二面角,求
出其余弦值.
【詳解】
解法1:
(1)以A為坐標原點,射線為不軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標系A-孫z.
11
設AB=1,AD=a,則5(1,0,0),C(0,1,0),B,(1,0,24/),力(0,0,。),4(1,0,2〃),E
Izz
O£二(器,0),BC=(-l,l,0),B,C=(-l,l,-2?).
因為DEBC=0,DEBC=0'
所以DE_L5C,DE1B,C,BCu面BCC/i,面BCC中,BCcB£=B
于是DE_L平面3CCM.
(2)設平面8co的法向量〃=(毛,%,z0),
則〃BC=O,HBD=0,
又8。=(一1」,0),二(-1,0M),
18
-X)+y=0,1、
故《0‘n°八,取/=1,得〃=U,—.
E+%=01a)
因為8c與平面所成的角為30。,4。=(一1,1,一2〃),
21
I/n?B.C/==一
所以辰(〃“"3。。,.?.而二J(2+4叫(2+,)2
解得4=1,
〃=(LL夜).
2
由(1)知平面5c用的法向量A尸=0
1
nAF2+2&
cos//,AF=--;--7=----------------\=—
同的歷西.周IT2
所以二面角D-BC-B.的余弦值為也.
2
解法2:
(1)取3C中點尸,連接A/、EF,
\-AB=ACAAF1BC,
8B]JL平面ABC,A/7u平面48。
BB11AF,
而5Cu平面BCG4.8Ru平面8CC4、BCc48=8
4/,平面BCC/1.
???£:為與C中點,EF||BBX,EF=;BB「
EFIDA,EF=DA,
二.四邊形ADEF為平行四邊形,
AF\\DE.
?!?_1_平面8℃由「
19
(2)以A為坐標原點,射線AB為x軸的正半軸,建立如圖所示的直角坐標系A-A>,Z.
設80,0,0),C(0,l,0),4(1,0,2a),則0(0,0M),4(1,0,2a),10.
I22/
設半由BCD的法向量〃=(%,%,z0),
則〃?8。=0,〃?8。=0,
又3C=(-LL0),BD=(-1,0,67),
-xo+yo=O
故《
f+az0=0
?。?1,得"=1,1,—j.
Ia)
因為B.C與平面所成的角為30。,B、C=(-1,1,-2tz),
所以|cos<”,BXC)>|=sin30°,
字力二(1,1,@.
解得G=
(11
由(1)知平面BC用的法向量-,-,0
I22
20
所以二面角。-8C一4的余弦值為巨
2
解法3:
(1)同解法2.
6____
(2)設45=AC=1,M=2a,則3C=&,AF=芋BD=DC=、f(i7^,
??.DF=y/AD2+AF2=舊+;
,,SBDC=]-BCDF=^^-^S,BI=;BB>BC=6*
22z
D到平面BCB、距離DE=—f設,到面BCD距離為d,
2
由VB「BDC=VD-BCB,
得孔sDE李皿4即拼缶冬g.警。
d=.2a
72a2+1
因為6。與平面3c。所成的角為30。,
2a
所以4C=sin30。2d
y/2a2+}
而在直角三角形4313c中旦C=[BB:+BC2=4a
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