2024-2025版高中數(shù)學第一章解三角形1.2.1解三角形的實際應用舉例-距離問題學案新人教A版必修5

PAGE1.2應用舉例第1課時解三角形的實際應用舉例——距離問題必備學問·自主學習1.基線(1)定義和選取原則.定義在測量上,依據(jù)測量須要適當確定的線段選取原則在測量過程中,要依據(jù)實際須要選取合適的基線長度,使測量具有較高的精確度,一般來說,基線越長,測量的精確度越高.(2)本質(zhì):解三角形必需知道三角形的一條邊長,這恰是基線的意義所在.(3)作用:基線的選擇確定了測量方案的設(shè)計.2.方位角和方向角(1)方位角:從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線所成的角.如圖(1)目標A的方位角為135°.(2)方向角:從指定方向線到目標方向線所成的小于90°的水平角.如圖(2),北偏東30°,南偏東45°.方位角與方向角有什么共同點?提示:方位角與方向角其實質(zhì)是一樣的,均是確定視察點與目標點之間的位置關(guān)系.1.辨析記憶(對的打“√”,錯的打“×”).(1)基線選擇不同,同一個量的測量結(jié)果可能不同. ()(2)東偏北45°的方向就是東北方向. ()(3)兩點間可視但不行到達問題的測量方案實質(zhì)是構(gòu)造已知兩角及一邊的三角形并求解. ()(4)如圖所示,為了測量隧道AB的長度,可測量數(shù)據(jù)a,b,γ進行計算. ()提示:(1)√.(2)√.由方向角的定義可知.(3)√.可由正弦定理解三角形求解.(4)√.由余弦定理可求出AB.2.某次測量中,A在B的北偏東55°,則B在A的 ()A.北偏西35° B.北偏東55°C.南偏西35° D.南偏西55°【解析】選D.依據(jù)題意和方向角的概念畫出草圖,如圖所示α=55°,則β=α=55°.所以B在A的南偏西55°.3.(教材二次開發(fā):習題改編)如圖所示,已知兩座燈塔A和B與海洋視察站C的距離都等于akm,燈塔A在視察站C的北偏東20°,燈塔B在視察站C的南偏東40°,則燈塔A與燈塔B的距離為 ()A.akm B.QUOTEakmC.QUOTEakm D.2akm【解析】選B.由題意得∠ACB=120°,AB2=a2+a2-2a2cos120°=3a2,所以AB=QUOTEa.關(guān)鍵實力·合作學習類型一用正弦定理或余弦定理求距離(數(shù)學建模)角度1用正弦定理求距離

【典例】如圖所示,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則BC為m.

【思路導引】在△ABC中,知兩角和一邊,可以用正弦定理解三角形,求BC的長.【解析】由題意知,∠ACB=180°-30°-75°=75°,由正弦定理得,BC=QUOTE·sin∠CAB=QUOTE·sin30°=QUOTE×QUOTE=60(QUOTE-QUOTE).答案:60(QUOTE-QUOTE)角度2用余弦定理求距離

【典例】如圖,甲船以每小時30QUOTE海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向勻速直線航行,當甲船位于A1處時,乙船位于甲船的北偏西105°的方向B1處,此時兩船相距20海里.當甲船航行20分鐘到達A2處時,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2處,此時兩船相距10QUOTE海里,問乙船每小時航行多少海里?【思路導引】連接A1B2,先解△A1A2B2,再解△A1B2B1【解析】如圖連接A1B2,A2B2=10QUOTE,A1A2=QUOTE×30QUOTE=10QUOTE,△A1A2B2是等邊三角形,∠B1A1B2=105°-60°=45在△A1B2B1中,由余弦定理得B1QUOTE=A1QUOTE+A1QUOTE-2A1B1·A1B2cos45°=202+(10QUOTE)2-2×20×10QUOTE×QUOTE=200,B1B2=10QUOTE.因此乙船的速度的大小為QUOTE×60=30QUOTE(海里/時).答:乙船每小時航行30QUOTE海里.1.用正弦定理求距離問題的策略(1)找基線.依據(jù)題意找出哪些線段的長度可以求出,這樣的線段在哪些三角形中.(2)測基線長及視角.留意依據(jù)平面幾何學問推出有關(guān)角的大小.(3)用正弦定理求解兩點間的距離.特殊提示:求距離問題要留意的兩點:(1)基線的選取要精確恰當.(2)選定或創(chuàng)建的三角形要確定.2.用余弦定理求距離問題的策略(1)總體思路.實際問題經(jīng)抽象概括后,已知量與未知量涉及兩個(或兩個以上)三角形,這時需作出這些三角形,先解夠條件的三角形,然后逐步求出其他三角形中的解.(2)方程思想的應用.設(shè)出未知量,從幾個三角形中用余弦定理列出方程(組),解方程(組)得出所要求的解.1.如圖,貨輪在海上以40km/h的速度沿著方位角(從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角)為140°的方向航行,為了確定貨輪的位置,貨輪在B點觀測燈塔A的方位角為110°,航行QUOTEh到達C點,觀測燈塔A的方位角是65°,則貨輪到達C點時,與燈塔A的距離是 ()A.10kmB.10QUOTEkmC.15kmD.15QUOTEkm【解析】選B.在△ABC中,BC=40×QUOTE=20(km),∠ABC=140°-110°=30°,∠ACB=(180°-140°)+65°=105°,所以A=180°-(30°+105°)=45°.由正弦定理,得AC=QUOTE=QUOTE=10QUOTE(km).2.某視察站C與兩燈塔A,B的距離分別為300m和500m,測得燈塔A在視察站C的北偏東30°方向上,燈塔B在視察站C正西方向,則兩燈塔A,B間的距離為 ()A.500m B.600m C.700m D.800m【解析】選C.依據(jù)題意畫出圖形如圖.在△ABC中,BC=500,AC=300,∠ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos120°=3002+5002-2×300×500×QUOTE=490000,所以AB=700m.【補償訓練】一貨輪在海上由西向東航行,在A處望見燈塔C在貨輪的東北方向,半小時后在B處望見燈塔C在貨輪的北偏東30°方向.若貨輪的速度為30nmile/h,當貨輪航行到D處望見燈塔C在貨輪的西北方向時,求A,D兩處的距離.【解析】如圖所示,在△ABC中,∠CAB=45°,∠ABC=90°+30°=120°,所以∠ACB=180°-45°-120°=15°,AB=30×0.5=15(nmile),則由正弦定理,得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,又因為sin15°=QUOTE,sin120°=QUOTE,所以AC=QUOTE=QUOTE×15(nmile).在△ACD中,因為∠A=∠D=45°,所以△ACD是等腰直角三角形,所以AD=QUOTEAC=15(3+QUOTE)(nmile).答:A,D兩處的距離為15(3+QUOTE)nmile.類型二綜合應用正弦定理和余弦定理求距離(數(shù)學建模)【典例】(2024·唐山高二檢測)如圖,為了測量河對岸A,B兩點的距離,視察者找到一個點C,從C點可以視察到點A,B;找到一個點D,從D點可以視察到點A,C;找到一個點E,從E點可以視察到點B,C.并測量得到以下數(shù)據(jù),∠DCA=105°,∠ADC=30°,∠BCE=90°,∠ACB=∠CEB=60°,DC=200QUOTE米,CE=100QUOTE米.求A,B兩點的距離.【解析】由題意可知,在△ACD中,∠DAC=45°,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以AC=QUOTE=200米,在Rt△BCE中,BC=100QUOTE×QUOTE=300米,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos60°=2002+3002-2×200×300×QUOTE=70000,所以AB=100QUOTE米.正弦定理與余弦定理交匯求距離的兩個關(guān)鍵點(1)畫示意圖,弄清題目條件.依據(jù)題意畫圖探討問題中所涉及的三角形,它的哪些元素是已知的,哪些元素是未知的.(2)選準入手點.找出已知邊長的三角形,結(jié)合已知條件選準“可解三角形”,并推斷是選用正弦定理,還是選用余弦定理求解.某人在M汽車站的北偏西20°的方向上的A處,視察到點C處有一輛汽車沿馬路向M站行駛.馬路的走向是M站的北偏東40°.起先時,汽車到A的距離為31千米,汽車前進20千米后,到A的距離縮短了10千米.則汽車到達M汽車站還需行駛千米.

【解析】由題設(shè),畫出示意圖,設(shè)汽車前進20千米后到達B處.在△ABC中,AC=31,BC=20,AB=21,由余弦定理,得cosC=QUOTE=QUOTE,則sin2C=1-cos2C=QUOTE,sinC=QUOTE,所以sin∠MAC=sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC=QUOTE.在△MAC中,由正弦定理,得MC=QUOTE=QUOTE×QUOTE=35.從而有MB=MC-BC=15.故汽車到達M汽車站還需行駛15千米.答案:15【補償訓練】1.如圖,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+QUOTE)海里的兩個觀測點,現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20QUOTE海里的C點的救援船馬上前往營救,其航行速度為30海里每小時,該救援船到達D點至少須要小時.

【解析】由題意知AB=5(3+QUOTE),∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=45°,所以∠ADB=105°,所以sin105°=sin45°cos60°+sin60°cos45°=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.在△ABD中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BD=QUOTE=QUOTE=5(3+QUOTE)×QUOTE=QUOTE=10QUOTE.又∠DBC=180°-60°-60°=60°,BC=20QUOTE,在△DBC中,由余弦定理得CD2=BD2+BC2-2×BD×BCcos60°=300+1200-2×10QUOTE×20QUOTE×QUOTE=900.所以CD=30(海里),則至少須要的時間t=QUOTE=1(小時).答案:12.一條河自西向東流淌,某人在河南岸A處看到河北岸兩個目標C,D分別在東偏北45°和東偏北60°方向,此人向東走300米到達B處之后,再看C,D,則分別在西偏北75°和西偏北30°方向,求目標C,D之間的距離.【解析】由題意得,在△ABD中,因為∠DAB=60°,∠DBA=30°,所以∠ADB=90°,在Rt△ABD中,因為AB=300,全部BD=300·sin60°=150QUOTE.在△ABC中,因為∠CAB=45°,∠ABC=75°,所以∠ACB=60°.由正弦定理得QUOTE=QUOTE,所以BC=QUOTE×QUOTE=100QUOTE.在△BCD中,因為BC=100QUOTE,BD=150QUOTE,∠CBD=45°,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC·BD·cos∠CBD=37500,所以CD=50QUOTE.答:目標C,D之間的距離為50QUOTE米.類型三函數(shù)與方程思想在距離問題中的應用(數(shù)學建模)【典例】已知海島B在海島A北偏東45°,且與A相距20海里,物體甲從海島B以2海里/小時的速度沿直線向海島A移動,同時物體乙從海島A以4海里/小時的速度沿直線向北偏西15°方向移動.(1)求經(jīng)過多長時間,物體甲在物體乙的正東方向;(2)求甲從海島B到達海島A的過程中,甲乙兩物體的最短距離.【思路導引】(1)畫出物體甲在物體乙的正東方向時的示意圖,由正弦定理可解得;(2)由余弦定理及配方法可求得最小值.【解析】(1)設(shè)經(jīng)過t(0<t<10)小時,物體甲移動到E的位置,物體乙移動到F的位置,如圖所示:物體甲與海島A的距離為AE=(20-2t)海里,物體乙與海島A距離為AF=4t海里,當甲在乙正東方時,∠AFE=75°,∠AEF=45°,在△AEF中,由正弦定理得QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,則t=20-10QUOTE.答:經(jīng)過(20-10QUOTE)小時,物體甲在物體乙的正東方向.(2)由(1)題設(shè),AE=20-2t,AF=4t,由余弦定理得EF2=AE2+AF2-2AE·AFcos∠EAF=(20-2t)2+(4t)2-2×(20-2t)×4t×QUOTE=28QUOTE+QUOTE,由0<t<10,得當t=QUOTE時EFmin=QUOTE海里.答:甲乙兩物體之間的距離最短為QUOTE海里.函數(shù)與方程思想在距離問題中的應用(1)函數(shù)思想的應用.將三角形中邊角之間的關(guān)系問題借助正弦定理和余弦定理建立函數(shù)關(guān)系,結(jié)合有關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì),加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求取值范圍、最大(小)值問題.(2)方程思想的應用.正弦定理和余弦定理涉及三個邊和三個角共六個量,只要知道其中三個獨立的量(必需有邊)就能求出其余三個量.因此,解三角形的實際應用問題中,干脆求相關(guān)量較難時,通常將問題的數(shù)量關(guān)系運用這兩個定理轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型(方程、方程組)加以解決.一次機器人足球競賽中,甲隊1號機器人由A點起先做勻速直線運動,到達點B時,發(fā)覺足球在點D處正以2倍于自己的速度向點A做勻速直線滾動,如圖所示,已知AB=4QUOTEdm,AD=17dm,∠BAD=45°,若忽視機器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時間,則該機器人最快可在何處截住足球?【解析】設(shè)機器人最快可在點C處截住足球,點C在線段AD上,連接BC,如圖所示,設(shè)BC=xdm,由題意知CD=2xdm,AC=AD-CD=(17-2x)dm.在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cosA,即x2=(4QUOTE)2+(17-2x)2-8QUOTE(17-2x)cos45°,解得x1=5,x2=QUOTE.所以AC=17-2x=7或AC=-QUOTE(舍去).所以該機器人最快可在線段AD上離A點7dm的點C處截住足球.【補償訓練】甲船在A處,乙船在A的南偏東45°方向,距A有9海里的B處,并以20海里/時的速度沿南偏西15°方向行駛,若甲船以28海里/時的速度行駛,用多少小時能最快追上乙船?【解析】如圖所示,設(shè)用t小時甲船能追上乙船,且在C處相遇.在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=180°-45°-15°=120°.由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos∠ABC,即(28t)2=92+(20t)2-2×9×20t×QUOTE,128t2-60t-27=0,所以t=QUOTE或t=-QUOTE(舍去).答:甲船用QUOTE小時能最快追上乙船.課堂檢測·素養(yǎng)達標1.為了測量B,C之間的距離,在河岸A,C處測量,如圖:測得下面四組數(shù)據(jù),較合理的是 ()A.c與α B.c與bC.b,c與β D.b,α與γ【解析】選D.因為A,C在河岸的同一側(cè),所以可以測量AC的長度和∠BAC,∠BCA的大小,并用正弦定理求BC.2.學校體育館的人字形屋架為等腰三角形,如圖所示,測得AC的長度為4米,A=30°,則其跨度AB的長為 ()A.12米 B.8米 C.3QUOTE米 D.4QUOTE米【解析】選D.△ABC為等腰三角形,A=30°,AC=4,所以B=30°,C=120°,BC=4,所以由余