高二數(shù)學選擇性必修二課后分層作業(yè)與答案解析

高二數(shù)學選擇性必修二課后分層作業(yè)全套

《4.1數(shù)列的概念》課后分層作業(yè)

（第一課時）

［A級基礎(chǔ)鞏固］

1.下列說法正確的是（）

A.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)集｛1,3,5,7｝是一樣的

B.數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的

C.數(shù)列11+：｝是遞增數(shù)列

D.數(shù)列［1+

是擺動數(shù)列

2.已知數(shù)列士，則0.96是該數(shù)列的（）

Z□4n十1

A.第20項B.第22項C.第24項D.第26項

3.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于（）

A.11B.12C.13D.14

4.已知數(shù)列｛a｝的通項公式an=log（e）（n+2）,則它的前30項之積是（）

5.已知遞減數(shù)列（aj中，a,,=kn（k為常數(shù)），則實數(shù)k的取值范圍是［）

A.RB.（0,+8）C.（一8,0）D.（-8,0］

6.數(shù)列一1,1,-2,2,一3,3,…的一個通項公式為.

7.已知數(shù)列｛aj的通項公式a“=19—2n,則使成立的最大正整數(shù)n的值為

8.已知數(shù)列｛an｝的通項公式an=Ty,則an?an+i?an+2=______.

n十1

9.觀察下面數(shù)列的特點,用適當?shù)臄?shù)填空，并寫出每個數(shù)列的一個通項公式：

,.32751

⑴T5,I?-----，

⑵近近返遮....

24’35''

⑶2,1,,"

,、3965

⑷亍?------，正,

10.根據(jù)數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并用圖象表示出來:

(l)an=(-l)n4-2；

n+1

(2)a,=—

[B級綜合運用]

II.(多選)一個無窮數(shù)列｛aj的前三項是1,2,3,下列可以作為其通項公式的是()

A.

，

B.a,I=n-6n'—12n—6

C.

6

D.an=n2-6n+ll

12.對任意的小￡(0,1)，由關(guān)系式a-產(chǎn)f⑸)得到的數(shù)列滿足M+OaKnEM),則函數(shù)y=

)

13.已知數(shù)列2,p2,…的通項公式為Q尸也土士則由a5-

4cn

l3

-

a--

14.已知數(shù)歹1」｛a｝的通項公式為a尸p"+q(p,q￡R),且a12-4

2f

(1)求⑸｝的通項公式；

⑵一黑是⑸｝中的第幾項？

zoo

(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？

[C級拓展探究]

f9n"-9n+21

15.己知數(shù)列|9萬一:

(D求這個數(shù)列的第10項；

(2)需98是不是該數(shù)列中的項，為什么？

（3）求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間（0,1）內(nèi);

（4）在區(qū)間七，§內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有,是第幾項？若沒有，說明理由.

答案解析

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.下列說法正確的是（）

A.數(shù)列1,3,5,7與數(shù)集｛1,3,5,7｝是一樣的

B.數(shù)列1,2,3與數(shù)列3,2,1是相同的

C.數(shù)列｛1+肯是遞增數(shù)列

D.數(shù)列是攜動數(shù)列

解析：選D數(shù)列是有序的，而數(shù)集是無序的，所以A,B不正確；選項C中的數(shù)列是遞減

數(shù)列；選項D中的數(shù)列是擺動數(shù)列.

2.已知數(shù)列|,,士，則0.96是該數(shù)列的（）

234n十1

A.第20項B.第22項C.第24項D.第26項

解析：選C由一匕=0.96,解得n=24.

n十1

3.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55中,x等于（）

A.11B.12C.13D.14

解析：選C觀察數(shù)列可知，后一項是前兩項的和，故x=5+8=13.

4.已如數(shù)列瓜｝的通項公式a“=log（n+i）（nI2）,則它的前30項之稅是（）

1log?3+lQg：“32

建B.5k/?0I)?u

5

解析：選Bai?a2?a.i.........aso=log23Xlog：j4Xlog?5X??*XIog3i32=log232=log22=5.

5.已知遞減數(shù)列｛aj中，&=kn（k為常數(shù)），則實數(shù)k的取值范圍是i）

A.RB.(0,+8)

C.(-co,o)D.(-8,0]

解析：選Ca^+i—an=k(n+1)—kn=k<0.

6.數(shù)列一1,1,—2,2,—3,3,…的一個通項公式為—

n=2k—l(keN*),

解析：注意到數(shù)列的奇數(shù)項與偶數(shù)項的特點即uj'得a“=<

n=2k(keN*).

n+1

—,n=2k-l(kWN*),

答案:3n

n=2k(k￡N*)

l乙

7.已知數(shù)列｛a?｝的通項公式an=19-2n,則使an>0成立的最大正整數(shù)n的值為—

19

解析：由a“=19—2n>0,得n<?彳.丁n￡N*,/.n^9.

答案：9

8.已知數(shù)列｛a｝的通項公式a?=-7-7,則a?a+i?a+=______.

nn十1nnn2

nn+1n+2n

—?一==?而*==苗

9.觀察下面數(shù)列的特點，用適當?shù)臄?shù)填空，并寫出每個數(shù)列的一個通項公式:

12'3

15124'35

(3)2,1,_

解：(1)根據(jù)觀察：分母的最小公倍數(shù)為12,把各項都改寫成以12為分母的分數(shù)，則序號

123456

98754

1212121212

于是應(yīng)填而分子恰為10減序號,

1乙

故應(yīng)填;，通項公式為a0=器1.

小V17^/16+1返」25+1我<36+1

34-11516-12425-13536-1,

只要按上面形式把原數(shù)改寫，便可發(fā)現(xiàn)各項與序號的對應(yīng)關(guān)系：分子為序號加1的平方與1

的和的算術(shù)平方根，分母為序號加1的平方與1的差.故應(yīng)填變,

4(n+]『+]

通項公式為a=

n(n+l)2-l

221222

⑶因為所以數(shù)列缺少部分為數(shù)列的通項公式為a.

(4)先將原數(shù)列變形為百4一，壺…,所以應(yīng)填總數(shù)列的通項公式為a0=n+]

10.根據(jù)數(shù)列的通項公式，寫出數(shù)列的前5項，并用圖象表示出來：

(l)an=(-1)"+2；

小\n+1

(2)a=.

nn

解：(l)aI=L良=3,a3=l,at=3,法=1.圖象如圖①.

3456

(2)a1=2,a2—?i3=T?as=7'.圖象如圖②.

z34□

[B級綜合運用]

11.(多選)一個無窮數(shù)列(a』的前三項是1,2,3,下列可以作為其通項公式的是()

A.a=nB.a?=n3—6n2—12n—6C.a=zn2—^n+16

nnD，a，=6n+ll

解析：選AD對于A,若a?=n,則a1=l,a2=2,祗=3,符合題意；對于B,若熱="'一

2

6n2—12n+6,則a1=—11,不符合題意；對于C,若an=^n—當n=3時，包=4*3,

不符合題意；對于D’若則①=1，&=2,沏=3,符合題意.故選A、D.

12.對任意的aV(0,1),由關(guān)系式an+i=f(a)得到的數(shù)列滿足小+OaXnEM),則函數(shù)y=

f(x)的圖象是()

解析：選A據(jù)題意，由關(guān)系式產(chǎn)f(aj得到的數(shù)列｛即｝,滿足劣+。③，即該函數(shù)y=f(x)

的圖象上任一點(x,y)都滿足y>〉:，結(jié)合圖象，只有A滿足，故選A.

13.已知數(shù)列2,2,…的通頊公式為加="二一，則加=,a.s=

4cn

7

解析：將ai=2,a2G代入通項公式，得

b=3a,

解得1

c=2a,

_n2+3._42+3_19_52+3_14

a5==

=2n，??丁=2><4=石'2X5V

4m1914

答案：

oT

1Q

n

14.已知數(shù)列｛aj的通項公式為a=p+q(p,q￡R),且a】=—5,a2=--

(1)求⑸｝的通項公式；

⑵一辭是｛aj中的第幾項？

(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？

13

n

解：(1)Va?=p4-q,且a】=—5,a2=-

-1

p+q=-5，1

,P=n?

:?<§解得j2

p2+q=_『lq=T，

因此｛aj的通項公式是④=(；)—1.

⑵令小=一黑,即H-n，

所以曾=4,解得n=8.故一翟是⑸｝中的第8項?

2)4D0ZDO

(3)由于捻=七)-1,且&)隨n為增大而減小，因此演的值隨n的增大而減小，故｛aj是

遞減數(shù)列.

[C級拓展探究]

9n2-9n+2]

已知數(shù)列

15..9nJJ,

(1)求這個數(shù)列的第10項;

(2)而是不是該數(shù)列中的項，為什么？

(3)求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi);

(4)在區(qū)間&|

內(nèi)有無數(shù)列中的項？若有，是第幾項？若沒有，說明理由.

9n2-9n+2

解:(1)設(shè)玉=f(n)=

9n「I

(3n—l)(3n—2)3n—2

=(3n-l)(3n+l)=3n+r

oo

令n=10,得第10項ap=f(10)=/

J1

⑵蔣=存得9n=3。。.

98

此方程無正整數(shù)解，所以而不是該數(shù)列中的項.

(3)證明：Ya,尸注^=1一白7，

3n十13n+l

且n￡N*,.,.0<l-7JZ7<b

3n+1

???0<a?<L.??數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0,1)內(nèi).

(4)W<a"

33n十13

3n+K9n—6,

9n-6<6n+2,

???當且僅當n=2時，上式成立，故在區(qū)間七，穹內(nèi)有數(shù)列中的項，且只有一項為a2=/

4.1第二課時數(shù)列的遞推公式與前n項和

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.已知數(shù)列｛aj滿足a】=l,an+i=2an+l,則砌等于()

A.15B.16C.31D.32

2.若數(shù)列｛4｝滿足an+i=4a，3(n￡M),且a1=l,則a]?=()

A.13B.14C.15D.16

2

3.(多選)數(shù)列⑸｝中，an=-nH-lln,則此數(shù)列最大項是()

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

4.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步

為：

第一步：構(gòu)造數(shù)列1,；,???,士①

234n

第二步：將數(shù)列①的各項乘n,得到數(shù)列(i己為)a2,a3,an.

則n22時，aiaz+a233H---Fan-ian=()

A.n2B.(n—I)2C.n(n—1)D.n(n+1)

5.由1,3,5,…，2n—L…構(gòu)成數(shù)列｛aj,數(shù)列｛bj滿足bi=2,當n由2時,bn=abn-i,

則b6的值是()

A.9B.17C.33D.65

6.函數(shù)f(x)定義如下表,數(shù)列｛x,｝滿足x0=5,且對任意的自然數(shù)均有xe=f(xj,則xz⑼

X12345

f(x)51342

7.如圖(1)是第七屆國際數(shù)學教育大會(簡稱1CME-7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如

圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OAi=AA=A2A3=3=Aa=1,如果把圖(2)中

的直角三角形繼續(xù)作下去，記OAi,0A2,…，04,…的長度構(gòu)成數(shù)列區(qū)｝,則此數(shù)列的通項

公式為an=?

8.數(shù)列｛aj的前n項和為Sn,若Sn+Sn>=2n-l(n^2),且Sz=3,則n+小的值為.

9.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前四項，并寫出它的一個通項公式：

(l)ai=O,a<,+i=an+2n—1(n€N*；；

(2)a1=1,cln+l=3n(n￡N*)；

n+1

(3)3)=2,&2=3?3n+2=3an+i—2an(nN).

10.已知函數(shù)f(x)=x-L.數(shù)列(aj滿足f(aj=-2n,且a“>0.求數(shù)列｛&｝的通項公式.

X

[B級綜合運用]

11.己知數(shù)列｛&｝的首項為2,且數(shù)列｛&｝滿足&+i=史工(數(shù)列5｝的前n項的和為

an+1

則S魄等于()

A.504B.294C.一294D.-504

12.(多選)數(shù)列｛FJ：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利

數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從

第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和.記數(shù)列｛FJ的前n項和為S”，則下列結(jié)論正確的

是()

A.SS=FT—1B.S5=SG_1C.S20)9=F2021—1D.S2019=F2020—1

13.已知數(shù)列⑸｝滿足ai=l,an=c^-i—1(n>l),則a202i=_______"*+++/=(n

>1).

14.己知數(shù)列｛小｝滿足a】=J,ana1-1=an-1-an(n^2),求數(shù)列EJ的通項公式.

[C級拓展探究]

15.已知數(shù)列｛③｝的通項公式為生=56￡10,則這個數(shù)列是否存在最大項？若存在，請求

4

出最大項；若不存在，請說明理由.

答案解析

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.已知數(shù)列瓜｝滿足&=1,an+1=2a?+l,則加等于()

A.15B.16C.31D.32

解析：選C'?數(shù)歹心電｝滿足a1=l,an+i=2an+l?

Aa2=2X1+1=3,a3=2X3+l=7,a.(=2X7+l=15,a5=2X15+1=31.

2.若數(shù)歹必必｝滿足ae=^9(n￡N*),且a=1,則命=()

A.13B.14C.15D.16

4a|33

解析：選A由3n+[=得a?+i-an=『ai?=ai+(a?—aj+(as-a2)+…+(a^—aie)=1

3

+-X16=13,故選A.

2

3.（多選）數(shù)列｛5｝中，dn=-n+llii,則此數(shù)列最大項是（）

A.第4項B.第5項C.第6項D.第7項

解析：選BCan=—r+1111=—（n—?）十號，

???n￡N+,???當n=5或n=6時，心取最大值.故選B、C.

4.我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步

為：

第一步：構(gòu)造數(shù)列1,:，…，,.①

zo4n

第二步：將數(shù)列①的各項乘n,得到數(shù)列(記為)&,a2,a3,…，an.

則n22時，aiaz+a233H----Fan-ian=()

A.n2B.(n—I)2C.n(n—1)D.n(n+1)

11

解析：選C由題意得kN2時，解-a=/["IN=n｛7~^-Il工2？時,a⑶+a2a3

k(k—l)k\k—1ky

+???+…=n1(T)+RT)+…+(尚-5|ET)=n(nT).故選C.

5.由1,3,5,…，2n—L…構(gòu)成數(shù)列｛a,｝,數(shù)列｛bj滿足E=2,當n由2時,bn=ab?-i,

則b6的值是()

A.9B.17C.33D.65

,

解析：選CVbn=abn-i,..b2=ab)=a2=3,b3=ab2=a3=5,bt=ab：=as=9,b5=ab4=a.)

=17,b6=ab5=ai7=33.

6.函數(shù)f(x)定義如下表，數(shù)列｛xj滿足X0=5,且對任意的自然數(shù)均有Xn+產(chǎn)f(Xn),則X2⑼

答案：1

7.如圖(1)是第七屆國際數(shù)學教育大會(簡稱ICME-7)的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如

圖(2)的一連串直角三角形演化而成的，其中OA】=AA=A2A3=i=A7A8=1,如果把圖(2)中

的直角三角形繼續(xù)作下去，記0A,0A2,0A”，…的長度構(gòu)成數(shù)列｛a,｝,則此數(shù)列的通項

解析：因為OA】=1,042=:，OAa=…，…，所以a=1,助=*,由=乖，…,

an=yfn.

答案：,

8.數(shù)列｛aj的前n項和為出,若Sn+Sn-1=2n-l(n^2),且S2=3,則a+a?的值為______.

解析：VSn+Sn-i=2n—1(n>2),令n=2,

得Sz+S1=3,由Sz=3得a1=S】=O,

令n=3,得&+S2=5,所以S3=2,

則a3=S3~S2=-1>所以ai+as=0+(―1)=—1.

答案：一1

9.根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的前四項，并寫出它的一個通項公式:

(l)ai=0,an4-i=a?+2n—1(nEN*J；

a

(2)a)=l,an+i=an+-35r(neN*)；

n+1

(3)ai=2,22=3,a?4-2=3an+i—2an(nEN*).

解：(l)ai=0,a2=l,a3=4,a,=9.它的一個通項公式為an=(n-1>.

q46n+1

(2)a,=l,a2=-,a3=",.它的一個通項公式為必=于.

乙乙乙乙

(3)ai=2,包=3,玉=5,4=9.它的一個通項公式為an=2i+1.

10.己知函數(shù)f(x)=x-1.數(shù)列｛aj滿足f(a)=-2n,且aQO.求數(shù)列｛8｝的通項公式.

X

解：Vf(x)=x-Af(aJ=an——,

Vf(a,)=—2n.Aa,,--=—2n,即a：+2n&[-1=0.

3n

2

，an=-n±、A+l.Van>0>/.an=*^n+l—n.

[B級綜合運用]

11.己知數(shù)列｛aj的首項為2,且數(shù)列｛a｝滿足&+1=三號，數(shù)列5｝的前n項的和為S”，

an+l

則$0何等于()

A.504B.294C.一294D.一504

a—]?]

解析：選C*.*Si=2?an+i=?.,a2=T>ci3=-a?=—3,as=2>,,,,，數(shù)列｛%｝的

a?-r13z

7Si008=54X252=252X(一-294.

周期為4,且ai十a(chǎn)2+a?十-??

6

12.(多選)數(shù)列｛R｝：1,1,2,3,5,8,13,21,34,…稱為斐波那契數(shù)列，是由十三世紀意大利

數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入的，故又稱為“兔子數(shù)列”.該數(shù)列從

第三項開始，每項等于其前相鄰兩項之和.記數(shù)列｛FJ的前n項和為院，則下列結(jié)論正確的

是()

A.Ss=F?—1B.S5=Se—1C.S2oi9=Fz021—1D.S2OI?=F2020—1

解析：選AC根據(jù)題意有Fn=Fnr+Fn_2(n23),所以S3=F|+F2+F3=1+R+F2+F3—1=F3

」=

+F2+F3-1=FI+F3-1=F5—LSFI+S3=FI+F5-1=F6-LS5=FS4-S<=F54-F6-1=F?

T,…,所以S20l9=F2021—1.故選A、C.

13.已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,an=a；-i—1(n>l),則a202i=,|a?4-a<,+i|=(n

>1).

解析：由ai=l,an=aS-i—1(n>l),得

a2=a?-1=l2—1=0,a3=a；-1=02—1=—1,

a[=a：-1=(-I)2-1=0,a5=a4-1=02—1=-1,

由此可猜想當n>Ln為奇數(shù)時二=—1,n為偶數(shù)時a?=0,；?a2021=-1,|an+an+i|=1.

答案：一11

14.已知數(shù)列｛aj滿足a】=J,ana.-^an-i-an(n^2),求數(shù)列｛aj的通項公式.

—2+1+1+…+(,4個]=n+1.

aC=[1(n22).

n+1

又,；n=l時，ai=2?符合上式,

.__L

,,an-n+r

[c級拓展探究]

15.已知數(shù)列｛aj的通項公式為a,=、(n￡N*),則這個數(shù)列是否存在最大項？若存在，請求

出最大項；若不存在，請說明理由.

122329425225

解：存在最大項.理由：ai=~,a2=72=1,a3=T5=-,34=77=1,25=方=G，…,當n，3

時,5%馬央邛+2

an2n2n2\nJ

/.an+i<an,即n23時，(aj是遞減數(shù)列.

..,9

又?a〈a3,a2〈a3,??anWa3=w.

9

.?.當n=3時，出=?為這個數(shù)列的最大項.

O

4.2.1第一課時等差數(shù)列的概念及通項公式

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.在等差數(shù)列瓜｝中，a2=2,a3=4,則a[o=()

A.12B.14C.16D.18

2.若等差數(shù)列(aj中，已知a1=；,a2+a5=4,an=35,則n=(:

J

A.50B.51C.52D.53

3.(多選)設(shè)x是a與b的等差中項,x?是a?與一b?的等差中項，則a,b的關(guān)系正確的是()

A.a=—bB.a=3bC.a=b或a=-3bD.a=b=0

4.數(shù)列｛&｝中,由=2,2an+i=2&+1,則az?的值是()

A.1000B.1013C.1011D.1012

5.已知數(shù)列3,9,15,…，3(2n-l),那么81是數(shù)列的()

A.第12項B.第13項C.第14項D.第15項

6.已知等差數(shù)列&｝,a,-2-3n,則數(shù)列的公差d=.

7.在等差數(shù)列｛aj中，a3=7,a5=a2+6,則ai=,a?=.

8.數(shù)列E｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛bj是首項為-2,公差為4的等差數(shù)

列.若an=bn,則n的值為.

9.已知數(shù)列｛aj滿足a=2,揄+1=含，則數(shù)列I；］是否為等差數(shù)列？說明理由.

10.若心，白，系是等差數(shù)列，求證：a2,b2,c2成等差數(shù)列?

［B級綜合運用］

11.(多選)如果小，也，…，熱為各項都大于零的等差數(shù)列，且公差d#0,貝ij()

A.a3a?>aiasB.a3加<&1期C.a3+ae=a44-a5D.a3a6=a，05

12.已知xKy,且兩個數(shù)列x,a,a2,—,a.,y與x,b］，b2,…，bn,y各自都成等差數(shù)

列,唬琮等于()

inm+1cnn+1

ALD，'v.-D.

而mm+1

13.下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j

列的數(shù)為j(i,jeN*),則助9=,數(shù)82共出現(xiàn)次.

234567

35791113

4710131619

5913172125

61116212631

71319253137

…???…………

14.已知數(shù)列｛a｝滿足&=1,且an=2&T+2n（n22,且￡N"）.

⑴求az,as；

⑵證明：數(shù)歹■｝是等差數(shù)歹u；

⑶求數(shù)列&｝的通項公式獻

［c級拓展探究］

15.數(shù)列｛好滿足a1=2,an+】=(入—3)an+2n(n2N*).

(D當az=-l時，求X及a?的值；

(2)是否存在X的值，使數(shù)列｛&｝為等差數(shù)列？若存在求其通項公式；若不存在說明理由.

答案解析

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.在等差數(shù)列(aj中，a2=2,①=4,則m=()

A.12B.14C.16D.18

解析：選D由題意知，公差d=4—2=2,則a1=0,所以aic=a]+9d=18.故選D.

2.若等差數(shù)列｛aj中，已知ai=J,a2+a5=4,an=35,則n=()

V

A.50B.51C.52D.53

i9

解析：選D依題意，a+as=ai-|-d+ai+4d=4,代入ai=?得d=?

2JJ

1921

所以&=ai+(n—l)d=a+(n—1)＞可=鈔-w，令&=35,解得n=53.

JJJJ

3.(多選)設(shè)x是a與b的等差中項“2是a?與一號的等差中項，則a,b的關(guān)系正確的是()

A.a=—bB.a=3b

C.a=b或a=-3bD.a=b=0

q_|_k

解析：選AB由等差中項的定義知：x=空，

2a~~b~

x=2，

故a=—b或a=3b.

4.數(shù)列｛a｝中,ai=2,2an+i=2a<14-l,則&021的值是()

A.1000B.1013C.1011I).1012

解析：選D由2&+i=2an+L得a“+】一a?=；,所以⑸｝是等差數(shù)列，首項由=2,公差d

_1

所以an=2+1(n—1)

所以a2。2尸20今+3=1012.

5.已知數(shù)列3,9,15,…，3(2n—l),…，那么81是數(shù)列的()

A.第12項B.第13項C.第14項D.第15項

解析：選C&=3(2n—1)=6n—3,由6n—3=81,得n=14.

6.已知等差數(shù)列｛aj,an=2-3n,則數(shù)列的公差d=.

解析：根據(jù)等差數(shù)列的概念，d=an+i—a.=-3.

答案：一3

7.在等差數(shù)列｛aj中，33=7,a5=a2+6,則a1=,%=.

解析：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

[ai+2d=7,

由題意，得一」-一

ai+4d=a】+d+6.

ci)=3?

解得

d=2.

an=ai+(n—l)d=3+(n-l)X2=2n+l.

.?.96=2X6+1=13.

答案：313

8.數(shù)列｛a｝是首項為2,公差為3的等差數(shù)列，數(shù)列｛bj是首項為-2,公差為4的等差數(shù)

列.若0.=*則n的值為.

解析：an=2+(n—1)X3=3n—1,

bn=-2+(n—1)X4=4n—6,

令捻=兒，得3n-l=4n—6,/.n=5.

答案：5

9.已知數(shù)列｛aj滿足a=2,心十尸言，則數(shù)列是否為等差數(shù)列？說明理由.

解：數(shù)列是等差數(shù)列，理由如下：

2ali

因為a1=2,3n+1=?,

1輸+211

所以菰=百=5+/

所以土_L_!

(常數(shù)).

an2

所以｛5｝是以5:3為首項，公差為2的等差數(shù)歹八

10.若七，七，冊是等差數(shù)列，求證：a2,b2,c2成等差數(shù)列?

證明：由已知得小+士==，通分有言琴3=3

b+ca+ba+c(b+c)(a+b)a+c

進一步變形有2(b+c)(a+b)=(2b+a+c)(a+c),整理，得a2+c2=2b2,

所以a?,b\0?成等差數(shù)列.

[B級綜合運用]

11.（多選）如果山，a2,…，as為各項都大于零的等差數(shù)列，且公差d/0,則（）

A.a3a6〉山比B.asaXaiasC.a34-a6=ai4-a5D.a3a6=a.ia5

解析：選BC由通項公式，得aj=ai+2d,a?=ai+5d,那么a：）+a6=2ai+7d,a3a6=（ai+

2d）（a1+5d）=a；+7ad+10（f,同理a?+a5=2ai+7d,a.ias=a?4-7aid+12d2,顯然a3a6—aqs

=-2d2<0,故選B、C.

12.已知xWy,且兩個數(shù)列x,a,a?,…，an,y與x,b”b2>,?,?bn,y各自都成等差數(shù)

列，則詈Y等于（）

—

b2bi

解析：選D設(shè)這兩個等差數(shù)列公差分別是八d2,

則a2—ai=di,bz—bi=dz.第一個數(shù)列共(m+2)項,

Ad.=^Y；第二個數(shù)列共(n+2)項，.?—=柒.

這樣可求出菅子號=嚕.

D2-bidsm+1

13.下表中的數(shù)陣為“森德拉姆素數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j

列的數(shù)為a.式3jWN*),則甌9=,數(shù)82共出現(xiàn)欠.

234567???

35791113???

4710131619???

5913172125???

61116212631???

71319253137…

????????????…??????

解析：根據(jù)題意得，第i行的等差數(shù)列的公差為i,第j列等差數(shù)列的公差為j,所以數(shù)列

｛即J是以2為首項，1為公差的等差數(shù)列，可得加i=2+G—l)Xl=j+l,又因為第j

列數(shù)組成的數(shù)列｛a「J是以ai.j為首項，j為公差的等差數(shù)列，所以在一=即j+(i-l)j=

(j+l)+(i—1)Xj=ij+l,所以+9=9X9+1=82.因為ai.j=ij+l=82,所以ij=81,

所以i=81且j=l或i=l且j=81或i=3且j=27或i=27且j=3或i=j=9,所以可

得數(shù)82共出現(xiàn)5次.

答案：825

14.己知數(shù)列｛aj滿足a1=l,且an=2&T+2"(n22,且￡“).

⑴求az,as；

(2)證明：數(shù)列但是等差數(shù)列；

⑶求數(shù)歹HaJ的通項公式a.

3

解：(l)a2=2ai+22=6,a3=2a2+2=20.

(2)證明：???a?=2anT+2n(n22,且nW2),

，李=養(yǎng)+1(02,且n￡N*),

即墨一耨=1(侖2,且nWN*),

???數(shù)歹局是首項為多=看公差d=l的等差數(shù)歹IJ.

(3)由⑵，得/=；+(n—1)Xl=n-

.??an=(n一撲2n.

[C級拓展探究]

n

15.數(shù)列｛8｝滿足由=2,a?+1=(X-3)an+2(neN*).

(D當a2=-1時，求人及a3的值；

(2)是否存在X的值，使數(shù)列｛a｝為等差數(shù)列？若存在求其通項公式；若不存在說明理由.

3

解：(1)'.?力=2,a=—1,a2=(人—3)a1+2,/.X=-.

2乙

311

a=--a+22,^,a3=~r.

3乙2乙

⑵不存在X的值，理由如下：

n

Vat=2,an+i=(入—3)&+2,

???&=(入-3):+2=2人-4.

a3=(入—3)32+4=2X'—10入+16.

若數(shù)列⑸)為等差數(shù)列，則a,+a3=2a2.

即X2-7X+13=0.

?.?A=49—4X130???方程無實數(shù)解.

:.X值不存在.，不存在人的值使匕』成等差數(shù)歹IJ.

4.2.1第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)

[A級基礎(chǔ)鞏固]

1.已知等差數(shù)列3｝：1,0,-1,-2,…；等差數(shù)列｛bj：0,20,40,60,…，則數(shù)列E

+L｝是（）

A.公差為-1的等差數(shù)列B.公差為20的等差數(shù)列

C.公差為一20的等差數(shù)列D.公差為19的等差數(shù)列

2.在等差數(shù)列｛aj中，ai=2,期+@5=10,則a?=（）

A.5B.8C.10D.14

3.已知等差數(shù)列｛&｝的公差為d（dNO）,且a3+a6+aK.+a，=32,若&=8,則m等于（）

A.8B.4C.6D.12

4.已知等差數(shù)列｛aj滿足ai+a2+a）+…+a】3=0,則有（）

A.ai+aioi>OB.az+aioiVOC.a3+&9=0D.asi=51

5.《九章算術(shù)》“竹九節(jié)”問題：現(xiàn)有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，

上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第5節(jié)的容積為（）

A.1升D.II升0噂升D.第升

6.若三個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為9,平方和為59,則這三個數(shù)的積為______.

7.若a,b,c成等差數(shù)歹U,則二次函數(shù)y=ax?-2bx+c的圖象與x軸的交點的個數(shù)為.

8.已知數(shù)列｛④｝滿足a=1,若點仔，詈在直線x—y+l=0上，則如=.

9.在等差數(shù)列區(qū)｝中,若ai+a2~l-Fas=30,a?+a?4---Faw=80,求a”+ai2T---Fais.

10.有一批豆?jié){機原銷售價為每臺800元，在甲、乙兩家家電商場均有銷售.甲商場用如下

的方法促銷：買一臺單價為780元，買兩臺單價都為760元，依次類推，每多買一臺則所買

各臺單價均再減少20元，但每臺最低價不能低于440元；乙商場一律都按原價的75%銷售.某

單位購買一批此類豆?jié){機，問去哪家商場買花費較少.

[B級綜合運用]

11.（多選）下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列｛A,｝的四個命題，正確的是（）

A.數(shù)歹必闔是遞增數(shù)列

B.數(shù)列｛naj是遞增數(shù)列

C.數(shù)列，j1是遞增數(shù)列

D.數(shù)列｛a+3nd｝是遞增數(shù)列

12.若方程〃-2乂+1!1)62—2乂+11)=0的四個根組成一個首項為%勺等差數(shù)列，則|m-n|=

313

1

A-a-

D.4?D.8

1