2024-2025學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)1.1.2蝗制訓練含解析新人教A版必修4

PAGE第一章三角函數(shù)1．1隨意角和弧度制1.1.2弧度制[A組學業(yè)達標]1．1920°的角化為弧度制為 ()A.eq\f(16,3)B.eq\f(32,3)C.eq\f(16,3)πD.eq\f(32,3)π解析：∵1°＝eq\f(π,180)rad，∴1920°＝1920×eq\f(π,180)＝eq\f(32,3)π.答案：D2．已知α＝eq\f(6,7)π，則角α的終邊在 ()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限解析：eq\f(π,2)<eq\f(6,7)π<π，所以角α的終邊在其次象限，選B.答案：B3．已知弧度數(shù)為2的圓心角所對的弦長也是2，則這個圓心角所對的弧長為()A．2B.eq\f(2,sin1)C．2sin1 D．sin2解析：扇形的半徑r＝eq\f(1,sin1)，因此弧長l＝|α|·r＝eq\f(2,sin1).答案：B4．把－eq\f(11,4)π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ的值是 ()A．－eq\f(3π,4) B．－eq\f(π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(3π,4)解析：由－eq\f(11,4)π＝θ＋2kπ(k∈Z)，得θ＝－eq\f(11,4)π－2kπ(k∈Z)，明顯k≤0時，|θ|取最小值．k＝－1時，θ＝－eq\f(3,4)π，|θ|＝eq\f(3,4)π；k＝－2時，θ＝eq\f(5,4)π，|θ|＝eq\f(5,4)π>eq\f(3,4)π；k＝0時，θ＝－eq\f(11,4)π，|θ|＝eq\f(11,4)π>eq\f(3,4)π.故滿意題意的是θ＝－eq\f(3,4)π.答案：A5．扇形的周長為6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 ()A．1 B．4C．1或4 D．2或4解析：設(shè)扇形的圓心角為αrad，半徑為Rcm，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2R＋α·R＝6，,\f(1,2)R2·α＝2，))解得α＝1或α＝4，選C.答案：C6．時鐘從6時50分走到10時40分，分針旋轉(zhuǎn)了________弧度．解析：時鐘共走了3小時50分鐘，分針旋轉(zhuǎn)了－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3×2π＋\f(5,6)×2π))＝－eq\f(23π,3).答案：－eq\f(23π,3)7．如圖，馬路彎道處eq\o(AB,\s\up8(︵))的長l＝________(精確到1m)．解析：l＝eq\f(π,3)×45≈47(m)．答案：47m8．在0°～720°中與eq\f(2π,5)終邊相同的角為________．解析：∵eq\f(2π,5)＝eq\f(2,5)×180°＝72°，∴與角eq\f(2π,5)終邊相同的角構(gòu)成集合{θ|θ＝72°＋k·360°，k∈Z}．當k＝0時，θ＝72°；當k＝1時，θ＝432°.∴在0°～720°范圍內(nèi)，與角eq\f(2π,5)終邊相同的角為72°，432°.答案：72°，432°.9．(1)把－1480°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π；(2)若β∈[－4π，0]，且β與(1)中α的終邊相同，求β.解析：(1)∵－1480°＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16,9)π，又0<eq\f(16,9)π<2π，∴－1480°＝eq\f(16,9)π＋2×(－5)π.(2)∵β與α終邊相同，∴β＝α＋2kπ＝eq\f(16,9)π＋2kπ(k∈Z)．當k＝－1時，β＝eq\f(16,9)π－2π＝－eq\f(2,9)π，當k＝－2時，β＝eq\f(16,9)π－4π＝－eq\f(20,9)π.10．已知一半徑為R的扇形，它的周長等于所在圓的周長，那么扇形的圓心角是多少弧度？合多少度？扇形的面積是多少？解析：∵扇形的周長＝2R＋l＝2πR，∴扇形的弧長l＝2(π－1)R.∴扇形的圓心角α＝2(π－1)rad，合eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(360（π－1）,π)))°.∴扇形的面積S＝eq\f(1,2)lR＝(π－1)R2.[B組實力提升]11．一段圓弧的長度等于其所在圓內(nèi)接正方形的邊長，則其圓心角的弧度數(shù)為 ()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\r(3)D.eq\r(2)解析：設(shè)圓內(nèi)接正方形的邊長為a，則該圓的直徑為eq\r(2)a，∴弧長等于a的圓弧所對的圓心角α＝eq\f(l,r)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).故選D.答案：D12．設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝\f(kπ,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝kπ＋\f(π,4)，k∈Z))))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(β\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(β＝\f(kπ,4)，k∈Z))))，則集合M與N的關(guān)系是 ()A．MN B．MNC．M＝N D．M∩N＝?解析：集合M中，α＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)是eq\f(π,2)的整數(shù)倍的角，其終邊在坐標軸上，α＝kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)的終邊在直線y＝x上；集合N中，β＝eq\f(kπ,4)(k∈Z)是eq\f(π,4)的整數(shù)倍角，其終邊在直線y＝x上，或y軸上，或直線y＝－x上，或x軸上，故MN.答案：B13．若角α的終邊與角eq\f(π,6)的終邊關(guān)于直線y＝x對稱，且α∈(－4π，4π)，則α＝________．解析：如圖所示，設(shè)角eq\f(π,6)的終邊為OA，OA關(guān)于直線y＝x對稱的射線為OB，則以O(shè)B為終邊且在0到2π之間的角為eq\f(π,3)，故以O(shè)B為終邊的角的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).∵α∈(－4π，4π)，∴－4π<2kπ＋eq\f(π,3)<4π，∴－eq\f(13,6)<k<eq\f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1，∴α＝－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3).答案：－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3)14．已知⊙O的一條弧eq\o(AE,\s\up8(︵))的長等于該圓內(nèi)接正三角形的邊長，則從OA順時針旋轉(zhuǎn)到OE所形成的角α的弧度數(shù)是________．解析：如圖，OA＝r，∠OAD＝30°，則AD＝r·cos30°＝eq\f(\r(3),2)r，∴邊長AB＝2AD＝eq\r(3)r.∴eq\o(AE,\s\up8(︵))的弧長l＝AB＝eq\r(3)r.又∵α是負角，∴α＝－eq\f(l,r)＝－eq\f(\r(3)r,r)＝－eq\r(3).答案：－eq\r(3)15．已知一扇形的圓心角是α，所在圓的半徑是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧長及該弧所在的弓形面積；(2)若扇形的周長是30cm，當α為多少弧度時，該扇形有最大面積？解析：(1)設(shè)弧長為l，弓形面積為S弓，∵α＝60°＝eq\f(π,3)，R＝10(cm)，∴l(xiāng)＝αR＝eq\f(10π,3)(cm)．S弓＝S扇－S△＝eq\f(1,2)×eq\f(10π,3)×10－2×eq\f(1,2)×10×sineq\f(π,6)×10×coseq\f(π,6)＝50eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(\r(3),2)))(cm2)．(2)由l＋2R＝30，∴l(xiāng)＝30－2R，從而S＝eq\f(1,2)·l·R＝eq\f(1,2)(30－2R)·R＝－R2＋15R＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(R－\f(15,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(225,4).∴當半徑R＝eq\f(15,2)cm時，l＝30－2×eq\f(15,2)＝15cm，扇形面積的最大值是eq\f(225,4)cm2，這時α＝eq\f(l,R)＝2rad.∴當扇形的圓心角為2rad，半徑為eq\f(15,2)cm時，面積最大，為eq\f(225,4)cm2.16.如圖，圓心在原點，半徑為R的圓交x軸正半軸于A點，P，Q是圓上的兩個動點，它們同時從點A動身沿圓周做勻速運動．OP沿逆時針方向每秒轉(zhuǎn)eq\f(π,3)，OQ沿順時針方向每秒轉(zhuǎn)eq\f(π,6).試求P，Q動身后第五次相遇時，OP，OQ各自轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)及點P，Q各自走過的弧長．解析：設(shè)P、Q第五次相遇經(jīng)過t秒，P轉(zhuǎn)動的弧度數(shù)為eq\f(π,3)t，Q轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為eq\f(π,6)t.因此l1＋l2＝eq\f(π,3)tR＋